Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Kombinatorik - Anzahl der Möglichkeiten
Die Kombinatorik hilft uns, die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu berechnen:
Mit Reihenfolge (Variation):
- Mit Wiederholung: n^k
- Ohne Wiederholung: n!/(n-k)!
Ohne Reihenfolge (Kombination):
- Mit Wiederholung: (n+k-1)!/(k!(n-1)!)
- Ohne Wiederholung: n!/(k!(n-k)!)
Anordnung/Vertauschung (Permutation):
- Mit Wiederholung: n!/(k₁!k₂!...kₘ!)
- Ohne Wiederholung: n!
Dabei ist n die Anzahl auswählbarer Objekte und k die Anzahl der ausgewählten Objekte.
Wichtig zu wissen Kombinatorik-Aufgaben lassen sich mit diesen Formeln systematisch lösen. Die richtige Formelauswahl hängt davon ab, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Wiederholungen erlaubt sind.
Statistische Streumaße
Erwartungswert (Durchschnitt):
- E(X) = x₁·P(x₁) + x₂·P(x₂) + ... + xₙ·P(xₙ)
- Ein Spiel gilt als fair, wenn E(X) = 0 (weder Gewinn noch Verlust)
Varianz (Streuungsstärke):
- Var(X) = (x₁-μ)²·P(x₁) + (x₂-μ)²·P(x₂) + ...
Standardabweichung (Streuungsbreite):
Risikoabschätzung Eine hohe Varianz und Standardabweichung bedeuten ein höheres Risiko, aber auch die Chance auf schnelleren Gewinn (oder Verlust).
Hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen:
P(X=s) = [binom(S,s) · binom(N-S,n-s)] / binom(N,n)
Dabei ist:
- N: Gesamtanzahl der Kugeln
- S: Anzahl schwarzer Kugeln
- n: Anzahl gezogener Kugeln
- s: Anzahl gezogener schwarzer Kugeln
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung beschreibt Experimente mit genau zwei möglichen Ergebnissen:
P(X=k) = binom(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Eigenschaften:
- Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen
- p: Wahrscheinlichkeit für Erfolg
- q = 1-p: Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
- n: Anzahl der Versuche
Unterschied zur Hypergeometrischen Verteilung Die Binomialverteilung wird bei Ziehen mit Zurücklegen angewendet, wobei die Wahrscheinlichkeiten unabhängig bleiben. Bei der Hypergeometrischen Verteilung (ohne Zurücklegen) ändern sich die Wahrscheinlichkeiten.
Wichtige Formeln:
- Erwartungswert: E(X) = n·p
- Varianz: Var(X) = n·p·q
- Standardabweichung: σ = √(n·p·q)
Beispielaufgabe: Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs zu erhalten?
- Lösung durch Umformen der Ungleichung (1-P(X=0)) ≥ 0,9
- Ergebnis: n ≥ 13