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Aktualisiert Mar 17, 2026
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Arithmetische und Geometrische Folgen einfach erklärt mit Beispielen
J
Julia
@juliaa.svd
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Monotonie und Beschränktheit von Folgen
Monotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Folgen, die ihr Verhalten beschreibt.
Definition: Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn für alle n gilt: a > a[n]. Sie heißt (streng) monoton fallend, wenn für alle n gilt: a < a[n].
Um die Monotonie einer Folge zu beweisen, vergleicht man oft benachbarte Folgeglieder.
Beispiel: Für die Folge a[n] = n²/12 - 1 kann man zeigen, dass a > a[n] ist, indem man die Differenz berechnet.
Beschränktheit ist eine weitere wichtige Eigenschaft von Folgen.
Definition: Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner oder gleich allen Folgegliedern ist. Sie heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die größer oder gleich allen Folgegliedern ist.
Beispiel: Die Folge a[n] = (-1)^n ist sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, da alle Folgeglieder zwischen -1 und 1 liegen.
Um die Beschränktheit einer Folge zu zeigen, kann man oft obere und untere Schranken angeben und beweisen, dass alle Folgeglieder innerhalb dieser Grenzen liegen.
Highlight: Die Analyse von Monotonie und Beschränktheit ist oft der erste Schritt bei der Untersuchung des Verhaltens einer Folge und kann wichtige Hinweise auf mögliche Grenzwerte geben.
Grenzwerte von Folgen
Grenzwerte sind ein zentrales Konzept in der Analysis und beschreiben das Verhalten einer Folge für sehr große Indizes.
Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge a[n], wenn der Abstand zwischen a[n] und g ab einer bestimmten Platznummer n₀ für alle größeren n immer kleiner als jeder noch so kleine Abstand ε wird.
In Kurzform schreibt man: |a[n] - g| ≤ ε für alle n ≥ n₀
Vocabulary: Eine ε-Umgebung ist ein offenes Intervall um den Grenzwert g.
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Andernfalls ist sie divergent.
Beispiel: Die Folge a[n] = / konvergiert gegen 4. Man schreibt: lim[n→∞] / = 4
Es gibt wichtige Grenzwertsätze, die die Berechnung von Grenzwerten erleichtern:
- Für die Summe konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] ± b[n]) = lim a[n] ± lim b[n]
- Für das Produkt konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] · b[n]) = lim a[n] · lim b[n]
Highlight: Bei der Berechnung von Grenzwerten von Brüchen ist es oft hilfreich, den höchsten Exponenten im Zähler und Nenner zu vergleichen:
- Ist der höchste Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0.
- Ist der höchste Exponent im Zähler größer, divergiert die Folge.
- Sind die höchsten Exponenten gleich, ergibt sich ein von Null verschiedener Grenzwert.
Die Untersuchung von Grenzwerten ist fundamental für das Verständnis des Verhaltens von Folgen und Funktionen und bildet die Grundlage für viele fortgeschrittene Konzepte in der Analysis.
Grundlagen der Folgen
In der Mathematik sind Folgen Funktionen mit natürlichen Zahlen als Definitionsbereich. Sie werden oft als Alternative zu herkömmlichen Funktionen verwendet, wie zum Beispiel a(n) = n² statt f(x) = x².
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich der natürlichen Zahlen.
Arithmetische Folgen sind ein wichtiger Typ von Folgen. Sie zeichnen sich durch eine konstante Differenz zwischen benachbarten Folgegliedern aus.
Beispiel: Die Folge a(n) = 2n + 1 ergibt 3, 5, 7, 9, ...
Für arithmetische Folgen gilt der Satz: / 2 = a[n]
Das Bildungsgesetz für arithmetische Folgen lautet: a[n] = a₁ + · d, wobei d die konstante Differenz ist.
Geometrische Folgen sind ein weiterer wichtiger Folgentyp. Hier erhält man das nächste Folgeglied durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor.
Beispiel: Die Folge 2, 4, 8, 16, 32 ist eine geometrische Folge mit dem Faktor 2.
Das Bildungsgesetz für geometrische Folgen lautet: a[n] = a₁ · q^, wobei q der konstante Faktor ist.
