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Alles über Änderungsraten und Asymptoten: Von Momentaner bis Mittlerer Änderungsrate

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Rahel Räbiger

19.2.2021

Mathe

Differenzenquotient,...

Alles über Änderungsraten und Asymptoten: Von Momentaner bis Mittlerer Änderungsrate

Die Mittlere Änderungsrate und Momentane Änderungsrate sind fundamentale Konzepte der Differentialrechnung, die das Verhalten von Funktionen beschreiben. Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet und gibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion an. Die lokale Änderungsrate hingegen beschreibt die Steigung an einem bestimmten Punkt und wird durch die Tangente repräsentiert.

Bei der Berechnung von Tangente und Normale spielt die Steigung eine zentrale Rolle. Die Normale steht immer senkrecht zur Tangente, wobei ihre Steigung der negative Kehrwert der Tangentensteigung ist. Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten, während die Tangente den Graphen nur in einem Punkt berührt. Die Normale Formel nutzt diese geometrische Beziehung, um die Gleichung der Normalen zu bestimmen.

Asymptoten sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen. Man unterscheidet zwischen waagrechten, senkrechten und schiefen Asymptoten. Bei gebrochen rationalen Funktionen lässt sich die waagrechte Asymptote durch Division der Zähler- und Nennerpolynome bestimmen. Senkrechte Asymptoten treten bei Nullstellen des Nenners auf, während schiefe Asymptoten durch Polynomdivision ermittelt werden. Bei e-Funktionen können Asymptoten durch Grenzwertbetrachtung bestimmt werden. Diese Konzepte sind besonders wichtig für das Verständnis des Funktionsverhaltens und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.

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19.2.2021

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Anstieg der Sekante in einem Intervall
durchschnittliche Änderungsrate
• Maß wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern
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Mittlere und Momentane Änderungsrate Verstehen

Die Mittlere Änderungsrate beschreibt, wie stark sich Funktionswerte innerhalb eines bestimmten Intervalls durchschnittlich ändern. Sie wird durch den Differenzenquotienten berechnet und entspricht geometrisch dem Anstieg einer Sekante durch zwei Punkte der Funktionskurve.

Definition: Die Mittlere Änderungsrate ist der Quotient aus der Änderung der Funktionswerte (Δy) und der Änderung der x-Werte (Δx) in einem Intervall: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Die Momentane Änderungsrate, auch als lokale Änderungsrate bezeichnet, gibt hingegen die Änderungsrate in einem einzelnen Punkt an. Sie entspricht dem Grenzwert der mittleren Änderungsrate, wenn das betrachtete Intervall immer kleiner wird. Geometrisch entspricht sie dem Anstieg der Tangente im betrachteten Punkt.

Beispiel: Bei einer Bewegung entspricht die mittlere Änderungsrate der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitintervall, während die momentane Änderungsrate die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt.

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Tangente und Normale in der Analysis

Die Tangente berührt eine Funktion f(x) in genau einem Punkt P₀(x₀|y₀). Ihre Steigung entspricht der momentanen Änderungsrate im Berührungspunkt und wird durch den Wert der ersten Ableitung f'(x₀) bestimmt.

Merke: Die Normale steht immer senkrecht zur Tangente. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung: mₙ = -1/mₜ

Die Berechnung der Normalen erfolgt in mehreren Schritten: Zunächst wird die Tangentensteigung durch Ableitung ermittelt, dann der negative Kehrwert gebildet und schließlich die Normalengleichung mit dem Berührungspunkt aufgestellt.

Formel: Für die Normale gilt stets: mₜ · mₙ = -1

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Asymptoten und ihre Bedeutung

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion im Unendlichen beliebig stark annähert, ohne sie jemals zu erreichen. Man unterscheidet zwischen waagrechten, senkrechten und schiefen Asymptoten.

Definition: Eine waagrechte Asymptote liegt vor, wenn sich die Funktionswerte für x→∞ oder x→-∞ einem konstanten Wert annähern.

