Grenzwerte von Folgen

Grenzwerte sind ein zentrales Konzept in der Analysis und beschreiben das Verhalten einer Folge für sehr große Indizes.

Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge a[n], wenn der Abstand zwischen a[n] und g ab einer bestimmten Platznummer n₀ für alle größeren n immer kleiner als jeder noch so kleine Abstand ε wird.

In Kurzform schreibt man: |a[n] - g| ≤ ε für alle n ≥ n₀

Vocabulary: Eine ε-Umgebung ist ein offenes Intervall um den Grenzwert g.

Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Andernfalls ist sie divergent.

Beispiel: Die Folge a[n] = (4n-1)/(n+1) konvergiert gegen 4. Man schreibt: lim[n→∞] (4n-1)/(n+1) = 4

Es gibt wichtige Grenzwertsätze, die die Berechnung von Grenzwerten erleichtern:

1. Für die Summe konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] ± b[n]) = lim a[n] ± lim b[n]
2. Für das Produkt konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] · b[n]) = lim a[n] · lim b[n]

Highlight: Bei der Berechnung von Grenzwerten von Brüchen ist es oft hilfreich, den höchsten Exponenten im Zähler und Nenner zu vergleichen:

• Ist der höchste Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0.
• Ist der höchste Exponent im Zähler größer, divergiert die Folge.
• Sind die höchsten Exponenten gleich, ergibt sich ein von Null verschiedener Grenzwert.

Die Untersuchung von Grenzwerten ist fundamental für das Verständnis des Verhaltens von Folgen und Funktionen und bildet die Grundlage für viele fortgeschrittene Konzepte in der Analysis.