Englisch
Deutsch
Biologie
Geschichte
Geographie/Erdkunde
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Europa und globalisierung
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Imperialismus und erster weltkrieg
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Das 20. jahrhundert
Europa und die welt
Demokratie und freiheit
Die zeit des nationalsozialismus
Frühe neuzeit
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Der mensch und seine geschichte
Großreiche
Alle Themen
Deutschland
Klimawandel und klimaschutz
Ressourcenkonflikte und ressourcenmanagement
Entwicklung in tropischen räumen
Australien und ozeanien
Globalisierung
Planet erde
Mensch-umwelt-beziehungen
Entwicklungsperspektiven
Die subpolare und polare zone
China
Europa
Klima und vegetationszonen
Herausforderungen an die menschen des 21. jahrhunderts
Usa
Alle Themen
Die Mathematik der Ableitungen und Asymptoten wird detailliert erklärt, mit Fokus auf die durchschnittliche Änderungsrate berechnen, Tangente und Normale in der Mathematik sowie Asymptoten Definition und Beispiele. Der Leitfaden behandelt:
19.2.2021
9189
Die vierte Seite erklärt, wie man Ableitungsfunktionen zu gegebenen Funktionsgraphen zuordnen kann. Dies erfordert eine genaue Analyse des Kurvenverlaufs der Originalfunktion.
Highlight: Der Verlauf der Ableitungsfunktion hängt direkt mit der Steigung der Originalfunktion zusammen.
Folgende Regeln sind zu beachten:
Example: Ein Beispiel mit mehreren Graphen veranschaulicht diese Zusammenhänge und zeigt, wie man die korrekte Ableitungsfunktion zu einer gegebenen Funktion identifizieren kann.
Diese Fähigkeit, Ableitungsfunktionen visuell zuzuordnen, ist besonders wichtig für das Verständnis des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung.
Die zweite Seite widmet sich den geometrischen Konzepten der Tangenten und Normalen. Eine Tangente berührt eine Funktion f(x) in einem Punkt und ihre Steigung beschreibt die momentane Änderungsrate an diesem Punkt. Die Normale steht senkrecht zur Tangente im Berührungspunkt.
Definition: Die Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem Punkt berührt und deren Steigung die momentane Änderungsrate in diesem Punkt angibt.
Definition: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente im Berührungspunkt verläuft.
Für die Bestimmung der Tangentengleichung wird die Ableitung f'(x) benötigt, die der Steigung m entspricht. Bei der Normalen ist zu beachten, dass ihre Steigung der negative Kehrwert der Tangentensteigung ist. Es gilt stets, dass das Produkt der Steigungen von Tangente und Normale -1 ergibt.
Highlight: Die Berechnung der Tangentengleichung erfolgt durch Einsetzen des x-Wertes in f(x) und f'(x) sowie Verwendung der allgemeinen Geradengleichung.
Die Seite erklärt auch den Begriff des Definitionsbereichs, der angibt, für welche x-Werte eine Funktion definiert ist. Dies wird üblicherweise mit "x ∈ ..." notiert, wobei verschiedene Zahlenbereiche wie natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen verwendet werden können.
Die erste Seite führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Sie erklärt den Unterschied zwischen der mittleren Änderungsrate und der momentanen Änderungsrate. Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten beschrieben und gibt an, wie stark sich Funktionswerte in einem Intervall ändern. Die momentane Änderungsrate hingegen bezieht sich auf einen einzelnen Punkt und wird durch den Differentialquotienten ausgedrückt.
Definition: Der Differenzenquotient ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern.
Definition: Der Differentialquotient beschreibt die momentane oder lokale Änderungsrate in einem Punkt.
Das Vorgehen zur Berechnung beider Größen wird schrittweise erläutert. Für die mittlere Änderungsrate benötigt man zwei Punkte oder x-Werte, während für die momentane Änderungsrate ein einzelner x-Wert ausreicht. In beiden Fällen wird die allgemeine Geradengleichung y = mx + b verwendet, wobei m die gesuchte Steigung darstellt.
Highlight: Die Berechnung der momentanen Änderungsrate erfordert die Bestimmung der Ableitung f'(x), die der Steigung m entspricht.
Die fünfte Seite präsentiert eine Reihe von Übungsaufgaben zu verschiedenen Ableitungsregeln, insbesondere zur Potenzregel, Produktregel und Kettenregel. Diese Regeln sind fundamental für die effiziente Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen.
Highlight: Die Potenzregel ist eine grundlegende Ableitungsregel, die besagt, dass die Ableitung von x^n gleich n * x^(n-1) ist.
