Stochastik

Alternativer Bildtext:

: man Ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit ändert sich in den Stufen Beispiel 1: Une: 4 Blane Kugeln - es wird 2 mal gezogen. 6 rote K Baumdiagramn: ✓ 10 = 4 10 6 Warscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben: {={rr; bb } P(E)= P(rr) + P(bb) 1 1.1 송 6 6 6 = 46,6 % L man macht B. diag. amm E: {YFT; FVF ; P Fr} 6 + 1/3/1 = 0,45 . 10 Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Rote rauskommt: ↳ man rechnet das Gegenereignis: E= {bb} P(E)= 1- P(E) P(E) = 1 - ( ²0 2/3) = 0,86 = 86,6% Beispiel 2: Urne: 5 rote, 4 blane, 3 grüne Kugeln Wahrscheinlichkeit, dass genau eine rote gezogen wird: amm mit rot und nicht rot →3 Kugeln werden zurücklegen P(E)= P(1²7) + P(777) + P(717) = (5. 11. £) 12 10 gezogen, ohne 3=9₁477 = 47,7% Beispiel 3) Stichwort: Spätestens 2.B P für Linkshänder = 0,15 Frage: Spätestens bei der 3. Person zum >>d.h entweder die erste oder zweite oder dritte Person 1st links händer 2 P = 0,15 + 0,85.0,15 + 0,85 0,15 0,75 915 0185 ㄷ 9,15 985 L IJ 0,85 IJ 9,15/ 19,95 915 ersten Mal auf einen Linkshänder zu treffen 985 L-linkshänder 9,85 975 13 EL 985 I Vier feldertafel: 1.Beispiel Klassenarbeit: 63% Schüle, haben Stoff verstanden. 6990 de, Schüler, die Stoff verstanden haben, haben positives Ergebnis p 28% de Schüler, die nicht verstanden haben, haben positives Ergebnis Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht ein zufällig ausgewählter Schüler kein positives E. ? Baumdiagramm. 0,63 0,69 V P 1931 P P 0,37 V P Gesamt 4 0,72 P umwandeln Vierfeldertafel: V V VOP TOP P 0,63 0,69 0,37.0,28 014347 0, 1036 A АЛР 0,32 + АЛР 908 2. Beispiel: 40 % der Schüler kamen mit Auto 87 % de, Schüler erschienen pünklich 5% de, Schüler kamen nicht mit Auto + unpünktlich * Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit brifft man zufällig einen Schüler mit Auto und pünktlich? Vierfelde tafel A АЛР V AOP 0105 VOP JAP P 0,63.0,31 0,37.0, 72 0,1953 012664 Gesamt 0,63 0,6 0,55 0,87 Gesamt 0,13 0137 1 Gesamt 1=0,5383 √+ =914617 1 Antwort: 32% P Baumdiagramm geht nicht: 0,4 a P P 96 a 0₁ 05 57 P 3. Beispiel: Beispiel Von 500 zufällig ausgewählten Erwachsenen sind 80 Vegetarier und 200 Nichtraucher. Außerdem sind 32 Personen beides zugleich. Das ergibt fol- gende Verteilung: {(Summe) R 18 summe 48 9,6% 32 M Gesamt 80 Fußball f M (nämlich) 40% 94-4 915 M FAMO14 Anteil berechnen: 2.B Raucher und Vegetarier: 20% 50% 0,5 F Hu M fom 011 252 30% ✓ 168 von Vierfeldertafel zum Baumdiagramm: F 20% 420 Gesante Insgesamt 60% 5090 10090 NIS M 012 40% 0,5 -14 F 300 مارس 200 1 P= 48 500 M 013 500 100% Anzahl der R. und V. 100 = gesamte untere zanl geteilt die obere oder N/M 2 3 45 9,6% 014 0,6 Š درس 14% F 014 1 4 45 F 012 011 य M/J 14 0,3 Baumdiagramm umdrehen: 2.B HN 2 NV 3) 1 ~시 1 BB 1 1) P(3) becechnen : P (B) = 글 4 +1 글 1 2 2 My 10 2) PLANB) becechnen : X PANB) = 슬슬 슈 = 1 2 니 = حراس X=2 를=X 3 A +1 니 - سلام 3 7/8 + 3 순=중 니 8 4) Dann das selbe für die andere Seite A 2=3 88 3 27 A B M/0 A Satz von Bayes Bedingte Wahrscheinlichkeit Frage: Eine zufällige Person interessiert sich für Fußball. Mit welcher. Wahrscheinlichkeit ist es eine Frau? M (F) = 2 3 F 014 R L Ź = P(unf) P(M) 0,6 = M درس +11 F 012 = 10 = 4 40 0,9 014 dy am F 011 M/J 0,3 14 RL 019 30 RL= Rechts lutscher LL Links Lutscher 1 75 011 Frage 2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kind, das im Alter 10 bis 12 J Rechtshänder ist, im Mutterleib von linken Daumen gelutscht hat 2 LLE 14 15 1 15 f M (männlich) 40% M Gesamt 1 Linteressiert sich für Fußball ) 20% 50% Zwei Ereignisse unabhängig? Formel: P(Enf)= P(E). P(F) → unabhängig PE (F) = P(F) -> unabhängig F 1 PR (LL) = 30 20% 30% Insgesamt 60% PR (LL) = P(LL ORI P(R) 14 15 40% 5090 10090 = 3,57% Kombinatorik / Berechnung von Anzahlen u. Wahrscheinlichkeiten *Signalwort: unterschiedlich/verschieden Elemente L↳ Reihenfolge wichtig (geordnet) mit zurücklegen K n ohne zurücklegen n! (n-k)! TR: nPrk n= Anzahl des Gesamten (Elemente) K= (Anzahl der versuche) 2.B wie oft Kugeln gezogen werden Beispiele Welche Möglichkeiten gibt es? a) Ein code knacken mit 3 Ziffern mit Tasten von 4 Reihenfolge wichtig mit zurücklegen Ergebnis: 10³ 3 Lan= 10 K= 3 zurücklegen Ergebnis (3) : Wahrscheinlichkeit = 1 Leiner von... mit zurücklegen Reihenfolge unwichtig (ungeordnet) Möglichkeiten nicht relevant Tipp: höchstens 3 Kugel" b) In einer Klausur stellt der Lehrer 7 Aufgaben, von denen 5 bearbeitet werden müssen: ohne L₂ Rf. unwichtig. Lzn = 7 k=5 zB: 1 Ohne Zurücklegen (1^2) = n! L₂Rf wichtig ohne zurückleges Rechnung: _4!___ 4! = 27 n = 4 k= 2 (4-2)! 2! 12 o bis 9: c) Man hat jeweils einen blauen, roten, grünen und gelben Legostein. Man setet 2 Legasteine aufeinander. = 21 ! - keine Auswahl, ohne zurücklegen -> mit TR: ncrk k!·(n-k)! ->Anzahl von 0 bis 3 addieren ↑ Signalwort: Bei Wahrscheinlichkeit: Genau (Bernoulli-Kette) = 4.3.2.1 2! kann man kürzen = 4.3=12 Tipps Kombinatorik Beispiel 1) 4 Erwachsene, 3 Kinder a) stehen in einer Reihe: 7! b) wie viele Reihenfolgen sind Möglich, wenn die Erwachsenen vorne stehen: 3!.4! c) / 1 1 Beispiel 2) 5 Kinder, Verschiedene Sitzordnung 1 2 3 4 5 6 7 / : 7 Plätze 51-3 4.3+3·2= 18 a) insgesamt Möglichkeiten: 1 Beispiel 3) 4 Frauen, 3 Männer -Thie ist nicht egal, welche 2 gewählt werden -2 b) beide gleiche Geschlecht haben: Pfad gesucht) (* 17ier ist ein - Man nimmt nur obere Zahl c) wenn mindestens eine frau dabei ist : 4.3+4·3+3.4 = 36 von Bruch: 6 1 man wäht einen Vorsitzenden und einen Stellvertreter MI F wenn die 3 Kinder hintereinander stehen: 4! 