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e-Funktionen
14.2.2021
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1.2 e-Funktionen 1.2.1 Exponentielles Wachstum Synonym: Exponentialfunktionen ● Ziel: Eine exponentielle Funktion ist eine Funktion mit mind. einem x als Exponent Berechnung: Eine exponentielle Funktion sieht allgemein so aus: f(x) = a* b*, dabei ist a der Anfangswert, b der Wachstumsfaktor, x meistens die Zeit und f(x) der Endwert Beispiel: Eine Bakterienkultur besteht zu Anfang aus 1000 Bakterien. Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich jede Stunde. Stellen Sie die Anzahl der Bakterien nacht Stunden als Funktion der Zeit dar a = 1000 b = 2 (,,Verdoppeln") O O o f(t) = 1000 * 2t 1.2.2 e-Funktion Ziel: Man kann Exponentialfunktionen (nach 1.2.1) auch so umschreiben, dass die Basis zum Exponenten x der euler'schen Zahl e (ca. 2,718) entspricht, doch wieso macht man das? Versucht man mittels der h-Methode eine Steigunsfunktion einer Exponentialfunktion zu bilden, erhält man stets einen Vorfaktor. Ist die Basis allerdings e, ist der Vorfaktor der Ableitung 1, also gilt: f(x) = e* → ƒ'(x) = ex ● ● Umschreibung aller exponentieller Funktionen auf die Basis e: O f(x) = a*b* O f(x) = a*ek*x, k = ln (b) Eigenschaften von e-Funktionen nach: f(x) = eax+b 1.2.3 Beschränktes Wachstum ● O O O Keine Nullstellen (e* # 0, Vx E R) Keine Extrempunkte Keine Wendepunkte Keine Symmetrie 1.2.4 Logistisches Wachstum Ziel: Manche Funktionen wachsen erst exponentiell, dann begrenzt. Diese Mischung nennt man logistisches Wachstum ● Synonyme: Schrankenfunktion, Grenzfunktion Ziel: Manche Funktionen ,,wachsen" nur bis zu einer bestimmten Grenze Aufbau: Eine beschränkte...
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Funktion sieht so aus: f(x) = S-c *e-k*x O S = Schranke / Grenze o c= S-f(0) o k = ln (b) Allgemein: Erst wächst die Funktion zunehmend schneller an, dann nur noch sehr langsam Aufbau: Eine logistische Funktion sieht so aus: f(x) = S 1+a*e-k+x O S = Schranke / Grenze f(0) = a S O o k = ln(b) 1.2.5 Ableitungsregeln II Synonyme: Steigungsfunktion; Ableitungsfunktion; (momentane Änderungsrate) Ziel: Steigung einer Funktion mittels Ableitungsfunktion an jeder Stelle ermitteln zu können, da es mit der Tangentensteigung nach der h-Methode sehr aufwendig ist. Da mit e- Funktionen sich viele neue Möglichkeiten bieten: Berechnung: O Ableitungsregeln Produktregel: Für eine Funktion f mit f(x) = u(x) * v(x) gilt: f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) Quotientenregel: Für eine Funktion f mit f(x) = u (x)+v(x)−u(x)+u(x) v(x)² Kettenregel: Für eine Funktion f mit f(x) = u(v(x)) gilt: f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) Beispiele: Bilden Sie die Ableitung der Funktion f o f(x) = 3 * 4*x²+3. →u(x) = ex, v(x) = 4x² +3 → u'(x) = ex, v'(x) = 8x → f'(x) = 3 * 4*x² +3 * 8x o f(x) = 3x² * 4x→u(x) = 3x²,v(x) = 4x → u'(x) = 6x, v'(x) = 4 → ƒ'(x) = 6x * 4x + 3x²*4 = 24x² + 12x² = 36x² I ■ f'(x) = u(x) v(x) gilt: