Folgen und Grenzwerte

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n+1. Beweise: a) au = 2,5 = = 2,5; 2,6; 2,75; 2,8 3n+27 21/1/2 ).(n+1) 1.2 nt/ Bsp: 1: Alostand = 1000 1a-41 un-1 (3n+ 2) 22.5.(n+1). 6n+ y 2 Sn+5 1-Sn 1-4. .n.2.A ✓ größte untere Schranke n+^ |un-1-4(n+1) 2 Man kann die Folgeglieder in einem Streifen parallel zur n-Achse. ,,einsperren", a.h. man kann obere Schranken angeben, so dass alle Folgeglieder kleiner als diese Schranke sind. -41 Def: Eine Folge neißt. & nach unten I 2 Grenzwerte. un-1 Die Folge an= ist 0+1 streng monoton steigend und nach oben beschränkt (so= 4). wird der Abstand beliebig klein? 4000 ^ 1000 ·1 1000 1 |·-un-1-u(n+1) | < 1000 n+^ | un-d-lin-1 ·| <1000 | ²1 | < 1000 1 1000 2000 <nt 1. 1999 < n → alle Folgeglieder ab. n=2000 haben einen Abstand von weniger als 1000 zur Zahl 4. gibt, für die gilt: fans für alle n von besonderem Interesse ist jeweils die größte untere bzw. die kleinste obere Schranke.. 1.1000 1·(n+1) ·-1-1 nach oben ? beschränkt, wenn es eine Zahl {3}} a 1000 ~ 2,9 vermutung: a) Su= 2₁5. b) so = 3. b). an ≤ 3. 3n+2 ≤3 1.(n+1). 3n+2 ≤3 (n+1) 3n+2 ≤3n+ 3. 1-3n 1-2 os^v 1 Bsp. 2: Albstand: 1.000.000 1 lan-41 ≤ 1000 000 1 2 n+1 < 1000000 2 000 000 < n + 1 1 99 999 <n Bsp.3: wähle alis Abstand & 1a₁-41 = € i < { 1:(n+1) ht1 2 · (n+1) 1:{ 름이 :cn+.1.1-1 ^<n Def: wird der Abstand zwischen an und einer Zahl 9. ab einer bestimmten Platznummer no für alle größeren ʼn immer kleiner als jeder noch so kleine Abstand. &, so heißt diese zahl Grenzwert g der Folge an in Kurzform: lan-gl≤E für alle no no Def: Eine Umgebung, a.h.ein offenes intervall um'g. heißt. E- Umgebung &-Umgebung Besikt eine Folge einen Grenzwert, so heißt się konvergent, ansonsten divergent.. Schreibweise: un-1 Beispiel: Die Folge an = n+1 Man schreibt dafür un-1 Lim n=∞o n+1 = 4 1 weitere Beispiele: an n bn= 1 n². g=0. ·(3) sei cn= Grenzwertsölze: seien an und bon zwei konvergente. Folgen, d.n. (im an = a und lim lon=b, dann gilt:. n900 Beispiel: un²+1_n² (4+1/12) a) an= = n² n² (1) (1) sei ≤n = an ± bn, dann gilt: lim (n = lim (an ± (n) = liman & lim bn = a±b noo noo - am (bxo, limbon *0); dann gilt: lim cn = nyx b) anton= (2) sei cn=an-lon, dann gilt: lim (n = lim (an-bon) = lim an limbon = a·b n300 n-200 n-Soo 6+0+0+0 Kurzform" eim hat g=4 6n3 +6n² +n +1 13(6+1+√7/2+1/13) n3 +h² = 9=.0. " Nuufolge" "Nullfolge" = 8n³+8n²+2n+2 =6 1+0 n3 th lim 4+1/2 limona 7700 Beispiele: 1) an=; =lim an n²-1 nu +n3 n²+1 2). an=²" n+ 5 = liman n200 n3 (1+1) un +3 ·37/4) an² 2n-5 = lim an ny00 n³ (8++ = lim 1700 1³61+ 1/1₂) : .: (²-²)=0 mbon" (1+1) 4+ lim 4200 n²(1+2) n² (A+) an= (-1)" ^ lim 4700 lim 1 n-200 n(u+) n (2-1) lim n700 ^ an bn n² 1 === divergent liman 4900 limbon 5300 4+0 Feststellung: 1) 1st. der höchste Exponent im Nenner größer als der höchste 2) Ist der höchste Exponent im Zähler größer als der im Nenner, so ist die Folge divergent. 3) Sind die höchsten Exponenten. im. Zähler und Nenner gleich groß, so erhält man einen von Null ver- schiedenen Grenzwert.. + anton = ny00 = 4/per Quotient aus den Vorfaktoren der Potenzen mit dem höchsten Exponenten ergibt den Grenzwert.. = ५ eim 6+ lim+lim √2 + lim ²3 n00 now 5200 lim 1. lim 10000 ↳ höchsten Exponenten ausklammern. Exponent im Zähler, dann gilt liman = 0