Senkrechte Asymptoten treten bei Definitionslücken auf, typischerweise wenn im Nenner einer gebrochen rationalen Funktion Null steht. Schiefe Asymptoten kommen bei rationalen Funktionen vor, wenn der Grad des Zählerpolynoms um 1 größer ist als der des Nennerpolynoms.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = 1/x ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote (x=0) und die x-Achse eine waagrechte Asymptote (y=0).

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Ableitungsfunktionen Interpretieren

Die Ableitungsfunktion f'(x) beschreibt die Steigung der Ausgangsfunktion f(x) an jeder Stelle x. Das Vorzeichen der Ableitung gibt Auskunft über das Monotonieverhalten der Ursprungsfunktion.

Merke: Positive Ableitung bedeutet steigende Funktion, negative Ableitung bedeutet fallende Funktion. Nullstellen der Ableitung entsprechen lokalen Extrema der Ursprungsfunktion.

Die graphische Interpretation der Ableitung ist besonders wichtig: Wo die Ursprungsfunktion ihre größte Steigung hat, nimmt die Ableitungsfunktion ihr Maximum an. An Wendepunkten der Ursprungsfunktion hat die Ableitungsfunktion ihre Extrempunkte.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion f(x)=x² ist die Ableitungsfunktion f'(x)=2x eine Gerade, die die x-Achse im Scheitelpunkt der Parabel schneidet.

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Ableitungsregeln und Differentialrechnung verstehen

Die Mittlere Änderungsrate und die Momentane Änderungsrate sind fundamentale Konzepte der Differentialrechnung. Diese mathematischen Werkzeuge helfen uns, Veränderungen in Funktionen präzise zu beschreiben und zu analysieren.

Definition: Die Mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall. Sie wird durch den Differenzenquotienten berechnet.

Bei der Berechnung von Ableitungen verschiedener Funktionstypen kommen unterschiedliche Regeln zum Einsatz. Die Potenzregel ist dabei eine der grundlegendsten: Bei einer Funktion f(x) = xⁿ ist die Ableitung f'(x) = n · xⁿ⁻¹. Diese Regel lässt sich auf komplexere Funktionen wie f(x) = 3x⁷ + 11x⁵ - 8x³ anwenden.

Beispiel: Bei f(x) = x⁴/12 + 4x³/5 - 3x²/4 - x/8 wenden wir die Potenzregel auf jeden Term einzeln an: f'(x) = x³/3 + 12x²/5 - 3x/2 - 1/8

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Tangenten und Normalen in der Analysis

Die Tangente und Normale sind zentrale geometrische Konzepte in der Differentialrechnung. Eine Tangente berührt die Funktionskurve in genau einem Punkt, während die Normale senkrecht zur Tangente steht.

Merke: Die Steigung der Normale ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung: mₙ = -1/mₜ

Die Berechnung von Normalen aus Tangenten erfolgt in mehreren Schritten: Zunächst wird die Tangentensteigung am Berührpunkt bestimmt, dann die Normalensteigung berechnet und schließlich die Punktsteigungsform der Normalen aufgestellt.

Beispiel: Bei einem Berührpunkt P(2|4) mit einer Tangentensteigung mₜ = 3 ist die Normalensteigung mₙ = -1/3.

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Differenzenquotient und Ableitungsfunktionen

Der Differenzenquotient ist das mathematische Werkzeug zur Berechnung der Mittleren Änderungsrate im Intervall. Er wird als (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) definiert.

Formel: Der Differenzenquotient für f(x) = x² im Intervall [0;3] berechnet sich als: (f(3) - f(0))/(3 - 0) = (9 - 0)/3 = 3

Die Berechnung der lokalen Änderungsrate erfolgt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten. Dies führt zur Ableitungsfunktion, die die momentane Änderungsrate an jedem Punkt beschreibt.

Bei komplexeren Funktionen wie f(x) = x³ + 1 wird der Differenzenquotient schrittweise aufgestellt und vereinfacht, bevor der Grenzwert gebildet wird.