Highlight: Die Summenformeln für arithmetische und geometrische Folgen sind wichtige Werkzeuge in der Mathematik und finden in vielen Bereichen Anwendung.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Anna
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Thomas R
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David K
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Arithmetische und Geometrische Folgen einfach erklärt mit Beispielen
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Julia
@juliaa.svd
Folgen und Reihen sind grundlegende Konzepte der Mathematik. Sie beschreiben Zahlenfolgen und deren Eigenschaften wie Monotonie, Beschränktheit und Grenzwerte. Wichtige Typen sind arithmetische und geometrische Folgen. Die Analyse von Folgen ermöglicht es, Muster zu erkennen und Vorhersagen zu treffen.... Mehr anzeigen
Monotonie und Beschränktheit von Folgen
Monotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Folgen, die ihr Verhalten beschreibt.
Definition: Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn für alle n gilt: a > a[n]. Sie heißt (streng) monoton fallend, wenn für alle n gilt: a < a[n].
Um die Monotonie einer Folge zu beweisen, vergleicht man oft benachbarte Folgeglieder.
Beispiel: Für die Folge a[n] = n²/12 - 1 kann man zeigen, dass a > a[n] ist, indem man die Differenz berechnet.
Beschränktheit ist eine weitere wichtige Eigenschaft von Folgen.
Definition: Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner oder gleich allen Folgegliedern ist. Sie heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die größer oder gleich allen Folgegliedern ist.
Beispiel: Die Folge a[n] = (-1)^n ist sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, da alle Folgeglieder zwischen -1 und 1 liegen.
Um die Beschränktheit einer Folge zu zeigen, kann man oft obere und untere Schranken angeben und beweisen, dass alle Folgeglieder innerhalb dieser Grenzen liegen.
Highlight: Die Analyse von Monotonie und Beschränktheit ist oft der erste Schritt bei der Untersuchung des Verhaltens einer Folge und kann wichtige Hinweise auf mögliche Grenzwerte geben.
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Grenzwerte von Folgen
Grenzwerte sind ein zentrales Konzept in der Analysis und beschreiben das Verhalten einer Folge für sehr große Indizes.
Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge a[n], wenn der Abstand zwischen a[n] und g ab einer bestimmten Platznummer n₀ für alle größeren n immer kleiner als jeder noch so kleine Abstand ε wird.
In Kurzform schreibt man: |a[n] - g| ≤ ε für alle n ≥ n₀
Vocabulary: Eine ε-Umgebung ist ein offenes Intervall um den Grenzwert g.
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Andernfalls ist sie divergent.
Beispiel: Die Folge a[n] = / konvergiert gegen 4. Man schreibt: lim[n→∞] / = 4
Es gibt wichtige Grenzwertsätze, die die Berechnung von Grenzwerten erleichtern:
- Für die Summe konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] ± b[n]) = lim a[n] ± lim b[n]
- Für das Produkt konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] · b[n]) = lim a[n] · lim b[n]
Highlight: Bei der Berechnung von Grenzwerten von Brüchen ist es oft hilfreich, den höchsten Exponenten im Zähler und Nenner zu vergleichen:
- Ist der höchste Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0.
- Ist der höchste Exponent im Zähler größer, divergiert die Folge.
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Grundlagen der Folgen
In der Mathematik sind Folgen Funktionen mit natürlichen Zahlen als Definitionsbereich. Sie werden oft als Alternative zu herkömmlichen Funktionen verwendet, wie zum Beispiel a(n) = n² statt f(x) = x².
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich der natürlichen Zahlen.
Arithmetische Folgen sind ein wichtiger Typ von Folgen. Sie zeichnen sich durch eine konstante Differenz zwischen benachbarten Folgegliedern aus.
Beispiel: Die Folge a(n) = 2n + 1 ergibt 3, 5, 7, 9, ...
Für arithmetische Folgen gilt der Satz: / 2 = a[n]
Das Bildungsgesetz für arithmetische Folgen lautet: a[n] = a₁ + · d, wobei d die konstante Differenz ist.
Geometrische Folgen sind ein weiterer wichtiger Folgentyp. Hier erhält man das nächste Folgeglied durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor.
Beispiel: Die Folge 2, 4, 8, 16, 32 ist eine geometrische Folge mit dem Faktor 2.
Das Bildungsgesetz für geometrische Folgen lautet: a[n] = a₁ · q^, wobei q der konstante Faktor ist.
Highlight: Die Summenformeln für arithmetische und geometrische Folgen sind wichtige Werkzeuge in der Mathematik und finden in vielen Bereichen Anwendung.
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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