Die Aufgaben umfassen eine breite Palette von Funktionstypen, darunter:
Example: Eine Beispielaufgabe zur Potenzregel lautet: f(x) = x^100. Die Lösung wäre f'(x) = 100x^99.
Die Produktregel wird anhand von Aufgaben geübt, bei denen zwei Funktionen multipliziert werden. Hier sollen die Studierenden die Ableitung sowohl mit Hilfe der Produktregel als auch durch vorheriges Ausmultiplizieren berechnen.
Definition: Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x) gleich f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ist.
Die Kettenregel wird anhand von Aufgaben mit zusammengesetzten Funktionen geübt, wie z.B. f(x) = (2x + 3)^5 oder f(x) = √(6x - 1).
Die dritte Seite behandelt das Konzept der Asymptoten. Asymptoten sind Funktionen oder Linien, denen sich der Graph einer anderen Funktion im Unendlichen annähert, ohne sie jemals zu erreichen. Sie stellen Definitionslücken dar, da bestimmte Werte in der Funktion nicht erreicht werden können.
Definition: Eine Asymptote ist eine Funktion oder Linie, der sich der Graph einer anderen Funktion im Unendlichen annähert, ohne sie zu erreichen.
Asymptoten können waagerecht, senkrecht oder in seltenen Fällen schräg verlaufen. Eine senkrechte Asymptote ist jedoch keine Funktion im mathematischen Sinne, da jedem x-Wert nur ein einziger y-Wert zugeordnet wird. Eine Funktion hat eine Asymptote, wenn im Nenner der Funktion Null herauskommt.
Example: Bei der Funktion f(x) = x²/(x-1) gibt es eine senkrechte Asymptote bei x = 1, da beim Einsetzen von 1 im Nenner Null herauskommt.
Highlight: Asymptoten werden üblicherweise mit "x = ..." oder "y = ..." angegeben, je nachdem ob sie senkrecht oder waagerecht verlaufen.
Die sechste Seite enthält die Lösungen zu den auf der vorherigen Seite gestellten Aufgaben. Diese Lösungen demonstrieren die korrekte Anwendung der verschiedenen Ableitungsregeln.
Example: Für die Funktion f(x) = x^100 lautet die Lösung f'(x) = 100x^99, was die Anwendung der Potenzregel zeigt.
Die Lösungen umfassen eine Vielzahl von Funktionstypen und zeigen, wie die Potenzregel, Produktregel und Kettenregel in der Praxis angewendet werden. Besonders interessant sind die Lösungen zu Bruchfunktionen und Wurzelfunktionen, da diese oft als schwieriger empfunden werden.
Highlight: Bei Bruchfunktionen wie f(x) = 1/x^3 ist besondere Vorsicht geboten. Die Lösung lautet hier f'(x) = -3/x^4.
Die Lösungen zur Produktregel zeigen, wie wichtig es ist, die Regel korrekt anzuwenden und nicht einfach die Ableitungen der einzelnen Faktoren zu multiplizieren. Die Ergebnisse der Kettenregel verdeutlichen, wie komplexe Funktionen Schritt für Schritt abgeleitet werden können.
Vocabulary: Die Kettenregel wird bei der Ableitung zusammengesetzter Funktionen angewendet, bei denen eine Funktion in eine andere eingesetzt wird.
Diese Lösungen bieten den Studierenden die Möglichkeit, ihre eigenen Ergebnisse zu überprüfen und ihr Verständnis der Ableitungsregeln zu vertiefen.
176
5703
11/12
Ableitungsregeln
10 seitige Präsentation und Handout zu den Ableitungsregeln
15
284
11/9
S. 64 no. 2) L. S. EF und AB Die Ableitungsfunktion (2)
Das Dokument umfasst die ausgearbeitete Aufgabe 2 auf S. 64 vom Lambacher Schweizer Einführungsphase bzw 10. Klasse für das Gymnasium, sowie das AB Die Ableitungsfunktion (2). Das Thema ist Ableitungen und graphisches Ableiten.