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Asymptoten und Grenzverhalten

Asymptoten sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen. Man unterscheidet zwischen waagrechten, senkrechten und schiefen Asymptoten.

Definition: Eine waagrechte Asymptote ist eine horizontale Gerade, der sich der Graph einer Funktion für x → ∞ oder x → -∞ annähert.

Die Berechnung von senkrechten Asymptoten erfolgt durch Untersuchung der Definitionslücken, während waagrechte Asymptoten durch Grenzwertbetrachtungen ermittelt werden. Bei gebrochen rationalen Funktionen ist die waagrechte Asymptote der Quotient der führenden Terme von Zähler und Nenner.

Beispiel: Bei f(x) = (2x² + 1)/(x² - 4) ist die waagrechte Asymptote y = 2, da lim(x→∞) f(x) = 2.

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Wurzelfunktionen und Logarithmen verstehen

Die Mittlere Änderungsrate spielt bei der Analyse von Wurzelfunktionen eine zentrale Rolle. Bei der Funktion f(x) = √₂³ handelt es sich um eine einfache Wurzelfunktion, deren Verhalten durch systematische Untersuchung erschlossen werden kann. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen größer oder gleich Null, da die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist.

Definition: Die Wurzelfunktion f(x) = √x ist für alle x ≥ 0 definiert und ordnet jeder nicht-negativen reellen Zahl ihre nicht-negative Quadratwurzel zu.

Bei der Funktion f(x) = √2x-3 müssen wir beachten, dass der Term unter der Wurzel nicht negativ werden darf. Die Lokale Änderungsrate dieser Funktion lässt sich durch Bildung des Differentialquotienten bestimmen. Besonders interessant ist hier die Verschiebung der Grundfunktion durch den Term -3, was zu einer Verschiebung der waagrechten Asymptote führt.

Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x² + 4) weist einige besondere Eigenschaften auf. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, da der Term x² + 4 stets positiv ist. Die Momentane Änderungsrate dieser Funktion zeigt ein symmetrisches Verhalten bezüglich der y-Achse aufgrund des quadratischen Terms innerhalb des Logarithmus.

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19. Feb. 2021

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Alles über Änderungsraten und Asymptoten: Von Momentaner bis Mittlerer Änderungsrate

Die Mittlere Änderungsrate und Momentane Änderungsrate sind fundamentale Konzepte der Differentialrechnung, die das Verhalten von Funktionen beschreiben. Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet und gibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion an. Die lokale Änderungsratehingegen

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Mittlere und Momentane Änderungsrate Verstehen

Die Mittlere Änderungsrate beschreibt, wie stark sich Funktionswerte innerhalb eines bestimmten Intervalls durchschnittlich ändern. Sie wird durch den Differenzenquotienten berechnet und entspricht geometrisch dem Anstieg einer Sekante durch zwei Punkte der Funktionskurve.

Definition: Die Mittlere Änderungsrate ist der Quotient aus der Änderung der Funktionswerte (Δy) und der Änderung der x-Werte (Δx) in einem Intervall: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Die Momentane Änderungsrate, auch als lokale Änderungsrate bezeichnet, gibt hingegen die Änderungsrate in einem einzelnen Punkt an. Sie entspricht dem Grenzwert der mittleren Änderungsrate, wenn das betrachtete Intervall immer kleiner wird. Geometrisch entspricht sie dem Anstieg der Tangente im betrachteten Punkt.

Beispiel: Bei einer Bewegung entspricht die mittlere Änderungsrate der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitintervall, während die momentane Änderungsrate die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt.

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Tangente und Normale in der Analysis

Die Tangente berührt eine Funktion f(x) in genau einem Punkt P₀(x₀|y₀). Ihre Steigung entspricht der momentanen Änderungsrate im Berührungspunkt und wird durch den Wert der ersten Ableitung f'(x₀) bestimmt.

Merke: Die Normale steht immer senkrecht zur Tangente. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung: mₙ = -1/mₜ

Die Berechnung der Normalen erfolgt in mehreren Schritten: Zunächst wird die Tangentensteigung durch Ableitung ermittelt, dann der negative Kehrwert gebildet und schließlich die Normalengleichung mit dem Berührungspunkt aufgestellt.

