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statt f(x)= x², schreiben wir a(n) = n² ( für n nur natürliche Zahlen), d.h. α (₁) = 1, a (2) = 4, a(3-9).
→ ain) = 1₁; 4; 9;

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Lernzettel zu arithmetischen und geometrischen Folgen, Grenzwerten, Grenzwertsätzen und Untersuchung auf Monotomie und Beschränktheit

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матне Folgen statt f(x)= x², schreiben wir a(n) = n² ( für n nur natürliche Zahlen), d.h. α (₁) = 1, a (2) = 4, a(3-9). → ain) = 1₁; 4; 9; 16; 25..... Def.: Zahlenfolge / Folge = eine Funktion mit D = IN Folgeglieder arithmetische Folge Beispiel: a(n) = 2n +1 satz: 3; 5; 7; 9; 11... anti+an-1⁰ 2 Bsp: n=7 Funktionswert, Platznummer = natürliche Zahl, der ein Folgeglied zugeordnet wird Q2+1+Q-1 2 as +96 ܕܘܕ ܕܘ - Differenz zweier benachbarter Folgeglieder ist konstant regelmäßig. Abstand d ist für alle Folgeglieder gleich. Hier ist d=2.. geometrische Folgen: Beispiel: 2; 4; 8; 16; 32 oder 33; 37; ↳ Man erhält das nächste Folgeglied durch Multiplikation mit dem gleichen. Faktor. Bildungsgesetz für arithmetische Folgen: an = ant in-1)·d. ·→. anth= ang. Formel zur Berechnung der Summe si: ∙n.(^-^) 2 Sn= n⋅an+ an= a₁ a₁-9n-1 Bildungsgesetz für geometrische Folgen.. | Herleitung: 9₁=a₁ a₂ = 01₁.9 az a₂ 9 = a₁∙9.9=a₁-9² ? 8 ay = 93-9= a₁.9³) .: 2 an = ²³²/²2 - ^ ; b= -√√n+² ...um. zu zeigen, dass an+n ? an ist: Beschränktheit von. Folgen Beispiel: an = (-1)". Monotomie Def: Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn gilt: an+₁ >an für alle □ € IN ... heißt (streng) monoton fallend, wenn gilt: an+1 < an für alle n Beweise... Formel zur. Summe der ersten n. Glieder. einer geometrischen. Folge: -4; 2; - ; 1; -1/3 →ins Koordinatensystem eintragen 2/1/2 ✓ um zu • zeigen, dass bn+₁ = bn ist: bn+₁==³(n+1) +2 1-9" Sn°9₁. 1-20 7-9 an+₁ = 2/2/(n+1)...

