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31. Jan. 2026
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In der Mathematik sind Funktionen grundlegende Konzepte, die Beziehungen zwischen... Mehr anzeigen
Eine Funktion ordnet jedem x-Wert (Stelle) genau einen y-Wert (Funktionswert) zu. Diese eindeutige Zuordnung schreiben wir als f: x → 3x²+5 statt f(x) = 3x²+5.
Bei jeder Funktion musst du die Definitionsmenge (Dx) beachten, die angibt, welche x-Werte erlaubt sind. Besonders wichtig: Bei Brüchen darfst du nicht durch 0 teilen! Bei y = 2/ gilt Dx = {x∈R|x≠-10}.
Die Wertemenge (Wy oder Wf) beschreibt alle möglichen y-Werte, die eine Funktion annehmen kann.
💡 Tipp: Bei Potenzfunktionen wie f(x) = ax^n gilt: Je höher der Exponent n ist, desto mehr schmiegt sich die Kurve im Bereich 0≤y≤1 an die x-Achse. Der Vorfaktor a bestimmt, wie stark die Funktion gestreckt oder gestaucht wird.
Ganzrationale Funktionen setzen sich aus mehreren Potenzfunktionen zusammen. Eine einfache Potenzfunktion hat die Form f(x) = ax^n, wobei a ≠ 0 und n eine natürliche Zahl ist.
Das Verhalten im Unendlichen wird hauptsächlich durch die Potenzfunktion mit dem größten Exponenten bestimmt. Ist der höchste Exponent n gerade und a > 0, streben beide Seiten nach +∞. Ist a < 0, streben beide nach -∞. Bei ungeradem n verhält sich die Funktion unterschiedlich für x → +∞ und x → -∞.
Nahe Null wird das Verhalten der Funktion vor allem durch die Potenzfunktion mit dem kleinsten Exponenten und das absolute Glied bestimmt.
🔍 Merke: Bei einer quadratischen Funktion (x²) entsteht eine Parabel, bei einer linearen Funktion eine Gerade. Diese Grundformen helfen dir, das Verhalten im Unendlichen besser zu verstehen!
Eine Funktion f(x) = ax^n + a₀ besteht aus verschiedenen Teilen: dem Koeffizienten (Vorfaktor a), dem Exponenten n, der Variablen x und dem absoluten Glied a₀.
Bei der Analyse einer Funktion wie f(x) = 3x³ - 4x⁵ - x² gehst du schrittweise vor:
🧩 Praxistipp: Beim Skizzieren einer Funktion konzentriere dich zuerst auf das Verhalten im Unendlichen und nahe Null - das gibt dir wichtige Anhaltspunkte für den Graphen!
Eine Funktion kann in verschiedenen Formen dargestellt werden:
Um von der faktorisierten Form in die summierte Form zu kommen, multiplizierst du alle Klammern aus. Das ist zwar mühsam, aber wichtig für viele Anwendungen:
Die faktorisierte Form ist besonders nützlich, um Nullstellen direkt ablesen zu können, während die summierte Form für andere Berechnungen oft einfacher ist.
🔄 Wichtig: Beherrsche beide Umformungsrichtungen! Die summierte Form brauchst du zum Ableiten, die faktorisierte Form zum schnellen Bestimmen von Nullstellen.
Nullstellen sind x-Werte, an denen f(x) = 0 gilt. Es gibt drei Hauptmethoden, sie zu finden:
Ablesen bei faktorisierter Form: Bei f(x) = setzt du jeden Faktor gleich 0: x-2 = 0 → x₁ = 2 x+5 = 0 → x₂ = -5 Diese sind einfache Nullstellen. Bei f(x) = ²² hast du doppelte Nullstellen an denselben Stellen.
Ausklammern bei summierter Form: Bei f(x) = x³-4x = 0 klammerst du x aus: x = 0 → x₁ = 0 oder x²-4 = 0 Aus x²-4 = 0 folgt: x² = 4 → x₂ = 2 und x₃ = -2
💡 Merke: Bei Polynomfunktionen vom Grad n gibt es höchstens n Nullstellen. Die Vielfachheit einer Nullstelle entspricht dem Exponenten des entsprechenden Faktors in der faktorisierten Form.
Die Substitutionsmethode ist perfekt für Funktionen wie f(x) = x⁴-7x²+12, bei denen du Muster wie x² erkennen kannst:
Funktionen können in verschiedenen Normalformen dargestellt werden:
Die Wahl der Form hängt davon ab, welche Eigenschaften der Funktion du hervorheben möchtest. Die Scheitelpunktform ist ideal, um den Scheitelpunkt (d|e) direkt abzulesen.