Formel: Für die Normale gilt stets: mₜ · mₙ = -1

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Asymptoten und ihre Bedeutung

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion im Unendlichen beliebig stark annähert, ohne sie jemals zu erreichen. Man unterscheidet zwischen waagrechten, senkrechten und schiefen Asymptoten.

Definition: Eine waagrechte Asymptote liegt vor, wenn sich die Funktionswerte für x→∞ oder x→-∞ einem konstanten Wert annähern.

Senkrechte Asymptoten treten bei Definitionslücken auf, typischerweise wenn im Nenner einer gebrochen rationalen Funktion Null steht. Schiefe Asymptoten kommen bei rationalen Funktionen vor, wenn der Grad des Zählerpolynoms um 1 größer ist als der des Nennerpolynoms.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = 1/x ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote (x=0) und die x-Achse eine waagrechte Asymptote (y=0).

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Ableitungsfunktionen Interpretieren

Die Ableitungsfunktion f'(x) beschreibt die Steigung der Ausgangsfunktion f(x) an jeder Stelle x. Das Vorzeichen der Ableitung gibt Auskunft über das Monotonieverhalten der Ursprungsfunktion.

Merke: Positive Ableitung bedeutet steigende Funktion, negative Ableitung bedeutet fallende Funktion. Nullstellen der Ableitung entsprechen lokalen Extrema der Ursprungsfunktion.

Die graphische Interpretation der Ableitung ist besonders wichtig: Wo die Ursprungsfunktion ihre größte Steigung hat, nimmt die Ableitungsfunktion ihr Maximum an. An Wendepunkten der Ursprungsfunktion hat die Ableitungsfunktion ihre Extrempunkte.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion f(x)=x² ist die Ableitungsfunktion f'(x)=2x eine Gerade, die die x-Achse im Scheitelpunkt der Parabel schneidet.

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Ableitungsregeln und Differentialrechnung verstehen

Die Mittlere Änderungsrate und die Momentane Änderungsrate sind fundamentale Konzepte der Differentialrechnung. Diese mathematischen Werkzeuge helfen uns, Veränderungen in Funktionen präzise zu beschreiben und zu analysieren.

Definition: Die Mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall. Sie wird durch den Differenzenquotienten berechnet.

Bei der Berechnung von Ableitungen verschiedener Funktionstypen kommen unterschiedliche Regeln zum Einsatz. Die Potenzregel ist dabei eine der grundlegendsten: Bei einer Funktion f(x) = xⁿ ist die Ableitung f'(x) = n · xⁿ⁻¹. Diese Regel lässt sich auf komplexere Funktionen wie f(x) = 3x⁷ + 11x⁵ - 8x³ anwenden.

Beispiel: Bei f(x) = x⁴/12 + 4x³/5 - 3x²/4 - x/8 wenden wir die Potenzregel auf jeden Term einzeln an: f'(x) = x³/3 + 12x²/5 - 3x/2 - 1/8

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Tangenten und Normalen in der Analysis

Die Tangente und Normale sind zentrale geometrische Konzepte in der Differentialrechnung. Eine Tangente berührt die Funktionskurve in genau einem Punkt, während die Normale senkrecht zur Tangente steht.

Merke: Die Steigung der Normale ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung: mₙ = -1/mₜ

Die Berechnung von Normalen aus Tangenten erfolgt in mehreren Schritten: Zunächst wird die Tangentensteigung am Berührpunkt bestimmt, dann die Normalensteigung berechnet und schließlich die Punktsteigungsform der Normalen aufgestellt.

Beispiel: Bei einem Berührpunkt P(2|4) mit einer Tangentensteigung mₜ = 3 ist die Normalensteigung mₙ = -1/3.

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Differenzenquotient und Ableitungsfunktionen

Der Differenzenquotient ist das mathematische Werkzeug zur Berechnung der Mittleren Änderungsrate im Intervall. Er wird als (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) definiert.

