Grenzwerte von Folgen

Grenzwerte sind ein zentrales Konzept in der Analysis und beschreiben das Verhalten einer Folge für sehr große Indizes.

Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge a[n], wenn der Abstand zwischen a[n] und g ab einer bestimmten Platznummer n₀ für alle größeren n immer kleiner als jeder noch so kleine Abstand ε wird.

In Kurzform schreibt man: |a[n] - g| ≤ ε für alle n ≥ n₀

Vocabulary: Eine ε-Umgebung ist ein offenes Intervall um den Grenzwert g.

Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Andernfalls ist sie divergent.

Beispiel: Die Folge a[n] = (4n-1)/(n+1) konvergiert gegen 4. Man schreibt: lim[n→∞] (4n-1)/(n+1) = 4

Es gibt wichtige Grenzwertsätze, die die Berechnung von Grenzwerten erleichtern:

1. Für die Summe konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] ± b[n]) = lim a[n] ± lim b[n]
2. Für das Produkt konvergenter Folgen gilt: lim(a[n] · b[n]) = lim a[n] · lim b[n]

Highlight: Bei der Berechnung von Grenzwerten von Brüchen ist es oft hilfreich, den höchsten Exponenten im Zähler und Nenner zu vergleichen:

• Ist der höchste Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0.
• Ist der höchste Exponent im Zähler größer, divergiert die Folge.
• Sind die höchsten Exponenten gleich, ergibt sich ein von Null verschiedener Grenzwert.

Die Untersuchung von Grenzwerten ist fundamental für das Verständnis des Verhaltens von Folgen und Funktionen und bildet die Grundlage für viele fortgeschrittene Konzepte in der Analysis.

Monotonie und Beschränktheit von Folgen

Monotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Folgen, die ihr Verhalten beschreibt.

Definition: Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn für alle n gilt: a[n+1] > a[n]. Sie heißt (streng) monoton fallend, wenn für alle n gilt: a[n+1] < a[n].

Um die Monotonie einer Folge zu beweisen, vergleicht man oft benachbarte Folgeglieder.

Beispiel: Für die Folge a[n] = n²/12 - 1 kann man zeigen, dass a[n+1] > a[n] ist, indem man die Differenz berechnet.

Beschränktheit ist eine weitere wichtige Eigenschaft von Folgen.

Definition: Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner oder gleich allen Folgegliedern ist. Sie heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die größer oder gleich allen Folgegliedern ist.

Beispiel: Die Folge a[n] = (-1)^n ist sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, da alle Folgeglieder zwischen -1 und 1 liegen.

Um die Beschränktheit einer Folge zu zeigen, kann man oft obere und untere Schranken angeben und beweisen, dass alle Folgeglieder innerhalb dieser Grenzen liegen.

Highlight: Die Analyse von Monotonie und Beschränktheit ist oft der erste Schritt bei der Untersuchung des Verhaltens einer Folge und kann wichtige Hinweise auf mögliche Grenzwerte geben.