Grundlagen der Differentialrechnung
Die Differentialrechnung befasst sich mit der Analyse von Änderungsraten von Funktionen. Auf dieser Seite werden grundlegende Konzepte und Regeln der Differentialrechnung eingeführt.
Definition: Die Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.
Der Differenzenquotient und der Differentialquotient sind zentrale Begriffe:
Vocabulary: Der Differenzenquotient, auch als mittlere Änderungsrate bekannt, entspricht der Steigung der Sekante durch zwei Punkte einer Funktion.
Formula: Differenzenquotient = (f(b) - f(a)) / (b - a), mit a < b
Vocabulary: Der Differentialquotient, auch lokale Änderungsrate genannt, ist der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer bestimmten Stelle.
Formula: Differentialquotient = lim(x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Die Seite führt auch wichtige Ableitungsregeln ein:
- Potenzregel: f(x) = xⁿ → f'(x) = n · xⁿ⁻¹
- Konstantenregel: f(x) = k → f'(x) = 0
- Summenregel Ableitung: f(x) = r(x) + s(x) → f'(x) = r'(x) + s'(x)
- Faktorregel Ableitung: f(x) = c · g(x) → f'(x) = c · g'(x)
Example: Für f(x) = x² ist f'(x) = 2x. Für f(x) = 3x² + 7x ist f'(x) = 6x + 7.
Diese Regeln bilden die Grundlage für komplexere Ableitungen und ermöglichen es, die Änderungsraten verschiedener Funktionstypen effizient zu berechnen.