Formel: Der Differenzenquotient für f(x) = x² im Intervall [0;3] berechnet sich als: (f(3) - f(0))/(3 - 0) = (9 - 0)/3 = 3

Die Berechnung der lokalen Änderungsrate erfolgt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten. Dies führt zur Ableitungsfunktion, die die momentane Änderungsrate an jedem Punkt beschreibt.

Bei komplexeren Funktionen wie f(x) = x³ + 1 wird der Differenzenquotient schrittweise aufgestellt und vereinfacht, bevor der Grenzwert gebildet wird.

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Asymptoten und Grenzverhalten

Asymptoten sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen. Man unterscheidet zwischen waagrechten, senkrechten und schiefen Asymptoten.

Definition: Eine waagrechte Asymptote ist eine horizontale Gerade, der sich der Graph einer Funktion für x → ∞ oder x → -∞ annähert.

Die Berechnung von senkrechten Asymptoten erfolgt durch Untersuchung der Definitionslücken, während waagrechte Asymptoten durch Grenzwertbetrachtungen ermittelt werden. Bei gebrochen rationalen Funktionen ist die waagrechte Asymptote der Quotient der führenden Terme von Zähler und Nenner.

Beispiel: Bei f(x) = (2x² + 1)/(x² - 4) ist die waagrechte Asymptote y = 2, da lim(x→∞) f(x) = 2.

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Wurzelfunktionen und Logarithmen verstehen

Die Mittlere Änderungsrate spielt bei der Analyse von Wurzelfunktionen eine zentrale Rolle. Bei der Funktion f(x) = √₂³ handelt es sich um eine einfache Wurzelfunktion, deren Verhalten durch systematische Untersuchung erschlossen werden kann. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen größer oder gleich Null, da die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist.

Definition: Die Wurzelfunktion f(x) = √x ist für alle x ≥ 0 definiert und ordnet jeder nicht-negativen reellen Zahl ihre nicht-negative Quadratwurzel zu.

Bei der Funktion f(x) = √2x-3 müssen wir beachten, dass der Term unter der Wurzel nicht negativ werden darf. Die Lokale Änderungsrate dieser Funktion lässt sich durch Bildung des Differentialquotienten bestimmen. Besonders interessant ist hier die Verschiebung der Grundfunktion durch den Term -3, was zu einer Verschiebung der waagrechten Asymptote führt.

Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x² + 4) weist einige besondere Eigenschaften auf. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, da der Term x² + 4 stets positiv ist. Die Momentane Änderungsrate dieser Funktion zeigt ein symmetrisches Verhalten bezüglich der y-Achse aufgrund des quadratischen Terms innerhalb des Logarithmus.

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Asymptoten und Grenzverhalten von Funktionen

Das Verständnis von Asymptoten ist fundamental für die Analyse des Grenzverhaltens von Funktionen. Bei der Untersuchung von senkrechten Asymptoten müssen wir die Stellen betrachten, an denen der Nenner einer Funktion Null wird oder der Logarithmus gegen minus unendlich strebt.

Merke: Eine waagrechte Asymptote liegt vor, wenn sich die Funktionswerte für x → ∞ oder x → -∞ einem festen Wert annähern.

Die Normale Steigung berechnen ist besonders bei der Untersuchung von Wendepunkten relevant. Die Normale steht immer senkrecht zur Tangente und lässt sich durch die negative reziproke Steigung der Tangente bestimmen. Bei der Berechnung der Normalen aus Tangente nutzt man die Tatsache, dass das Produkt der Steigungen von Normale und Tangente -1 ergibt.

Der Sekante Tangente unterschied wird besonders deutlich beim Grenzübergang: Während die Sekante zwei Punkte der Funktion verbindet, berührt die Tangente die Funktion in genau einem Punkt und gibt die momentane Änderungsrate in diesem Punkt an. Dies ist besonders bei der Analyse von nichtlinearen Funktionen wie Wurzel- und Logarithmusfunktionen von Bedeutung.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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