Stochastik Grundlagen

Grundbegriffe der Stochastik

• Ergebnismenge Ω: Alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments $z.B. Ω = {1,2,3,4,5,6} beim Würfelwurf$
• Ergebnis X: Ein einzelner möglicher Ausgang $z.B. x = {2}$
• Ereignis A: Teilmenge der Ergebnismenge $z.B. A = {2,4,6}$
• Gegenereignis Ā: Alle Ausgänge, die nicht in A enthalten sind $z.B. Ā = {1,3,5}$
• Mächtigkeit |Ω|: Anzahl der Elemente einer Menge

Wichtige Begriffe Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis bei n Versuchen vorkommt. Die relative Häufigkeit ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl der Durchführungen des Experiments.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Mehrstufige Experimente werden mithilfe von Baumdiagrammen dargestellt, wobei zwei wichtige Regeln gelten:

• Produktregel: P(A∩B) = P(B) · P₍ᵦ₎(A)
• Summenregel: P(A) = P(B∩A) + P(B̄∩A)

Mengenschreibweise in der Stochastik

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird berechnet als: P(A) = |A|/|Ω| $Anzahl der günstigen Ergebnisse/Anzahl aller möglichen Ergebnisse$

Verschiedene Ereignisse können in Mengenschreibweise ausgedrückt werden:

• Gegenereignis zu A: Ā = Ω\A
• Schnittmenge (A und B treten ein): A∩B
• Vereinigung (A oder B tritt ein): A∪B
• Keines der Ereignisse tritt ein: Ω(A∪B)
• Genau eines der Ereignisse tritt ein: (A∩B̄) ∪ (Ā∩B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist: P₍ₐ₎(B) = P(A∩B)/P(A)

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn:

• P(A∩B) = P(A) · P(B) oder
• P₍ᵦ₎(A) = P(A)

Merkhilfe Bei Experimenten ohne Zurücklegen besteht Abhängigkeit zwischen den Ereignissen, bei Experimenten mit Zurücklegen sind sie unabhängig.

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Kombinatorik - Anzahl der Möglichkeiten

Die Kombinatorik hilft uns, die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu berechnen:

Mit Reihenfolge (Variation):

• Mit Wiederholung: n^k
• Ohne Wiederholung: n!/$n-k$!

Ohne Reihenfolge (Kombination):

• Mit Wiederholung: $n+k-1$!/$k!(n-1)!$
• Ohne Wiederholung: n!/$k!(n-k)!$

Anordnung/Vertauschung (Permutation):

• Mit Wiederholung: n!/(k₁!k₂!...kₘ!)
• Ohne Wiederholung: n!

Dabei ist n die Anzahl auswählbarer Objekte und k die Anzahl der ausgewählten Objekte.

Wichtig zu wissen Kombinatorik-Aufgaben lassen sich mit diesen Formeln systematisch lösen. Die richtige Formelauswahl hängt davon ab, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Wiederholungen erlaubt sind.

Statistische Streumaße

Erwartungswert (Durchschnitt):

• E(X) = x₁·P(x₁) + x₂·P(x₂) + ... + xₙ·P(xₙ)
• Ein Spiel gilt als fair, wenn E(X) = 0 (weder Gewinn noch Verlust)

Varianz (Streuungsstärke):

• Var(X) = $x₁-μ$²·P(x₁) + $x₂-μ$²·P(x₂) + ...

Standardabweichung (Streuungsbreite):

• σ = √Var(X)

Risikoabschätzung Eine hohe Varianz und Standardabweichung bedeuten ein höheres Risiko, aber auch die Chance auf schnelleren Gewinn (oder Verlust).

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen:

P$X=s$ = $binom(S,s) · binom(N-S,n-s)$ / binom(N,n)

Dabei ist:

• N: Gesamtanzahl der Kugeln
• S: Anzahl schwarzer Kugeln
• n: Anzahl gezogener Kugeln
• s: Anzahl gezogener schwarzer Kugeln

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt Experimente mit genau zwei möglichen Ergebnissen:

P$X=k$ = binom(n,k) · p^k · $1-p$^$n-k$

Eigenschaften:

• Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen
• p: Wahrscheinlichkeit für Erfolg
• q = 1-p: Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
• n: Anzahl der Versuche

Unterschied zur Hypergeometrischen Verteilung Die Binomialverteilung wird bei Ziehen mit Zurücklegen angewendet, wobei die Wahrscheinlichkeiten unabhängig bleiben. Bei der Hypergeometrischen Verteilung (ohne Zurücklegen) ändern sich die Wahrscheinlichkeiten.

Wichtige Formeln:

• Erwartungswert: E(X) = n·p
• Varianz: Var(X) = n·p·q
• Standardabweichung: σ = √(n·p·q)

Beispielaufgabe: Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs zu erhalten?

• Lösung durch Umformen der Ungleichung $1-P(X=0)$ ≥ 0,9
• Ergebnis: n ≥ 13