369
6454
10
Zentralklausur Mathe EF
alle Themen die in der Zentralklausur dran kommen leicht erklärt
377
4947
11/12
Mathe Abitur GK 2021
Zusammenfassende Übersicht über die wichtigsten Formeln für das Mathematik Abitur 2021 (und weitere Jahre) im Grundkurs in NRW
79
2227
11/12
alle Lernzettel zu Analysis (Mathe LK Q1)
ganzrationale Funktionen (Eigenschaften, mit Parametern), Integralrechnung (näherungsweise, Hauptsatz), Exponentialfunktionen (e-Funktion, beschränktes Wachstum), Zusammengesetzte Funktionen (Produkt- und Kettenregel, Unendlichkeitsverhalten)
37
1232
11/12
Die lokale Änderungsrate
Lokale Änderungsrate bzw Ableitung an einem Punkt Differenzenquotieneten und Differenzialquotioneten
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
Die Mathematik der Ableitungen und Asymptoten wird detailliert erklärt, mit Fokus auf die durchschnittliche Änderungsrate berechnen, Tangente und Normale in der Mathematik sowie Asymptoten Definition und Beispiele. Der Leitfaden behandelt:
Die vierte Seite erklärt, wie man Ableitungsfunktionen zu gegebenen Funktionsgraphen zuordnen kann. Dies erfordert eine genaue Analyse des Kurvenverlaufs der Originalfunktion.
Highlight: Der Verlauf der Ableitungsfunktion hängt direkt mit der Steigung der Originalfunktion zusammen.
Folgende Regeln sind zu beachten:
Example: Ein Beispiel mit mehreren Graphen veranschaulicht diese Zusammenhänge und zeigt, wie man die korrekte Ableitungsfunktion zu einer gegebenen Funktion identifizieren kann.
Diese Fähigkeit, Ableitungsfunktionen visuell zuzuordnen, ist besonders wichtig für das Verständnis des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung.
Die zweite Seite widmet sich den geometrischen Konzepten der Tangenten und Normalen. Eine Tangente berührt eine Funktion f(x) in einem Punkt und ihre Steigung beschreibt die momentane Änderungsrate an diesem Punkt. Die Normale steht senkrecht zur Tangente im Berührungspunkt.
Definition: Die Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem Punkt berührt und deren Steigung die momentane Änderungsrate in diesem Punkt angibt.
Definition: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente im Berührungspunkt verläuft.
Für die Bestimmung der Tangentengleichung wird die Ableitung f'(x) benötigt, die der Steigung m entspricht. Bei der Normalen ist zu beachten, dass ihre Steigung der negative Kehrwert der Tangentensteigung ist. Es gilt stets, dass das Produkt der Steigungen von Tangente und Normale -1 ergibt.
Highlight: Die Berechnung der Tangentengleichung erfolgt durch Einsetzen des x-Wertes in f(x) und f'(x) sowie Verwendung der allgemeinen Geradengleichung.
Die Seite erklärt auch den Begriff des Definitionsbereichs, der angibt, für welche x-Werte eine Funktion definiert ist. Dies wird üblicherweise mit "x ∈ ..." notiert, wobei verschiedene Zahlenbereiche wie natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen verwendet werden können.
Die erste Seite führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Sie erklärt den Unterschied zwischen der mittleren Änderungsrate und der momentanen Änderungsrate. Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten beschrieben und gibt an, wie stark sich Funktionswerte in einem Intervall ändern. Die momentane Änderungsrate hingegen bezieht sich auf einen einzelnen Punkt und wird durch den Differentialquotienten ausgedrückt.
Definition: Der Differenzenquotient ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern.
Definition: Der Differentialquotient beschreibt die momentane oder lokale Änderungsrate in einem Punkt.
Das Vorgehen zur Berechnung beider Größen wird schrittweise erläutert. Für die mittlere Änderungsrate benötigt man zwei Punkte oder x-Werte, während für die momentane Änderungsrate ein einzelner x-Wert ausreicht. In beiden Fällen wird die allgemeine Geradengleichung y = mx + b verwendet, wobei m die gesuchte Steigung darstellt.
Highlight: Die Berechnung der momentanen Änderungsrate erfordert die Bestimmung der Ableitung f'(x), die der Steigung m entspricht.
Die fünfte Seite präsentiert eine Reihe von Übungsaufgaben zu verschiedenen Ableitungsregeln, insbesondere zur Potenzregel, Produktregel und Kettenregel. Diese Regeln sind fundamental für die effiziente Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen.
Highlight: Die Potenzregel ist eine grundlegende Ableitungsregel, die besagt, dass die Ableitung von x^n gleich n * x^(n-1) ist.
Die Aufgaben umfassen eine breite Palette von Funktionstypen, darunter:
Example: Eine Beispielaufgabe zur Potenzregel lautet: f(x) = x^100. Die Lösung wäre f'(x) = 100x^99.
Die Produktregel wird anhand von Aufgaben geübt, bei denen zwei Funktionen multipliziert werden. Hier sollen die Studierenden die Ableitung sowohl mit Hilfe der Produktregel als auch durch vorheriges Ausmultiplizieren berechnen.
