Extrempunkte bestimmen: Vorgehen, notwendige & hinreichende Bedingungen mit Beispiel

Extrempunkte berechnen

Notwendige Bedingung

Die Steigung an einem Extrempunkt muss immer Null sein.

• Notwendige Bedingung: Es gilt $f'(x_E) = 0$ für eine Extremstelle $x_E$.
• Kandidaten finden: Löse die Gleichung $f'(x) = 0$, um mögliche Stellen $x_E$ zu bestimmen.

Hinreichende Bedingung

Mit der zweiten Ableitung $f''(x)$ prüfst du die Krümmung und bestimmst die Art des Extrempunkts.

• Hochpunkt (Maximum): Es gilt $f'(x_E) = 0$ und $f''(x_E) < 0$.
• Tiefpunkt (Minimum): Es gilt $f'(x_E) = 0$ und $f''(x_E) > 0$.
• Sattelpunkt: Bei $f''(x_E) = 0$ hilft das Vorzeichenwechselkriterium von $f'(x)$.

Beispiel: $f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \Rightarrow f'(x) = 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_E = -0,75$. Da $f''(x) = 4 > 0$, ist es ein Tiefpunkt.

💡 Tipp: Vergiss am Ende nicht, $x_E$ in die Ausgangsfunktion $f(x)$ einzusetzen, um den y-Wert des Punktes zu berechnen.