Nullstellenberechnung

Dieser Abschnitt widmet sich der Nullstellenberechnung und präsentiert verschiedene Methoden zur Ermittlung von Nullstellen einer Funktion. Es werden drei Hauptmethoden vorgestellt:

1. Ablesen der Nullstellen aus der faktorisierten Form
2. Ausklammern bei der summierten Form
3. Substitution bei speziellen Funktionsformen

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert Null annimmt.

Bei der Methode des Ablesens wird gezeigt, wie man Nullstellen direkt aus der faktorisierten Form einer Funktion ermitteln kann. Dabei wird zwischen einfachen und doppelten Nullstellen unterschieden.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = (x-2)(x+5) sind die Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = -5.

Die Methode des Ausklammerns wird für Funktionen in summierter Form erläutert, bei denen alle Summanden Variablen enthalten.

Highlight: Das Ausklammern ist besonders nützlich, wenn alle Terme der Funktion einen gemeinsamen Faktor haben.

Ganzrationale Funktionen und Verhalten im Unendlichen

Dieser Abschnitt befasst sich mit ganzrationalen Funktionen und ihrem Verhalten im Unendlichen. Es wird erklärt, dass ganzrationale Funktionen aus mehreren Potenzfunktionen zusammengesetzt sind und die allgemeine Form f(x) = a·xⁿ haben, wobei a ≠ 0 und n eine natürliche Zahl von 0 bis +∞ ist.

Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Potenzfunktionen mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten.

Das Verhalten im Unendlichen wird detailliert analysiert. Dabei wird betont, dass für die Beurteilung des Verhaltens im Unendlichen die Potenzfunktion mit dem größten Exponenten ausschlaggebend ist. Eine Tabelle veranschaulicht das Verhalten für gerade und ungerade Exponenten sowie für positive und negative Koeffizienten.

Highlight: Für das Verhalten im Unendlichen ist die Potenzfunktion mit dem höchsten Exponenten entscheidend.

Das Verhalten nahe Null wird ebenfalls besprochen, wobei hier die Potenzfunktion mit dem kleinsten Exponenten und das absolute Glied berücksichtigt werden müssen.

Der Abschnitt schließt mit einer Betrachtung verschiedener Funktionstypen wie quadratischen und linearen Funktionen sowie deren Verhalten im Koordinatensystem.

Vocabulary: Das absolute Glied ist der konstante Term einer Funktion, der nicht von x abhängt und den y-Achsenabschnitt bestimmt.

Koeffizienten, Exponenten und Beispielrechnungen

In diesem Abschnitt werden die Bestandteile einer Funktion genauer betrachtet und anhand von Beispielrechnungen erläutert. Es werden Begriffe wie Koeffizient (Vorfaktor), Variable und absolutes Glied definiert und ihre Bedeutung in der Funktionsgleichung erklärt.

Definition: Der Koeffizient ist der Faktor, der vor einer Variablen steht und deren Einfluss auf die Funktion bestimmt.

Eine detaillierte Beispielrechnung wird für die Funktion f(x) = 3x³ - 4x² - x² durchgeführt. Dabei werden folgende Schritte erläutert:

1. Ordnen der Terme
2. Bestimmung des Grades der Funktion
3. Identifikation des absoluten Glieds
4. Analyse des Verhaltens im Unendlichen
5. Untersuchung des Verhaltens nahe Null

Beispiel: Für die Funktion f(x) = 3x³ - 4x² - x² gilt: f(x) → +∞ für x → -∞ und f(x) → -∞ für x → +∞

Es wird betont, wie wichtig es ist, die gegebenen Informationen zu nutzen, um die Funktion korrekt zu zeichnen und zu analysieren.

Highlight: Die systematische Analyse einer Funktion umfasst das Ordnen der Terme, die Bestimmung des Grades, die Identifikation des absoluten Glieds und die Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen und nahe Null.