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=^. // (+1)=1> ²/1/2-1 2n+²/2>n. -n-<-³n |-4 1-3/1/2n -(n+1) +2<-³n+2 1-2 1--7. ian 3 2+ r Beispiel: an Beweise: a) au= 2,5= 틀 3n+2 (n+₁ = =/ ).(n+1) 1.2 .n.2.1 (3n+2).22.5.(n+1). 6n+ y 2 Sn+ 5. 1-Sn 1-4. un-1 n+1 2 n+1 3n+2 n+1 a 1000 ≈ 2,9. 2,5; 2,6; 2,75; 2,8. Vermutung: a) Su= 2,5 b) so² 3. Bsp. 1: Albstand = 1000 lan-41 un-1 -41 n+^ -4(n+1) < '|'c ✓ größte untere Schranke un-1 s Grenzwerte Die Folge an= ist streng monoton steigend und nach oben beschränkt (so= 4). wird der Abstand beliebig klein? Bsp. 2: Abstand: 1.000.000 1. lan-4/ ≤ 1000 000 } 0+1 2 1000 1000 un-1-4(n+1) n+1 in-1-4-1| ooo Man kann die Folgeglieder in einem Streifen parallel zur. n-Achse. ,, einsperren", d.h. man kann obere Schranken angeben, so dass alle Folgeglieder kleiner als diese Schranke sind. 1000 Def: Eine Folge neißt. { | ²³ | < 1000 n+1 1000 1000 2000 <.n+1. ·-|-1 1999 < n 1. 1000 |·(n+1) gibt, für die gilt: {anz so für alle n von besonderem Interesse ist jeweils die größte untere bzw. die kleinste obere Schranke. → alle Folgeglieder ab. n=2000 haben einen Abstand von weniger als 1000 zur Zahl 4. nach oben ? beschränket, wenn es eine Zahl {3} unten. b). an ≤ 3. 3n+² ≤ 3.1.(n+1) 3n+2 ≤ 3 (n+1) 3n+2 ≤3n+ 3. 1-3n 1-2. 0 ≤ 1 2 n+1 1000 000 2 000 000 < n+1. 199 999 <n. Bsp.3: wähle als Abstand & |a₁ - 410 € 2 ht1 Besitzt eine Folge ansonsten divergent.. < { 1:(n+1) 2 ≤ ε· (n+1) 1:{ . 2 :cn+.1.1-1 € 2²-1²n 9. ab einer Def: wird der Abstand zwischen an und einer Zani bestimmten Platznummer no für alle größeren. nimmer kleiner als jeder noch so kleine Abstand. &, so heißt diese. zahl Grenzwert Folge an in Kurzform: lan-9.1°E für alle n? no ater 9 Def: Eine Umgebung, a.h.ein offenes intervall um'g. heißt. E- Umgebung & Umgebung 44444444444-16 einen Grenzwert, so heißt sie konvergent,. Schreibweise:. Beispiel: Die Folge an= Man schreibt dafür =4 un-1 Lim n900 n+1 weitere Beispiele: and n g=o. "Nullfolge" 1 Beispiel: a) an= an bn b) antion= Grenzwerfsätze: seien an und bon zwei konvergente. Folgen, d.h. Lim ana und lim lon=b, dann gilt:. n 900 nyo un-1 ntn (1) sei ≤n = an ± bn, dann gilt: lim (n = lim (an ± (n) = liman ± lim bn = a±b n-00 n→∞o (2) sei cn=andon, dann gilt: lim <n = lim(an-bon) = lim an・ limbon: = a.b ndoo n 200 nso (3) sei <n= un²+1 n²(4+1/12) 0² (1) Kurzform" eim n3 +h² 6+0+0+0 140 bn= n². geo. an (b%0, limbon *0); dann gilt: lim cn = lim 7900 ndoo nyoo bn eim 1 n-200 6n3+6n²+n+1_n³(6+1+1/2+1/13³) hat g=u n²+1 2) an n+5 37/4) an ² g=o. "Nullfolge" = = 6 8n³+8n²+2n+²) = lim un + 3 2n-S Beispiele: 1) an= n²+3 = lim an nutn3 eim 4+ ndoo = liman n200 n3 (1+1) 8 n³ (8+=+ + ny(1/2-√7) moon" (1+1) lim 4+ lim ny00 4700 n² (1+1/2) n² (+5₂) =lim an nut?) n800 n(2-5) 11₂) = 200 8 an= (-1)." ^ -^;. ;- जन n700 1 Feststellung: 1)1st. der höchste Exponent im Nenner größer als der höchste Exponent im Zähler, dann gilt liman = 0 2) 1st der höchste Exponent im Zähler größer als der im Nenner, so ist die Folge divergent. 3) Sind die höchsten Exponenten. im. Zähter und wenner gleich groß, so erhält man einen von Null ver- schiedenen Grenzwert.. 1/2 = ½ divergent : 2° =8 47 per Quotient aus den. Vorfaktoren der. Potenzen mit dem höchsten Exponenten ergibt den Grenzwert.. liman ngoo limantanny00 limbon. nd∞ u =4 eim 6+ lim & + lim 12 ndoo n200 618 + lim 1 1-7900 ↳ höchsten Exponenten ausklammern. ~1/2 + lim 13 no lim 1500

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

Lernzettel zu arithmetischen und geometrischen Folgen, Grenzwerten, Grenzwertsätzen und Untersuchung auf Monotomie und Beschränktheit

