Stochastik Grundlagen und Verteilungen – Eine Einführung

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Ella

2.5.2021

Mathe

Stochastik

Fächer

Mathe

Stochastik

Wahrscheinlichkeit grundlagen

Pfadregel

Stochastik Grundlagen und Verteilungen – Eine Einführung

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Die Stochastik, ein faszinierendes Teilgebiet der Mathematik, befasst sich mit der Analyse von Zufallsexperimenten und deren Wahrscheinlichkeiten. In diesem Lernzettel werden die Grundlagen der Stochastik einfach erklärt, von der Mengenschreibweise bis hin zu komplexeren Konzepten wie der Hypergeometrischen Verteilung und Binomialverteilung. Du wirst lernen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet, Kombinatorik-Aufgaben löst und statistische Streumaße interpretiert. Mit zahlreichen Beispielen und Formeln ausgestattet, bietet dieser Leitfaden alles Nötige, um Stochastik-Aufgaben erfolgreich zu bewältigen – ein unverzichtbares Grundwissen für Prüfungen und praktische Anwendungen.

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2.5.2021

9792

GRUNDLAGEN
2= Ergebnismenge → alle Möglichkeiten
X: Ergebnis: ein möglicher Ausgang
A Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge
A Gegenereignis:

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Stochastik Grundlagen

Grundbegriffe der Stochastik

Ergebnismenge Ω: Alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments $z.B. Ω = {1,2,3,4,5,6} beim Würfelwurf$
Ergebnis X: Ein einzelner möglicher Ausgang $z.B. x = {2}$
Ereignis A: Teilmenge der Ergebnismenge $z.B. A = {2,4,6}$
Gegenereignis Ā: Alle Ausgänge, die nicht in A enthalten sind $z.B. Ā = {1,3,5}$
Mächtigkeit |Ω|: Anzahl der Elemente einer Menge

Wichtige Begriffe Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis bei n Versuchen vorkommt. Die relative Häufigkeit ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl der Durchführungen des Experiments.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Mehrstufige Experimente werden mithilfe von Baumdiagrammen dargestellt, wobei zwei wichtige Regeln gelten:

Produktregel: P $A∩B$ = P $B$ · P₍ᵦ₎ $A$
Summenregel: P $A$ = P $B∩A$ + P $B̄∩A$

Mengenschreibweise in der Stochastik

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird berechnet als: P $A$ = |A|/|Ω| $Anzahl der günstigen Ergebnisse/Anzahl aller möglichen Ergebnisse$

Verschiedene Ereignisse können in Mengenschreibweise ausgedrückt werden:

Gegenereignis zu A: Ā = Ω\A
Schnittmenge $A und B treten ein$ : A∩B
Vereinigung $A oder B tritt ein$ : A∪B
Keines der Ereignisse tritt ein: Ω $A∪B$
Genau eines der Ereignisse tritt ein: $A∩B̄$ ∪ $Ā∩B$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist: P₍ₐ₎ $B$ = P $A∩B$ /P $A$

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn:

P $A∩B$ = P $A$ · P $B$ oder
P₍ᵦ₎ $A$ = P $A$

Merkhilfe Bei Experimenten ohne Zurücklegen besteht Abhängigkeit zwischen den Ereignissen, bei Experimenten mit Zurücklegen sind sie unabhängig.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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2. Mai 2021

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Stochastik Grundlagen und Verteilungen – Eine Einführung

Ella

@ellamarie

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Grundbegriffe der Stochastik

Ergebnismenge Ω: Alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments $z.B. Ω = {1,2,3,4,5,6} beim Würfelwurf$
Ergebnis X: Ein einzelner möglicher Ausgang $z.B. x = {2}$
Ereignis A: Teilmenge der Ergebnismenge $z.B. A = {2,4,6}$
Gegenereignis Ā: Alle Ausgänge, die nicht in A enthalten sind $z.B. Ā = {1,3,5}$
Mächtigkeit |Ω|: Anzahl der Elemente einer Menge

Wichtige Begriffe Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis bei n Versuchen vorkommt. Die relative Häufigkeit ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl der Durchführungen des Experiments.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Mehrstufige Experimente werden mithilfe von Baumdiagrammen dargestellt, wobei zwei wichtige Regeln gelten:

Produktregel: P $A∩B$ = P $B$ · P₍ᵦ₎ $A$
Summenregel: P $A$ = P $B∩A$ + P $B̄∩A$

Mengenschreibweise in der Stochastik

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird berechnet als: P $A$ = |A|/|Ω| $Anzahl der günstigen Ergebnisse/Anzahl aller möglichen Ergebnisse$

Verschiedene Ereignisse können in Mengenschreibweise ausgedrückt werden:

Gegenereignis zu A: Ā = Ω\A
Schnittmenge $A und B treten ein$ : A∩B
Vereinigung $A oder B tritt ein$ : A∪B
Keines der Ereignisse tritt ein: Ω $A∪B$
Genau eines der Ereignisse tritt ein: $A∩B̄$ ∪ $Ā∩B$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist: P₍ₐ₎ $B$ = P $A∩B$ /P $A$

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn:

P $A∩B$ = P $A$ · P $B$ oder
P₍ᵦ₎ $A$ = P $A$

Merkhilfe Bei Experimenten ohne Zurücklegen besteht Abhängigkeit zwischen den Ereignissen, bei Experimenten mit Zurücklegen sind sie unabhängig.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Kombinatorik - Anzahl der Möglichkeiten

Die Kombinatorik hilft uns, die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu berechnen:

Mit Reihenfolge $Variation$ :

Mit Wiederholung: n^k
Ohne Wiederholung: n!/ $n-k$ !

Ohne Reihenfolge $Kombination$ :

Mit Wiederholung: $n+k-1$ !/ $k!(n-1$ !)
Ohne Wiederholung: n!/ $k!(n-k$ !)

Anordnung/Vertauschung $Permutation$ :

Mit Wiederholung: n!/ $k₁!k₂!...kₘ!$
Ohne Wiederholung: n!

Dabei ist n die Anzahl auswählbarer Objekte und k die Anzahl der ausgewählten Objekte.

Wichtig zu wissen Kombinatorik-Aufgaben lassen sich mit diesen Formeln systematisch lösen. Die richtige Formelauswahl hängt davon ab, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Wiederholungen erlaubt sind.

Statistische Streumaße

Erwartungswert $Durchschnitt$ :

E $X$ = x₁·P $x₁$ + x₂·P $x₂$ + ... + xₙ·P $xₙ$
Ein Spiel gilt als fair, wenn E $X$ = 0 $weder Gewinn noch Verlust$

Varianz $Streuungsstärke$ :

Var $X$ = $x₁-μ$ ²·P $x₁$ + $x₂-μ$ ²·P $x₂$ + ...

Standardabweichung $Streuungsbreite$ :

σ = √Var $X$

Risikoabschätzung Eine hohe Varianz und Standardabweichung bedeuten ein höheres Risiko, aber auch die Chance auf schnelleren Gewinn $oder Verlust$ .

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen:

P $X=s$ = $binom(S,s) · binom(N-S,n-s)$ / binom $N,n$

Dabei ist:

N: Gesamtanzahl der Kugeln
S: Anzahl schwarzer Kugeln
n: Anzahl gezogener Kugeln
s: Anzahl gezogener schwarzer Kugeln

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt Experimente mit genau zwei möglichen Ergebnissen:

P $X=k$ = binom $n,k$ · p^k · $1-p$ ^ $n-k$

Eigenschaften:

Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen
p: Wahrscheinlichkeit für Erfolg
q = 1-p: Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
n: Anzahl der Versuche

Unterschied zur Hypergeometrischen Verteilung Die Binomialverteilung wird bei Ziehen mit Zurücklegen angewendet, wobei die Wahrscheinlichkeiten unabhängig bleiben. Bei der Hypergeometrischen Verteilung $ohne Zurücklegen$ ändern sich die Wahrscheinlichkeiten.

Wichtige Formeln:

Erwartungswert: E $X$ = n·p
Varianz: Var $X$ = n·p·q
Standardabweichung: σ = √ $n·p·q$

Beispielaufgabe: Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs zu erhalten?

Lösung durch Umformen der Ungleichung $1-P(X=0$ ) ≥ 0,9
Ergebnis: n ≥ 13

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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