7! (7-2)! Baumdiagramm J/A4 / 5 M חד M/MX F M 2/6 M alw J/A4 M/ 5 M M/MX to 4 M M Wahrscheinlichkeit bei Kombinatorik Ohne Reihenfolge+ Lotto problem mit TR ohne zurück legen · (genan k schwarze Kugeln) = (K). (^_^) (3) Beispiel: In einer Lieferung von 50 Dioden befinden sich 4 defekte. Bei einer Kontrolle werden 6 Dioden zufällig ausgewählt und überprüft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man genau 2 defekte? R P (gen an 2 Defekte) = (2) -(50-4) (50) Geburtstagsproblem: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben 7 23 121= 365 npr 365! P(A) = 1- PLĀ) = 1 - (3 65 - 23) ¹ 23 = 365 immer Frage 0₁51= 51% Hände schütteln: z.B 6 Personen Oder Gläser mindesten 2 von : PLA) = 1- P(A) A= "Mindestens zwei haben am A = "Alle haben = K = gesamte schwarze kugeln mit Eigenschaft) N= gesamte von alles R= Mit welcher W. findet man k defekte? n= Anzahl, was ausgewäht /gezogen wird = (2) (46) (so) an 23 Personen am selben Tag Geburtstag __n! (n-2):21 2.B defekt = 6! 41-21 gleichen Tag Geburtstag verschiedenen Tagen Geburtstag -=15 TR nCr 6,2% 3x Mindestens Problem Frage 1) Für welche Anzahl von Fragen gilt, dass ein Bewerber mit mehr als 50% Wahrscheinlichkeit allen Fragen richtig beantwortet P= 0,85 Wahrscheinlichkeit für Frage richtig = 0,85 n 85 2 0,5 01 n 185 295 n. In (0, 85) 2 in (95) ng In (0,5) 4,27 In In (0,85) Frage. Wie oft muss Wahrsch. man eine n 1- 95 2 9,9 n 0,1 20,5" In 01 von mindestens h 9,1 Z in 0,1 In 015 1-P (keinmal Kopf) 2 0,9 2 ln 0,5 n 1: In 9,85 <1 <3,32 n. In o, s n Bis zu 4 Heale Münze mindestens werfen, um mit einer 9090 mindestens 1. Mal Kopf zu erziehlen mindestens 4 ziehen mit Zurücklegen: Signalwort: Genau A) Bernoulli-Kette: B (n, P, K) 1 (genau K schwarze Kugeln) = X=K P(x=3) = (3 (13). (1)· (1-1) = (13)· (21²) ²³ (5) (13) gezogenen Kugel Beispiel: 1 n K Ein Würfel wird 10 mal geworfen. Wie groß ist die W, dass genau 3 mal eine 6" geworfen wird? P = 1/² B(10; 1; 3) 216 (x ). p^. (1-P) (0) - ↑ ^ . (g) 10-3 0,28 TR n-k k n-k P(x21) = ≤ (x) · 0,3² 0,77 k=^ Bernoulli-Kette Merkmale: Es handelt sich um eine Bernoulli-kette, wenn ein treten können und die Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern. ↓ C.B Erfolg oder Misserfolg Treffer oder Niete K= die geneame gezogenen Rugeh oder Treffer P= Wahrscheinlichkeit der oder Trefferwk. 20,99 n= Anzahl der Versuche Anzahl der nuv Mindestens-Aufgabe Beispiel Satz: mit eine! Es wird berechnet, wie viele (Eier) man mindestens entnehmen muss, um Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindesten lein weißes Ei) zu erhalten. zwei mögliche Ergebnisse Bernoulli - Experiment es nur zwei Ausgänge Definition 1: Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment, wenn hat, Treffer (Erfolg) oder Niete Misserfolg). Die Wahrscheinlichkeit für Treffer wird mit für Niete mit q = 1-p bezeichnet. Pi Definition 2: Ein Zufalls experiment, das aus n desselben Bernoulli Experiments besteht, heißt unabhängigen Durchführungen Bernouilly - Kette der Länge k P(X= k) = (x) · p₁². (1-P) n. Satz: Ein Bernoulli- Experiment mit der Wahrscheinlichkeit P. für Treffer werden-mal durchgeführt. Die Durchführungen seien unabhängig. X se die Zufalls variable für die Anzahl der Treffer in dieser Bernoulli-Kette. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für k Treffe, (k = 0; 1; ...; n) genau formel von Bernoulli n-k Definition 3: X sei eine Zufalls variable, welche die Werte 0; 1; ...; n Wahrscheinlichkeitsverteilung von annehmen kann. Dann nennt eine X der Form mit den Parametern n und p. man B (nip; k)-(k). pk. (1-pin-k eine Binomialverteilung = Р' B) Binomial verteilung: F (n; P, K) 2) höchstens k Treffer / Kugeln.... Beispiel: 210 % aller produzierten Bälle sind fehlerhaft. 10 Bälle werden zufällig ausgewählt. Mit welcher W. sind höchstens vier Bälle fehlerhaft? 10-X 4 X P(X≤ 4) = { (1x) 0₁x. 0,9² 0,1 0,1 X=0 n-x P(X<K) = {(2) Px. (₁-P)" 2شه 3) mindestens k Treffer: P(x 2 k) gleiche Formel wie bei höchstens P(X23) = 1- Pl x≤ 3-1) = 1- TR <> 2 (20) 0,1*. 0,9 x=0 10-X x=0 Beispielz) Mit welcher W. sind mindestens 3 Bälle fehlerhaft? = x 10 nero) 01.99 1- P(x≤ K-1) 10 oder P(x23) = 2 x=3 4) mehr als k Treffer : P(x >K) Beispiel:2) Mit welcher W. Sind mehr als 3 Bälle fehlerhaft? 10 10-X P(x > 3) = ≤ (1x). 0₁ ₁1. 0,9" x=4 5) Wenige als k Treffer: P(x<k) 10-X - wie bei 4) 6) mindestens k, aber höchstens h Treffer: P(k<x<h) = P(x≤h) - P(x ≤ K-1) Beispiel 2) Mit welcher W. Sind mindestens 2, aber höchstens fünf Bälle fehlschaft? P (²≤x≤5) = P(x≤5) - P ≤2-1) =P (nip; k) - P/n₁ p₁ P(n; K-₁) 5 ģ oder < x=2 Genau und höchstens im TR : Genau: Menu ->7-> 4->2 höchstens: Menu ->7-> Seite runter maches zu 1: Kumul. Binom. -V -> 2 سما Parameter bestimmen: (mindestens-mindestens Aufgabe) 3x mindestens hat 4 Augenzahlen 1 -> p = = n2 Beispiel: Wie oft muss man mit einem Tetraeder mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% P gesamte W.) gesucht :n ? k=1 a) mindestens eine TR „4" P(x 21) 20,95 1- P(x=1-1) 2 0,95 1- P(x=0) ≥ 0,95 nach & umformen 0,05 = P(x=0) nd Bernoulli formel 0,05 = (0) 7° 0,05 2 Ln (0,05) 2²n (²2/1) In (0,05) 2 n. ln (²) -2, 996 > n. 0,288 1 : n zu würfeln 2 1 A: Man muss mindestens 11 mal würfeln b) Beispiel 2: 40% der Schüler leinen Spanisch. Wie groß muss von 9090 mindestens 5 darunter spanisch lernen? P20,9 p=0,4 kzs ges P(x25) 2019 1- P(x≤4) 20,9 0₁1 7 P(x ≤ 4) n = 18 9094 n= 19 P(x ≤4) = 0,069 → In auf beiden Seiten im TR eingeben und nach n 10,4027 ≤n Zeichen dreht sich um, wegen minus (2) = 1 (n) = ₁ (n) = n auflösen eine Gruppe sein, damit mit eine Wahrschent. Tipp. Man fängt beimn Taschenrechner über 5 an A: Die Gruppe muss mindestens 18 Schüler haben c) Beispiel 3: P= 1 Ein Test besteht aus 15 fragen mit 5 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils Wie viele richtige Antworten müssen für das Bestehen k? 1 richtig ist. делал des Test verlangt werden, wenn die Wahrscheinlichkeit kleiner als 10% sein soll, das man durch zufälligs Raten besteht? ges: k2 Pxzk) < 0,1 1- P ≤ K-1) 2011 0,92 P(x≤ K-1) n=15 P(XEX) =0,836 P(x≤s) = 0,939 K-1=5 d) ges: p k = 5 } PS: Weniger als K Treffer: n=10 K=1 P&21)=0,8 im TR K-1 P(x21) = 1- P(x=0)=0₁8 10 8₁2= P(x=0) <> 2= (1-P) ≤ 1=0 67 (15) r P(x<k) = P(x≤k-1) Beispiel: Mindesten 1 mal eine "6" würfeln in 80% der Fälle Tipp: Erwartungswert berechnen: p. = 1,15= 3 5 Gab 3 in TR ausprobieren ì 920,8 16-1 1-р 190,2 = P=11√√0₁2 =91487 Tipp: wenn K1 ist, dann im TR probieren von o bis 1 Mittelwert, Varianz, Standardabweichung X V S Erwartungswert: M = E(X) = P₁ · X₁ + P₂ · X₂ ... pn- xn Varianz: VXxx (X₁-M) ². P₁+ (x₂-M) ². P₂.... 2 2 Standart abweichung: o = √VA) Sachzusammenhang: E (X) 70 günstig für Spieler Ex)=0 faives Spiel Ex)<o günstig für Anbieter x= Gewinn des Spielers Erwartung swert, Varianz, Standardabweichung bei Binomial v. bei Normal N. E (x)= n. p V(x) = n. p. P √(x) 72 Stochastik Die Werte für bestimmte Binomialverteilungen und ihre kumulierten Verteilungen können einem Tafelwerk entnommen werden. Übersicht über typische Fragestellungen und Rückführung auf die kumulierte Verteilungsfunktion: • genau k Treffer: • höchstens k Treffer: • weniger als k Treffer: • mindestens k Treffer: • mehr als k Treffer: • mindestens k, aber höchstens h Treffer: P(X= k) = B(n; p; k) =(.pk (1-p)n-k P(X ≤k) P(X<k)=P(X ≤k-1) P(X≥k)=1-P(X≤k-1) P(X> k) = P(X≥k+1)=1-P(X ≤k) P(k≤X ≤h) = P(X ≤h) - P(X ≤k-1) Bsp: 9-10 14 _px=gl$ +lal+l 1 1 10 Auszahlung (Einsatz + Gewinn) Einsatz Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? 1) Tabelle machen : Gewinn P(X=g) (Auszahlung-Einsatz) =e+ 1- 3 6 => e= e=0₁7 € e +1- 5 6 Gewinn P(X=g) 10 Auszahlung (Einsatz + Gewin) Einsatz 2) м muss o sein: LM berechnen und nach e auflösen. Einsatz: 1€ Gewinn g= (-1+1) O - 2²/2/2 + 1/10 + 9/²5 - 1/5 15 => a = 9,5 € OL e -e + 23/31/2 HM T 1 3 1 2 5 e e 2-e 5-e e 1-e O 1 (Auszahlung-Einsatz) -1 3/3 e = 0 15 Ändern Sie die maximale Auszahlung so ab, dass das Spiel fair ist -> 1 10 15 7/6 1 2 a 1 1 1 O 1 a-1 1 u muss O sein → ausrechnen und nach a auflösen: de ^.^ 17/0 Wahrscheinlichkeit bei Zufallsg open 1 15 = M = μ Einsatz: 1€ Histogramm: K|01|2|3|4 P=0,06925938 0,25 0,06 Wahrschein- Lichkeit verteilung P(X=k) Ih 1 E (x) 0,3 02- 91- м-о мно 2.B 4 n=4 P= 0, s o-Umgebung: Abweichung des Erwartungsweit von der Standard abweichung Erwartungswet Standa tabweichung → Ohne Runden, kann man ok Binomial verteilt; M-0 =5,69 aufrunder P(6 ≤ x ≤ 10) -> Für Wahrscheinlichkeit berechnen: M +0 = 10, 97 abrunden. 10 X=6 : Nomalverteilung nehmen Normalverteilung: -4 (x-μ)² 9₁₁0 (x) = 1 9, Mia Wahrscheinlichkeit: P (a≤x≤ b) = S 1 oJet Zeichnen: Hochpunkt: (M) Wendepunkte. X-Wert: WP₁ = M- WP2 =u+o z. B a) OSER 909- 0,06- 0,03- 1- 2 2.B M = 10 L₂ HP (10/0,09) WP. (610,06) WP₂ (710,06) 0=4 -6 x < 52 oder x≤ 52 weniger als 52/ höchstens $2 b) X > 8 oder x ≥ 8 - (^_^) e -∞ mehr als 8/ mindestens 8 y im TR Menu->7-> 1-2 man 2 u Wahrscheinlichkeit im TR berechnen: Menu -> 7-72 → untere, obere, o, μ eingeben. dx 10 12 → untere 8 M=Erwartungswert (mü) Standardabweichung (Sigma) y wert ist bei beiden wp gleich Lim TR ausrechnen. 