🔍 Profi-Tipp: Wenn du in Funktionsgleichungen Ausdrücke wie x² mehrfach siehst, probiere immer die Substitutionsmethode! Sie verwandelt komplizierte Gleichungen in einfachere, die du bereits lösen kannst.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
In der Mathematik sind Funktionen grundlegende Konzepte, die Beziehungen zwischen Zahlen beschreiben. Dieser Lernzettel führt dich durch wichtige Funktionstypen, ihre Eigenschaften und wie du mit ihnen arbeiten kannst. Du lernst, wie man Nullstellen berechnet und das Verhalten von Funktionen analysiert.
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Eine Funktion ordnet jedem x-Wert (Stelle) genau einen y-Wert (Funktionswert) zu. Diese eindeutige Zuordnung schreiben wir als f: x → 3x²+5 statt f(x) = 3x²+5.
Bei jeder Funktion musst du die Definitionsmenge (Dx) beachten, die angibt, welche x-Werte erlaubt sind. Besonders wichtig: Bei Brüchen darfst du nicht durch 0 teilen! Bei y = 2/ gilt Dx = {x∈R|x≠-10}.
Die Wertemenge (Wy oder Wf) beschreibt alle möglichen y-Werte, die eine Funktion annehmen kann.
💡 Tipp: Bei Potenzfunktionen wie f(x) = ax^n gilt: Je höher der Exponent n ist, desto mehr schmiegt sich die Kurve im Bereich 0≤y≤1 an die x-Achse. Der Vorfaktor a bestimmt, wie stark die Funktion gestreckt oder gestaucht wird.
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Ganzrationale Funktionen setzen sich aus mehreren Potenzfunktionen zusammen. Eine einfache Potenzfunktion hat die Form f(x) = ax^n, wobei a ≠ 0 und n eine natürliche Zahl ist.
Das Verhalten im Unendlichen wird hauptsächlich durch die Potenzfunktion mit dem größten Exponenten bestimmt. Ist der höchste Exponent n gerade und a > 0, streben beide Seiten nach +∞. Ist a < 0, streben beide nach -∞. Bei ungeradem n verhält sich die Funktion unterschiedlich für x → +∞ und x → -∞.
Nahe Null wird das Verhalten der Funktion vor allem durch die Potenzfunktion mit dem kleinsten Exponenten und das absolute Glied bestimmt.
🔍 Merke: Bei einer quadratischen Funktion (x²) entsteht eine Parabel, bei einer linearen Funktion eine Gerade. Diese Grundformen helfen dir, das Verhalten im Unendlichen besser zu verstehen!
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Eine Funktion f(x) = ax^n + a₀ besteht aus verschiedenen Teilen: dem Koeffizienten (Vorfaktor a), dem Exponenten n, der Variablen x und dem absoluten Glied a₀.
Bei der Analyse einer Funktion wie f(x) = 3x³ - 4x⁵ - x² gehst du schrittweise vor:
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Um von der faktorisierten Form in die summierte Form zu kommen, multiplizierst du alle Klammern aus. Das ist zwar mühsam, aber wichtig für viele Anwendungen:
Die faktorisierte Form ist besonders nützlich, um Nullstellen direkt ablesen zu können, während die summierte Form für andere Berechnungen oft einfacher ist.
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Nullstellen sind x-Werte, an denen f(x) = 0 gilt. Es gibt drei Hauptmethoden, sie zu finden:
Ablesen bei faktorisierter Form: Bei f(x) = setzt du jeden Faktor gleich 0: x-2 = 0 → x₁ = 2 x+5 = 0 → x₂ = -5 Diese sind einfache Nullstellen. Bei f(x) = ²² hast du doppelte Nullstellen an denselben Stellen.
Ausklammern bei summierter Form: Bei f(x) = x³-4x = 0 klammerst du x aus: x = 0 → x₁ = 0 oder x²-4 = 0 Aus x²-4 = 0 folgt: x² = 4 → x₂ = 2 und x₃ = -2
💡 Merke: Bei Polynomfunktionen vom Grad n gibt es höchstens n Nullstellen. Die Vielfachheit einer Nullstelle entspricht dem Exponenten des entsprechenden Faktors in der faktorisierten Form.
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Die Substitutionsmethode ist perfekt für Funktionen wie f(x) = x⁴-7x²+12, bei denen du Muster wie x² erkennen kannst:
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Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Anna
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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