Binomialverteilung

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muss, damit mit einer Warscheinlichkeit von mindestens 85% mindestens b) fünf eine Rot-Grün-Schwäche hat. Etwa 9% der männlichen Bevölkerung haben eine Rot-Grün-Schwäche. Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mindestens sein muss, damit mit einer Warscheinlichkeit von mindestens 85% mindestens b) fünf eine Rot-Grün- Schwäche hat. X= Anzahl an Männern mit Rot-Grün- Schwäche k=5 p=0,09 n = 2 P(X= k) = 0,85 X ist Bn₁00g verteilt 0,09 P(X = 5) = 0,85 P(X≤4) ≤0,15 n P(X²4) 78 9,159 } > 0,15 79 0,151 80 0,143 <0,15 →n = 80 A: Die Gruppe muss aus mindestens 80 Männern bestehen. P gesucht Bei einer verbeulten Münze fällt ,,Kopf" mit der Warscheinlichkeit p. Bei 50 Würfen beträgt die Warscheinlichkeit, dass höchstens 20x ,,Kopf" fällt, mindestens 50%. Bestimmen Sie das größtmögliche p auf zwei Nachkommastellen gerundet. Bei einer verbeulten Münze fällt ,,Kopf" mit der Warscheinlichkeit p. Bei 50 Würfen beträgt die Warscheinlichkeit, dass höchstens 20x ,,Kopf" fällt, mindestens 50%. Bestimmen Sie das größtmögliche p auf zwei Nachkommastellen gerundet. X= Ergebnisse Kopf" der Würfe p= ? n = 50 k≤ 20 X ist B50p verteilt P ( X = 20) = 0,5 P(X≤20) P 0,40 0,561 0,41 0,503 0,42 0,446 P = 0,41 P(X≤K) = 0,5 ≥0,5 → <0,5 A: Die Trefferwarscheinlichkeit darf höchstens 41% betragen K gesucht besteht aus Ein Multiple-Choice-Test 20 Fragen. Zu jeder gibt es drei Antwort-möglichtkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Die Warscheinlichkeit, dass jemand nur durch Raten den Test besteht soll höchstens 5% betragen. Bestimmen sie die Mindestanzahl an richtigen Antworten, die für das Bestehen verlangt werden muss. a a a a 000000 b b 0000000 0000000 00000000 Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 20 Fragen. Zu jeder gibt es drei Antwort-möglichtkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Die Warscheinlichkeit, dass jemand nur durch Raten den Test besteht soll höchstens 5% betragen. Bestimmen sie die Mindestanzahl an richtigen Antworten, die für das Bestehen verlangt werden muss. X= Anzahl der richtigen Antworten p= 0,25 n = 20 X ist B20,025 verteilt P(X²k ) = 0,05 P(x≤K-1) = 0,95 k=? K-₁ P(X²K-1) 7 0,8982 < 0,95 80,9591 0,95 → k-1 = 8 > k = g P(X=K) ≤0,05 | +1 A: Es müssen für das Bestehen des Testes mindestens 6 richtige Antworten verlangt werden 4. Problemlösen mit der Binomialverteilung Bei Binomialverteilten Zufallsgrößen treten drei Parameter auf: die Anzahl der Versuche n - die Trefferwarscheinlichkeit p die Trefferzahl k - Sind n, p und k gegeben, so können Einzelwarscheinlichkeiten P(X=k) und kumulierte Warscheinlichkeiten P(X≤k) bestimmt werden. Umgekehrt kann bei gegebener Warscheinlichkeit ein gesuchter Parameter (n, p oder k) bestimmt werden. N gesucht ! kein Treffer oder nur Treffer ! Bei einer verbeulten Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für ,,Kopf" 62 % und für ,,Zahl" 38 %. Wie oft darf man die Münze höchstens werfen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 20 % ... b) ... nie „Zahl" erhält? X: Anzahl an Ergebnissen „Zahl" K=0 p=0,38 P(X=K) ≤0₁2 X ist B₁₁0,38 verteilt P(X=0] =0₁2 = 0,62n 0,62h ≤0₁2 | log 0.62 n = 3,367 n=? A: Man muss mindestens 4 Mal werfen. N gesucht ! mehr als ein/nicht nur Treffer ! Bei einer verbeulten Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für ,,Kopf" 62 % und für ,,Zahl" 38 %. Wie oft darf man die Münze höchstens werfen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 20 % ... b) ... mehr als zehnmal „Zahl” erhält? X: Anzahl an Ergebnissen Zahl" P(X=K) ≤0₁2 X ist Bn, 038 verteilt куло p= 0,38 P(X=10) ≤0,₂2 P(X≤ 10) =0,8 n=? n P(X²10) 23 0777 22 0,82690,8 → n ≤22 A: Man muss höchstens 22 Mal werfen. <0,8 P gesucht Ein Medikament wirkt erfahrungsgemäß nicht bei allen Patienten. Das Medikament wird 20 Patienten verabreicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei mindestens 15 Patienten wirkt, soll mindestens 90 % betragen. Wie hoch müsste dazu die Wirkungswahrscheinlichkeit mindestens sein? X: Amahl an Patienten, bei denen es wirkt n=20 k = 15 P(X= k) = 0,9 p ² ? X ist B ₂0 p verteilt P(X = 15) ²09 P(X≤14) ≤0,1 P/P(X≤14) 0,83 0,1097 0,84 0,0870 → > 0,1 →191 • p = 0,84 A: Die Wirkungswarscheinlichkeit müssle mindestens bei 84% liegen. K gesucht Sam behauptet er erkennt seine Lieblings-Cola am Geschmack. Lenny glaubt ihm nicht. Er gibt ihm acht mal hintereinander drei gleich aussehende Gläser, von denen eins mit seiner Lieblingscola und zwei mit Cola andere Marken gefüllt sind. Wie viele richtige Antworten müsste Lenny mindestens verlangen damit die Wahrscheinlichkeit kleiner als 10 % ist, dass Sam allein durch raten den Test besteht. X: Anzahl an erkannten Lieblings-Colas n=8 pa p=1/12 k=? P(X=K) ²0₁1 X ist Bs, verteilt P(X=K) ²0₁1 P(X²k-1) = 0,9 K-1 P(X²K-1) 3 0,7414 →<0,9 40,9121 -0,9 K-1 >4 1+1 K>5 A: Es mümen mehr als 5 Treffer erwartet werden. Übungen Buch S. 271, 1) 2) 3) Buch S. 272, 7) 11) Buch S. 273, 12)