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Stochastik
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GRUNDLAGEN 222= Ergebnismenge → alle Möglichkeiten X: Ergebnis: ein möglicher Ausgang A: Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge 2.B A: {2,4,6} Ā Gegenereignis: alle Ausgänge die nicht in A enthalten sind 121: Mächtigkeit 2.B 2= {2;3; 6] 1_21=3 absolute Häufigkeit: gibt an wie oft das Ergebnis bei n versuchen vorkam relative Häufigkeit: Der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl n der Durchführungen des Experiments Laplace-Experiment: alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich MEHRSTUFIGE ZUFALLSEXPERIMENTE Darstellung mithilfe von Baumdiagrammen A P(BNA) PB(A) P(B) P(B) ·B P(A) = PB(A) PB(A) B PB(A) Ā A P(BNA) P(BNA) Vereinigung von A und B → Vereinigungsmenge Ā PBnA) MENGENSCHREIBWEISE Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt Anzahl aller möglichen Ergebnisse Sowohl Ereignis A als auch B treten ein →→→→Schnittmenge 2.B 2 = {1; 2; 3; 4; 5;6} - {2} 2.B x= Ereignisbeschreibung Alle Ereignisse aus, die nicht in A sind, also das Gegenereignis zu A tritt ein Pfadregeln: P(ANB) = P(B). PB(A) P(A) = P(BNA) + P(BNA) 2.B A: 1,3,5} = |A| |_321 Mengenschreibweise Ā = __2|A nohne" ANB Schnitt zwischen" AUB beide zusammen" → Produktregel → Summenregel _2 AUB Keines der beiden Ereignisse tritt ein Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT Die Wahrscheinlichkeit, dass Beintritt, unter der Bedingung, dass auch A eintrat => PA(B): P(ANB) PIA) STOCHASTISCHE (UN)ABHÄNGIGKEIT P(ANB)=P(A) P(B) oder PB(A)=P(A) dann stochastisch unabhängig ohne Zurücklegen = Abhängigkeit mit Zurücklegen = Unabhängigkeit (ANB) u (ANB) Mengendiagramm B S2 KOMBINATORIK Mit Reihenfolge (Variation) onne Reihenfolge (Kombination) Anordnung/vertauschung (Permutation) mit wiederholung (mit Zurücklegen") K n (n+h-^) n! K₁!·K₂!... km! Anzahl der Möglichkeiten Varian2 = Streuungsstärke |var(x) = (x^-µ)²·p(x^) + (x₂-µ)². p(x₂) + ... Standardabweichung = Streuungsbreite 6=√√var(x) P(x=s) = ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen")" (§). (N-S) (N) (R).K! STATISTISCHE STREUMARE Erwartungswert = Durchschnitt Zufallsvariable: X₁, X2, X3,..., Xn nimmt wahrscheinlichkeiten: P(x₁), P(x₂),... an (n) n! > Entspricht der...
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Alternativer Bildtext:
Erwartungswert E(x)=0, so gilt das Spiel als fair, da weder der Verkäufer noch der Spieler langfristig gesehen Gewinn/verluste → Einsatz muss natürlich berücksichtigt werden |µ = E(X) = x₁ · P(x₁) + X₂· P(x₂) + ... + xn⋅P(xn) = HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG >ziehen ohne Zurücklegen + Betrachten der Reihenfolge Hohe Varianz und Standardabweichung bedeuten ein höheres Risiko, jedoch auch den schnellstmöglichen Gewinn (und Verlust) N: Kugeln in der Urne S: Anzahl schwarzer Kugeln in der Urne n: Anzahl gezogene Kugeln S: Anzahl gezogener schwarzer Kugeln n: Anzahl auswählbarer Objekte K: Anzahl der ausgewählten Objekte BINOMIALVERTEILUNG P(x = k) = () · pk. (1-p) (n-k) Eigenschaften: > Experiment mit zwei möglichen Ergebnissen. Diese werden als Treffer und Niete bezeichnet > Experiment wird n-mal durchgeführt P >Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen beträgt p und bleibt bei jeder Durchführung gleich mit Zurücklegen" >Je größer P, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung E(x) = n.p Var(x) = n⋅p.q > Die Wahrscheinlichkeiten sind unabhängig voneinander 6-√var(x)=√n.p.q wahrscheinlichkeit fürk Erfolge wahrscheinlichkeit für Erfolg Anzahl der Treffer wahrscheinlichkeit für Misserfolg (=Gegenereignis) Länge der Bernoullikette = Anzahl an Versuchen 3-M AUFGABE Bsp. Wie oft muss man mindestens Würfeln, um mit einer Wsl. von mindestens 90%, mindestens eine sechs zu würfeln. p=1/ 9=5/ Gesucht in n P(x21) 20,9 →→Binomialverteilung: (1)°. (§) "<0,1 len 1-P(x=0)>0,9 n.en (5) ≤ en (0,1) P(x=0) ≤0₁1 n² en (0,1) en (5) n = 12,6 → min. 13x