0 = gibt für x und M → Je größer o, desto breiter ist der Graph →→ Zunehmender Erwartungswert, verschiebt den Hochpunkt nach rechts." 14 16 18 20 obere z.B 1000 c) P ( 7 ≤ x ≤ 12) = P(x≤ 12)- P(x<7) -> unter 7. 1 Zwischen 7 und 12 -> untere o aber im TR Zahl, die größer als M ist z.B -1000 obere 52 gleiche Zahl ein obere 12 d) wenn die frage ist weicht um mindesten 6 vom Erwartungswert Lwenn höchstens, ohne 1-P(x) P(51≤2≤63) e) P(x= 3) = 0 →x M = 57 : K bestimmen bei Normalverteilung. 2.B A) Eine normalveteilte Zufallsgröße X und der Standartabweichung σ = 2 P(x≤k) = (*) M₁0 P(x≤k) = $50₁2 (k) = 0,7 ·50; -1 → k = ₁ (0₁7) = 51,03 -5012 Lim TR eingeben. : Menü, 7, 3 B) für P(xzk) = 0,7 1- P(x≤ k) = 0,7 0₁3 = P(x≤k) P(xsk) = 50₁2 (k)=0,3 -1 K=&5012 (93) man 50 mindestens + C berechnen: 2.B: Wie muss mit 0=2 M= mit dem Erwartungswert u=60 ist de wet k gesucht für P(x≤k)=97 Grenzwert = Fläche unformen مالها 17 = bei A 2 $ (k_^) +C die Toleranzgrenze wählen, damit man höchstens 5% Ausschuss erhält? Gegenwahrscheinlichkeit von 5% P (50-c ≤ x ≤ 50+C) 2 0,85 P (xs 50+ c) - P(x ≤ 50-c) ≥ 0,95 P(x≤ 50+c) - (1-P x ≤ 50+ c) ≥ 0,95 P(x ≤ 50+c) - 1 + P(x ≤ 50+C) 2 0,95 | +1 2. P(x≤ 50+c) 7 1,95 1:2 P(x≤ 50+c) z 9975 --1 $50₁2 (50+C) = 0,975 ->2 (9975) = 53, 92 -50; Formel $1k-u Вет andet man die Zahl nicht = 50+c= 53,92 L₂ C= 3,92 Erwartungswert M und Standartabweichung: Dichtefunktion: A) mit funktion und Intervalle: M₂ E (x ) = 5 x. f(x) dx 81 √(x) = 5 (x-μ)²³. f(x) dx L man macht htegrall mit den gegebenen Intervallen & B) Ohne funktion, mit Intervalle und 2 Flächen X=15 P=0,05 x=28 p = 0,91 2.B х-м Formel: 0₁1 (x-²) Rechnung: I ₁ (15) = 0,05 мо I Eu,o (28)= 0,91 Formel einsetzen I 15-1 28-u = - 1,64 M = - = 1,34 Fläche 0=4,36 2215 I 15-1= -1,640 28 M = 1,3 460 I umfommen -2 → -- -> 3- 1 ₁ (905) = -1,6 (905) = 0; 1 -1 15-1=0.1, 64 ठु -0₁1 (991) = 1, 34 28-M = σ 1,34 Gleichung -1,64 (TR) lösen Standartabweichung: дед: K M (Erwartungswert) P 1 1 2.B K= 62 1 μ= 55₁ P(x262)=905 Frage: welche Standortabweichung dürfen die Maschienen höchstens haben? Bei einem Verbrauch von 62 oder mehr P(x262) = 0,05 1- P(x ≤ 62) = 0,05 bei Normalverteilung bleibt zahl gleich 0,95 = P(x≤ 62) Man gibt u, Fläche (0,95) ein, probiert o 0=413 0=4₁2 * = 62, 07 } k= ↳ Man nimmt die kleinere Zahl im Taschenrechner ausprobieren. PS. mit 1 anfangen → Bei Erwartungsweet berechnen so ähnlich Untersuchen, ob eine Dichte funktion vorliegt: Def: Eine Dichte funktion f ist eine funktion einer stückweise steigenden Zufallsgröße X, für die gilt: f(x) 20 für alle x E R Ŝ f(x) dx = 1 ↳ Integral mit bestimmte Intervalle machen ↳ gucken, ob 1 rauskommt zwenn ja, dann ist es eine Dichtefunktion Unterschied Erwartungswert Normal und diskrete Zufallsgröße Bei einer diskreten (endlichen) Zufallsgröße ist der Erwartungswert die Summe über alle Produkte aus Ergebnis