Deutsch
Englisch
Biologie
Geschichte
Geographie/Erdkunde
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Demokratie und freiheit
Das 20. jahrhundert
Europa und globalisierung
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Großreiche
Der mensch und seine geschichte
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Frühe neuzeit
Imperialismus und erster weltkrieg
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Die zeit des nationalsozialismus
Europa und die welt
Alle Themen
Europa
Planet erde
Herausforderungen an die menschen des 21. jahrhunderts
Ressourcenkonflikte und ressourcenmanagement
Russland
Die subpolare und polare zone
Klimawandel und klimaschutz
Usa
Entwicklung in tropischen räumen
Entwicklungsperspektiven
Mensch-umwelt-beziehungen
China
Australien und ozeanien
Globalisierung
Klima und vegetationszonen
Alle Themen
study_with_seli
@study_with_seli_91f68e
·
247 Follower
Follow
Gebrochen rationale Funktionen sind ein wichtiges Thema in der Mathematik. Sie haben die Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Funktionen weisen besondere Eigenschaften auf, wie Definitionslücken, Asymptoten und Nullstellen, die für ihr Verständnis entscheidend sind. Die Analyse dieser Funktionen umfasst das Faktorisieren komplexer Terme, die Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen und die Bestimmung von Symmetrien.
5.1.2021
894
Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen (m_N) steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente (m_T): m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| / (1 + m_T * m_N)
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / (2x² + 1) -> Kürzen ergibt 3 / (2x + 1/x), lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / (4x² - x + 1) -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = (2x² + 1) / (2x - 1) -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 / (2x - 1)
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = (f(b) - f(a)) / (b - a)
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)).
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀(x₀/f(x₀)) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = (x³ - 6x² + 8x) / (3x² - 9x - 12)
Durch Faktorisieren erhalten wir:
f(x) = x(x - 4)(x - 2) / 3(x + 1)(x - 4)
Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x(x - 2) / 3(x + 1), wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.
221
2641
11/12
ANALYSIS ABI ZUSAMMENFASSUNG (Hessen)
-Eine handschriftliche Zusammenfassung mit GoodNotes erstellt -Beispiele und selbstgezeichnete Graphiken - Qualität der PDF könnte aufgrund einer Komprimierung nicht optimal sein
260
4842
12/13
Abi Karteikarten Analysis
Abitur Karteikarten zum Thema Analysis: Funktionen, Potenzgesetze, Gesetze
1425
21982
12/13
Mathe Abitur 2022
Themenzusammenstellung
107
2743
12
Analysis Abitur
Alles was du für den Analysis Teil im Abitur 2022 wissen solltest
38
712
11/12
Steckbriefaufgaben
Eine Zusammenfassung wie man Schritt für Schritt solche Steckbriefaufgaben lösen kann. Andere Wege gibt es bestimmt auch diesen finde ich am "leichtesten".
4243
62814
11/12
Mathe Abitur
Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
study_with_seli
@study_with_seli_91f68e
·
247 Follower
Follow
Gebrochen rationale Funktionen sind ein wichtiges Thema in der Mathematik. Sie haben die Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Funktionen weisen besondere Eigenschaften auf, wie Definitionslücken, Asymptoten und Nullstellen, die für ihr Verständnis entscheidend sind. Die Analyse dieser Funktionen umfasst das Faktorisieren komplexer Terme, die Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen und die Bestimmung von Symmetrien.
Sofortiger Zugang zu 13.000+ Lernzetteln
Vernetze dich mit 13M+ Lernenden wie dich
Verbessere deine Noten
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen (m_N) steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente (m_T): m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| / (1 + m_T * m_N)
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
Sofortiger Zugang zu 13.000+ Lernzetteln
Vernetze dich mit 13M+ Lernenden wie dich
Verbessere deine Noten
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / (2x² + 1) -> Kürzen ergibt 3 / (2x + 1/x), lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / (4x² - x + 1) -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = (2x² + 1) / (2x - 1) -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 / (2x - 1)
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
Sofortiger Zugang zu 13.000+ Lernzetteln
Vernetze dich mit 13M+ Lernenden wie dich
Verbessere deine Noten
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = (f(b) - f(a)) / (b - a)
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)).
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀(x₀/f(x₀)) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
Sofortiger Zugang zu 13.000+ Lernzetteln
Vernetze dich mit 13M+ Lernenden wie dich
Verbessere deine Noten
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = (x³ - 6x² + 8x) / (3x² - 9x - 12)
Durch Faktorisieren erhalten wir:
f(x) = x(x - 4)(x - 2) / 3(x + 1)(x - 4)
Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x(x - 2) / 3(x + 1), wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.
Mathe - ANALYSIS ABI ZUSAMMENFASSUNG (Hessen)
-Eine handschriftliche Zusammenfassung mit GoodNotes erstellt -Beispiele und selbstgezeichnete Graphiken - Qualität der PDF könnte aufgrund einer Komprimierung nicht optimal sein
221
2641
1
Mathe - Abi Karteikarten Analysis
Abitur Karteikarten zum Thema Analysis: Funktionen, Potenzgesetze, Gesetze
260
4842
0
Mathe - Mathe Abitur 2022
Themenzusammenstellung
1425
21982
18
Mathe - Analysis Abitur
Alles was du für den Analysis Teil im Abitur 2022 wissen solltest
107
2743
0
Mathe - Steckbriefaufgaben
Eine Zusammenfassung wie man Schritt für Schritt solche Steckbriefaufgaben lösen kann. Andere Wege gibt es bestimmt auch diesen finde ich am "leichtesten".
38
712
0
Mathe - Mathe Abitur
Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik
4243
62814
85
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
