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4. Feb. 2026
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Julia
@juliaa.svd
Folgen und Reihensind grundlegende Konzepte der Mathematik. Sie beschreiben... Mehr anzeigen
Monotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Folgen, die ihr Verhalten beschreibt.
Definition: Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn für alle n gilt: a > a[n]. Sie heißt (streng) monoton fallend, wenn für alle n gilt: a < a[n].
Um die Monotonie einer Folge zu beweisen, vergleicht man oft benachbarte Folgeglieder.
Beispiel: Für die Folge a[n] = n²/12 - 1 kann man zeigen, dass a > a[n] ist, indem man die Differenz berechnet.
Beschränktheit ist eine weitere wichtige Eigenschaft von Folgen.
Definition: Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner oder gleich allen Folgegliedern ist. Sie heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die größer oder gleich allen Folgegliedern ist.
Beispiel: Die Folge a[n] = (-1)^n ist sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, da alle Folgeglieder zwischen -1 und 1 liegen.
Um die Beschränktheit einer Folge zu zeigen, kann man oft obere und untere Schranken angeben und beweisen, dass alle Folgeglieder innerhalb dieser Grenzen liegen.
Highlight: Die Analyse von Monotonie und Beschränktheit ist oft der erste Schritt bei der Untersuchung des Verhaltens einer Folge und kann wichtige Hinweise auf mögliche Grenzwerte geben.
Grenzwerte sind ein zentrales Konzept in der Analysis und beschreiben das Verhalten einer Folge für sehr große Indizes.
Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge a[n], wenn der Abstand zwischen a[n] und g ab einer bestimmten Platznummer n₀ für alle größeren n immer kleiner als jeder noch so kleine Abstand ε wird.
In Kurzform schreibt man: |a[n] - g| ≤ ε für alle n ≥ n₀
Vocabulary: Eine ε-Umgebung ist ein offenes Intervall um den Grenzwert g.
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Andernfalls ist sie divergent.
Beispiel: Die Folge a[n] = / konvergiert gegen 4. Man schreibt: lim[n→∞] / = 4
Es gibt wichtige Grenzwertsätze, die die Berechnung von Grenzwerten erleichtern:
Highlight: Bei der Berechnung von Grenzwerten von Brüchen ist es oft hilfreich, den höchsten Exponenten im Zähler und Nenner zu vergleichen:
- Ist der höchste Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0.
- Ist der höchste Exponent im Zähler größer, divergiert die Folge.
- Sind die höchsten Exponenten gleich, ergibt sich ein von Null verschiedener Grenzwert.
Die Untersuchung von Grenzwerten ist fundamental für das Verständnis des Verhaltens von Folgen und Funktionen und bildet die Grundlage für viele fortgeschrittene Konzepte in der Analysis.
In der Mathematik sind Folgen Funktionen mit natürlichen Zahlen als Definitionsbereich. Sie werden oft als Alternative zu herkömmlichen Funktionen verwendet, wie zum Beispiel a(n) = n² statt f(x) = x².
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich der natürlichen Zahlen.
Arithmetische Folgen sind ein wichtiger Typ von Folgen. Sie zeichnen sich durch eine konstante Differenz zwischen benachbarten Folgegliedern aus.
Beispiel: Die Folge a(n) = 2n + 1 ergibt 3, 5, 7, 9, ...
Für arithmetische Folgen gilt der Satz: / 2 = a[n]
Das Bildungsgesetz für arithmetische Folgen lautet: a[n] = a₁ + · d, wobei d die konstante Differenz ist.
Geometrische Folgen sind ein weiterer wichtiger Folgentyp. Hier erhält man das nächste Folgeglied durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor.
Beispiel: Die Folge 2, 4, 8, 16, 32 ist eine geometrische Folge mit dem Faktor 2.
Das Bildungsgesetz für geometrische Folgen lautet: a[n] = a₁ · q^, wobei q der konstante Faktor ist.