und zugehöriger Wahrschein- lichkeit. Bei einer stetigen Zufallsgröße wird als Produkt das Ergebnis mit dem Wert der Dichtefunktion multipliziert und dann - statt der Summe - das Integral über alle Produkte gebildet diskret = Binomial stetig = Normal Man benutzt Normalverteilung, wenn Erwartungswerk größer als 4 Standart abweichung größer als 3 ist. Hypothesen-Test Einseitiger Signifikanztest →linksseitig: (jmd. gibt etw an... но: Pzpo На: РСРо P(x≤k) ≤a zeichen undrehen 4. Schritt 1) Erwartungswert berechnen. n. Po 2) Man gibt im TR Poin ein und für k verschiedene Zahlen, die weniger Erwartungswert sind. für Ablehnungsbereich 3) Man sucht eine Zahl die kleiner aber nah an Entscheidungsregel; Entscheidung →Behauptung Ho: P≤ Po 乂= 0,05 n= Anzahl de, Versuche 2.B P(XSK) ≤0,05 n= So p=99 P(x≤ 40) = 9,0 24 - Ablehnungsbereich Ā= ₁1;... 403 — Ho P(x≤41)=9057 → Annahmebereich &A= 41, 42;... 50} Einseitiger Signifikanztest → rechtsseitig: H₁: P > Po P(xzk) ≤x (mehr, weniger) Entscheidungsregel: Falls das Medikament bei 40 oder weniger Personen wirkt, wird die Hypothese des Herstellers abgelehnt. Falls es bei 41 oder mehr Personen wirkt, wird die Hypothese angenommen. Entscheidung: Da es bei 42 Personen wirkt, sollte die Hypothese des Herstellers angenommen werden. 9,95< Plx≤K-1) 60= K-1 2.B 2=0, 05 1) Erwartungswet berechnen 2) Man Sucht eine Zahl die größer ist als 2.B 0, 95 a ist k=61 X ist binomial verteilt mit p=... n = ... und Ā=[61... 200] als P(xzk) ≤0,05 1- P(x<k) ≤ 0,05 1- P(x ≤ K-1) ≤ 0,05 1-1 -P (x ≤k-1) ≤0, 95 | .(-1) PA≤k-1) 2 0, 95 Alternativtest/ Fehler 1. Art und 2. Art (x-fehler) (ß-Fehler) von Ho 2. B H₂: P=0₁ 05 H₁₂ : p=0₁1, n=20, Ā: {2,..., 20} 1 1. Art: 1) man schaut auf Ablehnungsbereich 2) übersetzen (r : 3) TR = = = M = n. P₁ -> Ablehnungsbereich berechnen : 1- P(x≤2-1) 1- P(x≤1) 1-F (n; Po; K2 1- (20; G05; 1- 0₁ 736= 0,264 P(x22) = dann: P(xzk) < 905 rechsseitig HT mindestens 2 P= 0,264 3) im TR eingeben Bedeutung: Hypothese wird abgeleht, obwohl sie wahr ist. (Entscheidung für H₂ ) (Ho) von Ho 2. Art: 1) man schaut auf Annahmebereich: A: {0;1} also P(x≤1) 2) übersetzen": P(x< 1) = f (n; P₁₁ k) 2. Arl P F(20; 0,1; 1) höchsten 1 = 0,39 bei 1. Art nimmt ohne Ablehnungsbereich / Annahme bereich 1. Art) wenn a) Po < Pr Kleiner (Ho) Bedenting. Hypothese wird angenommen obwohl sie falsch ist. (H₂ abgelehnt) man wenn b) Po > Pr größer Po dann: P(x≤k) ≤ gos < Linksseitig HT. 2. Art) bei 1.Art schauen und mithilfe des A, den Annahme bereich berechnen dann k in TR fiur P Einfluss von , n auf die Fehler: 1) Wird die Anzahl der untersuchten Personen n erhöht, so nimmt ß Fehler ab. & Fehler ab. nimmt geringer, 2)-Ein geringerer Wert des Signifikanzniveaus a führt zu einem kleineren Ablehnungsbereich. Hierdurch verringert sich die Gefahr, einen Fehler 1. Art zu begehen. → Wird & erhöht, führt dies zu einem größeren Ablehnungsbreich. B-Fehler nimmt dadurch ab.