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=^. // (+1)=1> ²/1/2-1 2n+²/2>n. -n-<-³n |-4 1-3/1/2n -(n+1) +2<-³n+2 1-2 1--7. ian 3 2+ r Beispiel: an Beweise: a) au= 2,5= 틀 3n+2 (n+₁ = =/ ).(n+1) 1.2 .n.2.1 (3n+2).22.5.(n+1). 6n+ y 2 Sn+ 5. 1-Sn 1-4. un-1 n+1 2 n+1 3n+2 n+1 a 1000 ≈ 2,9. 2,5; 2,6; 2,75; 2,8. Vermutung: a) Su= 2,5 b) so² 3. Bsp. 1: Albstand = 1000 lan-41 un-1 -41 n+^ -4(n+1) < '|'c ✓ größte untere Schranke un-1 s Grenzwerte Die Folge an= ist streng monoton steigend und nach oben beschränkt (so= 4). wird der Abstand beliebig klein? Bsp. 2: Abstand: 1.000.000 1. lan-4/ ≤ 1000 000 } 0+1 2 1000 1000 un-1-4(n+1) n+1 in-1-4-1| ooo Man kann die Folgeglieder in einem Streifen parallel zur. n-Achse. ,, einsperren", d.h. man kann obere Schranken angeben, so dass alle Folgeglieder kleiner als diese Schranke sind. 1000 Def: Eine Folge neißt. { | ²³ | < 1000 n+1 1000 1000 2000 <.n+1. ·-|-1 1999 < n 1. 1000 |·(n+1) gibt, für die gilt: {anz so für alle n von besonderem Interesse ist jeweils die größte untere bzw. die kleinste obere Schranke. → alle Folgeglieder ab. n=2000 haben einen Abstand von weniger als 1000 zur Zahl 4. nach oben ? beschränket, wenn es eine Zahl {3} unten. b). an ≤ 3. 3n+² ≤ 3.1.(n+1) 3n+2 ≤ 3 (n+1) 3n+2 ≤3n+ 3. 1-3n 1-2. 0 ≤ 1 2 n+1 1000 000 2 000 000 < n+1. 199 999 <n. Bsp.3: wähle als Abstand & |a₁ - 410 € 2 ht1 Besitzt eine Folge ansonsten divergent.. < { 1:(n+1) 2 ≤ ε· (n+1) 1:{ . 2 :cn+.1.1-1 € 2²-1²n 9. ab einer Def: wird der Abstand zwischen an und einer Zani bestimmten Platznummer no für alle größeren. nimmer kleiner als jeder noch so kleine Abstand. &, so heißt diese. zahl Grenzwert Folge an in Kurzform: lan-9.1°E für alle n? no ater 9 Def: Eine Umgebung, a.h.ein offenes intervall um'g. heißt. E- Umgebung & Umgebung 44444444444-16 einen Grenzwert, so heißt sie konvergent,. Schreibweise:. Beispiel: Die Folge an= Man schreibt dafür =4 un-1 Lim n900 n+1 weitere Beispiele: and n g=o. "Nullfolge" 1 Beispiel: a) an= an bn b) antion= Grenzwerfsätze: seien an und bon zwei konvergente. Folgen, d.h. Lim ana und lim lon=b, dann gilt:. n 900 nyo un-1 ntn (1) sei ≤n = an ± bn, dann gilt: lim (n = lim (an ± (n) = liman ± lim bn = a±b n-00 n→∞o (2) sei cn=andon, dann gilt: lim <n = lim(an-bon) = lim an・ limbon: = a.b ndoo n 200 nso (3) sei <n= un²+1 n²(4+1/12) 0² (1) Kurzform" eim n3 +h² 6+0+0+0 140 bn= n². geo. an (b%0, limbon *0); dann gilt: lim cn = lim 7900 ndoo nyoo bn eim 1 n-200 6n3+6n²+n+1_n³(6+1+1/2+1/13³) hat g=u n²+1 2) an n+5 37/4) an ² g=o. "Nullfolge" = = 6 8n³+8n²+2n+²) = lim un + 3 2n-S Beispiele: 1) an= n²+3 = lim an nutn3 eim 4+ ndoo = liman n200 n3 (1+1) 8 n³ (8+=+ + ny(1/2-√7) moon" (1+1) lim 4+ lim ny00 4700 n² (1+1/2) n² (+5₂) =lim an nut?) n800 n(2-5) 11₂) = 200 8 an= (-1)." ^ -^;. ;- जन n700 1 Feststellung: 1)1st. der höchste Exponent im Nenner größer als der höchste Exponent im Zähler, dann gilt liman = 0 2) 1st der höchste Exponent im Zähler größer als der im Nenner, so ist die Folge divergent. 3) Sind die höchsten Exponenten. im. Zähter und wenner gleich groß, so erhält man einen von Null ver- schiedenen Grenzwert.. 1/2 = ½ divergent : 2° =8 47 per Quotient aus den. Vorfaktoren der. Potenzen mit dem höchsten Exponenten ergibt den Grenzwert.. liman ngoo limantanny00 limbon. nd∞ u =4 eim 6+ lim & + lim 12 ndoo n200 618 + lim 1 1-7900 ↳ höchsten Exponenten ausklammern. ~1/2 + lim 13 no lim 1500