Definition: Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x) gleich f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ist.
Die Kettenregel wird anhand von Aufgaben mit zusammengesetzten Funktionen geübt, wie z.B. f(x) = (2x + 3)^5 oder f(x) = √(6x - 1).
Die dritte Seite behandelt das Konzept der Asymptoten. Asymptoten sind Funktionen oder Linien, denen sich der Graph einer anderen Funktion im Unendlichen annähert, ohne sie jemals zu erreichen. Sie stellen Definitionslücken dar, da bestimmte Werte in der Funktion nicht erreicht werden können.
Definition: Eine Asymptote ist eine Funktion oder Linie, der sich der Graph einer anderen Funktion im Unendlichen annähert, ohne sie zu erreichen.
Asymptoten können waagerecht, senkrecht oder in seltenen Fällen schräg verlaufen. Eine senkrechte Asymptote ist jedoch keine Funktion im mathematischen Sinne, da jedem x-Wert nur ein einziger y-Wert zugeordnet wird. Eine Funktion hat eine Asymptote, wenn im Nenner der Funktion Null herauskommt.
Example: Bei der Funktion f(x) = x²/(x-1) gibt es eine senkrechte Asymptote bei x = 1, da beim Einsetzen von 1 im Nenner Null herauskommt.
Highlight: Asymptoten werden üblicherweise mit "x = ..." oder "y = ..." angegeben, je nachdem ob sie senkrecht oder waagerecht verlaufen.
Die sechste Seite enthält die Lösungen zu den auf der vorherigen Seite gestellten Aufgaben. Diese Lösungen demonstrieren die korrekte Anwendung der verschiedenen Ableitungsregeln.
Example: Für die Funktion f(x) = x^100 lautet die Lösung f'(x) = 100x^99, was die Anwendung der Potenzregel zeigt.
Die Lösungen umfassen eine Vielzahl von Funktionstypen und zeigen, wie die Potenzregel, Produktregel und Kettenregel in der Praxis angewendet werden. Besonders interessant sind die Lösungen zu Bruchfunktionen und Wurzelfunktionen, da diese oft als schwieriger empfunden werden.
Highlight: Bei Bruchfunktionen wie f(x) = 1/x^3 ist besondere Vorsicht geboten. Die Lösung lautet hier f'(x) = -3/x^4.
Die Lösungen zur Produktregel zeigen, wie wichtig es ist, die Regel korrekt anzuwenden und nicht einfach die Ableitungen der einzelnen Faktoren zu multiplizieren. Die Ergebnisse der Kettenregel verdeutlichen, wie komplexe Funktionen Schritt für Schritt abgeleitet werden können.
Vocabulary: Die Kettenregel wird bei der Ableitung zusammengesetzter Funktionen angewendet, bei denen eine Funktion in eine andere eingesetzt wird.
Diese Lösungen bieten den Studierenden die Möglichkeit, ihre eigenen Ergebnisse zu überprüfen und ihr Verständnis der Ableitungsregeln zu vertiefen.
Mathe - Ableitungsregeln
10 seitige Präsentation und Handout zu den Ableitungsregeln
176
5703
0
Mathe - S. 64 no. 2) L. S. EF und AB Die Ableitungsfunktion (2)
Das Dokument umfasst die ausgearbeitete Aufgabe 2 auf S. 64 vom Lambacher Schweizer Einführungsphase bzw 10. Klasse für das Gymnasium, sowie das AB Die Ableitungsfunktion (2). Das Thema ist Ableitungen und graphisches Ableiten.
15
284
2
Mathe - Zentralklausur Mathe EF
alle Themen die in der Zentralklausur dran kommen leicht erklärt
369
6454
9
Mathe - Mathe Abitur GK 2021
Zusammenfassende Übersicht über die wichtigsten Formeln für das Mathematik Abitur 2021 (und weitere Jahre) im Grundkurs in NRW
377
4947
1
Mathe - alle Lernzettel zu Analysis (Mathe LK Q1)
ganzrationale Funktionen (Eigenschaften, mit Parametern), Integralrechnung (näherungsweise, Hauptsatz), Exponentialfunktionen (e-Funktion, beschränktes Wachstum), Zusammengesetzte Funktionen (Produkt- und Kettenregel, Unendlichkeitsverhalten)
79
2227
0
Mathe - Die lokale Änderungsrate
Lokale Änderungsrate bzw Ableitung an einem Punkt Differenzenquotieneten und Differenzialquotioneten
37
1232
0
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
