Verkettung von Funktionen

Dieses Kapitel behandelt die Verkettung von Funktionen und die damit verbundenen Ableitungsregeln.

Es werden die Grundrechenarten für Funktionen vorgestellt:

• Addition: (u + v)(x) = u(x) + v(x)
• Subtraktion: (u - v)(x) = u(x) - v(x)
• Multiplikation: (u · v)(x) = u(x) · v(x)
• Division: (u / v)(x) = u(x) / v(x)

Definition: Die Verkettung von Funktionen beschreibt die Kombination mehrerer Funktionen zu einer neuen Funktion.

Highlight: Die Kettenregel ist eine wichtige Ableitungsregel für verkettete Funktionen.

Example: Die Funktion f(x) = (x² + 1) - (x - 2) ist eine Verkettung von Addition, Subtraktion und Potenzierung.

Durchschnittliche Änderungsrate - Differenzenquotient

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [x₁, x₂] wird durch den Differenzenquotienten beschrieben. Dieser gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte P(x₁/f(x₁)) und Q(x₂/f(x₂)) des Funktionsgraphen an. Die Formel für den Differenzenquotienten lautet (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁).

Definition: Der Differenzenquotient ist ein Maß für die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Es werden zwei Methoden zur Bestimmung des Differenzenquotienten vorgestellt:

1. Graphische Bestimmung: Hierbei wird ein Steigungsdreieck im Graphen gezeichnet und die Steigung berechnet.
2. Rechnerische Bestimmung: Die Funktionswerte werden in die Formel eingesetzt und der Quotient berechnet.

Example: Für die Funktion f(x) = x² im Intervall [7;9] ergibt sich der Differenzenquotient als (81-49)/(9-7) = 16.

Highlight: Die Ableitung Potenzfunktion Beweis kann mithilfe des Differenzenquotienten hergeleitet werden.