Die Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion f' ordnet jedem x aus der Definitionsmenge von f die Ableitung f'(x) an dieser Stelle zu. Für den Graphen von f gilt: f'(x) gibt die Steigung des Graphen von f im Punkt P(x/f(x)) an.

Definition: Die Ableitungsfunktion ist eine Funktion, die jedem x-Wert die entsprechende Ableitung zuordnet.

Das Kapitel behandelt auch das Ableiten der Potenzfunktion. Für f(x) = xⁿ mit n ∈ ℝ* gilt: f'(x) = n · xⁿ⁻¹.

Highlight: Die Potenzregel ist eine grundlegende Regel beim X in Potenz ableiten.

Eine Tabelle zeigt die Ableitungen verschiedener Potenzfunktionen, einschließlich Wurzelfunktionen und reziproker Funktionen.

Example: Für f(x) = x³ ist f'(x) = 3x².

Tangente und Normale

Dieses Kapitel behandelt die Bestimmung von Tangenten und Normalen an Funktionsgraphen.

Die Tangente an einen Funktionsgraphen K im Punkt P₀(x₀/f(x₀)) ist die Gerade durch P₀ mit der Steigung f'(x₀). Die Tangentengleichung lautet:

y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

Die Normale ist die Gerade durch P₀ mit der Steigung -1/f'(x₀). Die Normalengleichung lautet:

y = -1/f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

Definition: Die Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen in einem Punkt berührt und die gleiche Steigung wie die Funktion in diesem Punkt hat.

Example: Für f(x) = x³ - 4x² + 2x + 5 und P₀(3/f(3)) ergibt sich die Tangentengleichung y = 5x - 13.

Highlight: Die Bestimmung von Tangenten und Normalen ist ein wichtiger Anwendungsbereich der Differenzialrechnung.

Durchschnittliche Änderungsrate - Differenzenquotient

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [x₁, x₂] wird durch den Differenzenquotienten beschrieben. Dieser gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte P(x₁/f(x₁)) und Q(x₂/f(x₂)) des Funktionsgraphen an. Die Formel für den Differenzenquotienten lautet (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁).

Definition: Der Differenzenquotient ist ein Maß für die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Es werden zwei Methoden zur Bestimmung des Differenzenquotienten vorgestellt:

1. Graphische Bestimmung: Hierbei wird ein Steigungsdreieck im Graphen gezeichnet und die Steigung berechnet.
2. Rechnerische Bestimmung: Die Funktionswerte werden in die Formel eingesetzt und der Quotient berechnet.

Example: Für die Funktion f(x) = x² im Intervall [7;9] ergibt sich der Differenzenquotient als (81-49)/(9-7) = 16.

Highlight: Die Ableitung Potenzfunktion Beweis kann mithilfe des Differenzenquotienten hergeleitet werden.