Ableitungen und Differenzialrechnung: Summenregel, Faktorregel, und Beispiele

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13.3.2021

Mathe

Differentialrechnung

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Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Ableitungen und Differenzialrechnung: Summenregel, Faktorregel, und Beispiele

Die Differentialrechnung ist ein grundlegendes Konzept der Analysis, das die Änderungsrate von Funktionen untersucht. Sie ermöglicht die Berechnung von Steigungen, Extremwerten und Optimierungsproblemen in verschiedenen Anwendungsbereichen.

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten und repräsentiert die momentane Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt.
Ableitungsregeln wie die Summenregel Ableitung, Faktorregel Ableitung, Produktregel und Kettenregel erleichtern das Ableiten komplexer Funktionen.
Die Ableitung von Grundfunktionen wie Potenz-, Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen Funktionen folgt spezifischen Regeln.
Anwendungen der Differentialrechnung umfassen Optimierungsprobleme, Kurvendiskussionen und physikalische Berechnungen.

13.3.2021

Differentialrechnung
Eine Funktion f sei auf dem Intervall I definiert. Die Ableitungsfunktion f'(x) der
Funktion f ordnet jedem x den wert

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Erweiterte Ableitungsregeln und Grundfunktionen

Diese Seite erweitert das Verständnis der Differentialrechnung durch die Einführung fortgeschrittener Ableitungsregeln und die Ableitung von Grundfunktionen.

Zwei wichtige erweiterte Ableitungsregeln werden vorgestellt:

Produktregel: Für f $x$ = u $x$ · v $x$ gilt f' $x$ = u' $x$ · v $x$ + u $x$ · v' $x$
Kettenregel: Für h $x$ = f $g(x$ ) gilt h' $x$ = f' $g(x$ ) · g' $x$

Example: Anwendung der Produktregel: Für f $x$ = $x-1$ $x+1$ ist f' $x$ = 1· $x+1$ + 1· $x-1$ = 2x

Example: Anwendung der Kettenregel: Für f $x$ = $x+2$ ² ist f' $x$ = 2 $x+2$ · 1 = 2x + 4

Die Seite behandelt auch die Ableitung wichtiger Grundfunktionen:

Logarithmusfunktion: f $x$ = ln $x$ → f' $x$ = 1/x
Sinus und Kosinus: f $x$ = sin $x$ → f' $x$ = cos $x$ f $x$ = cos $x$ → f' $x$ = -sin $x$
Exponentialfunktion: f $x$ = eˣ → f' $x$ = eˣ

Example: Ableitung einer trigonometrischen Funktion: Für f $x$ = 2·sin $3x$ ist f' $x$ = 6·cos $3x$

Example: Ableitung einer Exponentialfunktion: Für f $x$ = 3·e³ˣ⁺² ist f' $x$ = 9·e³ˣ⁺²

Die Seite schließt mit komplexeren Beispielen ab, die die Anwendung mehrerer Regeln kombinieren:

Example: Für f $x$ = 2x·eˣ ist f' $x$ = $2-2x$ ·eˣ und f'' $x$ = $-4+2x$ ·eˣ

Diese erweiterten Regeln und Beispiele vertiefen das Verständnis der Differentialrechnung und bereiten auf anspruchsvollere Anwendungen vor.

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Der Differentialquotientist der Grenzwert des Differenzenquotienten und repräsentiert die momentane Änderungsrate einer Funktion... Mehr anzeigen

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Zwei wichtige erweiterte Ableitungsregeln werden vorgestellt:

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Kettenregel: Für h $x$ = f $g(x$ ) gilt h' $x$ = f' $g(x$ ) · g' $x$

Example: Anwendung der Produktregel: Für f $x$ = $x-1$ $x+1$ ist f' $x$ = 1· $x+1$ + 1· $x-1$ = 2x

Example: Anwendung der Kettenregel: Für f $x$ = $x+2$ ² ist f' $x$ = 2 $x+2$ · 1 = 2x + 4

Die Seite behandelt auch die Ableitung wichtiger Grundfunktionen:

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Sinus und Kosinus: f $x$ = sin $x$ → f' $x$ = cos $x$ f $x$ = cos $x$ → f' $x$ = -sin $x$
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Example: Ableitung einer trigonometrischen Funktion: Für f $x$ = 2·sin $3x$ ist f' $x$ = 6·cos $3x$

Example: Ableitung einer Exponentialfunktion: Für f $x$ = 3·e³ˣ⁺² ist f' $x$ = 9·e³ˣ⁺²

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Example: Für f $x$ = 2x·eˣ ist f' $x$ = $2-2x$ ·eˣ und f'' $x$ = $-4+2x$ ·eˣ

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Grundlagen der Differentialrechnung

Die Differentialrechnung befasst sich mit der Analyse von Änderungsraten von Funktionen. Auf dieser Seite werden grundlegende Konzepte und Regeln der Differentialrechnung eingeführt.

Definition: Die Ableitungsfunktion f' $x$ einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.

Der Differenzenquotient und der Differentialquotient sind zentrale Begriffe:

Vocabulary: Der Differenzenquotient, auch als mittlere Änderungsrate bekannt, entspricht der Steigung der Sekante durch zwei Punkte einer Funktion.

Formula: Differenzenquotient = $f(b$ - f $a$ ) / $b - a$ , mit a < b

Vocabulary: Der Differentialquotient, auch lokale Änderungsrate genannt, ist der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer bestimmten Stelle.

Formula: Differentialquotient = lim $x→x₀$ $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$

Die Seite führt auch wichtige Ableitungsregeln ein:

Potenzregel: f $x$ = xⁿ → f' $x$ = n · xⁿ⁻¹
Konstantenregel: f $x$ = k → f' $x$ = 0
Summenregel Ableitung: f $x$ = r $x$ + s $x$ → f' $x$ = r' $x$ + s' $x$
Faktorregel Ableitung: f $x$ = c · g $x$ → f' $x$ = c · g' $x$

Example: Für f $x$ = x² ist f' $x$ = 2x. Für f $x$ = 3x² + 7x ist f' $x$ = 6x + 7.

Diese Regeln bilden die Grundlage für komplexere Ableitungen und ermöglichen es, die Änderungsraten verschiedener Funktionstypen effizient zu berechnen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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