Highlight: Die Summenformeln für arithmetische und geometrische Folgen sind wichtige Werkzeuge in der Mathematik und finden in vielen Bereichen Anwendung.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
Android-Nutzer
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Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Julia
@juliaa.svd
Folgen und Reihen sind grundlegende Konzepte der Mathematik. Sie beschreiben Zahlenfolgen und deren Eigenschaften wie Monotonie, Beschränktheit und Grenzwerte. Wichtige Typen sind arithmetische und geometrische Folgen. Die Analyse von Folgen ermöglicht es, Muster zu erkennen und Vorhersagen zu treffen.... Mehr anzeigen
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Monotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Folgen, die ihr Verhalten beschreibt.
Definition: Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn für alle n gilt: a > a[n]. Sie heißt (streng) monoton fallend, wenn für alle n gilt: a < a[n].
Um die Monotonie einer Folge zu beweisen, vergleicht man oft benachbarte Folgeglieder.
Beispiel: Für die Folge a[n] = n²/12 - 1 kann man zeigen, dass a > a[n] ist, indem man die Differenz berechnet.
Beschränktheit ist eine weitere wichtige Eigenschaft von Folgen.
Definition: Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner oder gleich allen Folgegliedern ist. Sie heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die größer oder gleich allen Folgegliedern ist.
Beispiel: Die Folge a[n] = (-1)^n ist sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, da alle Folgeglieder zwischen -1 und 1 liegen.
Um die Beschränktheit einer Folge zu zeigen, kann man oft obere und untere Schranken angeben und beweisen, dass alle Folgeglieder innerhalb dieser Grenzen liegen.
Highlight: Die Analyse von Monotonie und Beschränktheit ist oft der erste Schritt bei der Untersuchung des Verhaltens einer Folge und kann wichtige Hinweise auf mögliche Grenzwerte geben.
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Grenzwerte sind ein zentrales Konzept in der Analysis und beschreiben das Verhalten einer Folge für sehr große Indizes.
Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge a[n], wenn der Abstand zwischen a[n] und g ab einer bestimmten Platznummer n₀ für alle größeren n immer kleiner als jeder noch so kleine Abstand ε wird.
In Kurzform schreibt man: |a[n] - g| ≤ ε für alle n ≥ n₀
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Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Andernfalls ist sie divergent.
Beispiel: Die Folge a[n] = / konvergiert gegen 4. Man schreibt: lim[n→∞] / = 4
Es gibt wichtige Grenzwertsätze, die die Berechnung von Grenzwerten erleichtern:
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- Ist der höchste Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0.
- Ist der höchste Exponent im Zähler größer, divergiert die Folge.
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In der Mathematik sind Folgen Funktionen mit natürlichen Zahlen als Definitionsbereich. Sie werden oft als Alternative zu herkömmlichen Funktionen verwendet, wie zum Beispiel a(n) = n² statt f(x) = x².
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich der natürlichen Zahlen.
Arithmetische Folgen sind ein wichtiger Typ von Folgen. Sie zeichnen sich durch eine konstante Differenz zwischen benachbarten Folgegliedern aus.
Beispiel: Die Folge a(n) = 2n + 1 ergibt 3, 5, 7, 9, ...
Für arithmetische Folgen gilt der Satz: / 2 = a[n]
Das Bildungsgesetz für arithmetische Folgen lautet: a[n] = a₁ + · d, wobei d die konstante Differenz ist.
Geometrische Folgen sind ein weiterer wichtiger Folgentyp. Hier erhält man das nächste Folgeglied durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor.
Beispiel: Die Folge 2, 4, 8, 16, 32 ist eine geometrische Folge mit dem Faktor 2.
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MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Differentialrechnung mit einem Fokus auf Ableitungen, Funktionsuntersuchungen und praktischen Anwendungen. Diese Zusammenfassung behandelt Steigungsprobleme, Extrempunkte, Wendepunkte und die Berechnung von Schnittwinkeln. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Xander S
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Elisha
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Paul T
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