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Gebrochen rationale Funktionen

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 2 Mathe Zusammenfassung Q11/1
Lokales und globales Differenzieren
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Differenzquotient/ mittlere Änderungsrate
Durchschnittli
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2 Mathe Zusammenfassung Q11/1 Lokales und globales Differenzieren 0 oo O O OOO O O Differenzquotient/ mittlere Änderungsrate Durchschnittliche Steigung zwischen 2 Punkten f(b)-f(a) b-a Auf Intervallen [a;b] definiert, so : m=- Anschaulich ist m gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) Q(b/f(b)) (x2|y2) Gerade DIFFERENZENQUOTIENT y2-y1_f(x2)-f(x1) = x2-x1 x2-x1 Steigung? y2 -y1 x2-x1 entialquotient (Unterschied zum Differenzenquotient?!) O O rdx²2▬▬ (x0+ h| f(x0+ h) ) Differentialquotient. Wie steil ist es an einer Stelle genau? ,,Gerade an Parabel anlegen" = Tangente, die genau an dem Punkt berührt und genauso steil weiter geht wie es am punkt hoch geht O 2 Punkte so nah zusammenlaufen lassen, bis sie ein Punkt werden, Tangente = fast Parabel lim f(x)-F(xo) – Differentialquotient/ momentane Änderungsrate X>XO x-xo Die gerade durch den Punkt Po(xo/f(xo)) mit der Steigung mx, heißt Tangente an dem Graphen in Po (x0 | f(x0) ) TY DIFFERENZENQUOTIENT II Wie weit muss ich hoch? (x1|y1) h O m = Wie weit nach rechts? || m: O Ableitung bestimmen: O 1. lim f(x)-f(xo) X>XO X-XO f(xo +h)-f(x0) x0 + h - XO f(x0 +h)-f(x0) h 1 mT gegen - 0 -= Differenzquotient oder mittlere Änderungsrate tialquotient (Unterschied zum Differenzenquotient?!) DIFFERENTIALQUOTIENT f(xo +h)-f(x0) Mpunkt lim h→0 O 2. H-Methode: f'(x0)=lim f(xo+h)-f(xo) h>0 h Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3) y=m*x+t_y=-3; m= Ableitung an der Stelle 3 (=2); Ableitung an der Stelle x0 Punktsteigung bei x0 Differenzierbarkeit: Man muss von rechts und links an Funktion rangehen, wenn bei beidem dasselbe raus kommt= Differenzierbar lim f(x) = lim f(x) x>xo+ X>XO- >t=-9 y=2x-9 O Gleichung der Normalen (Senkrechten): f(x)=x^2 f'(x0) Ĵ Schnittwinkel bestimmen: M₁ tanalpha tanA=0,5 TR: shift tan 0,5 = A=25,57° durchschnittliche Steigung zw. MN=- MN= Steigung der Normalen M₁-Steigung der Tangente steiler flacher 1 Mathe Zusammenfassung Q11/1 Gebrochen rationale...

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Funktionen: f(x)=P(x) q(x) O Definitionslücke, wann ist Nenner null? Senkrechte Asymptote : Definitionslücke Nullstellen, wann ist Zähler null? O O O Wenn Terme zu kompliziert - Faktorisieren (zerlegen) x3-6x²+8x f(x)= 3x²-9x-12 Zähler : x³ - 6x² + 8x= x(x² − 6x + 8) -> In Mitternachtsformel einsetzen ■ ×₁=4, ×2=2 : x(x − 4)(x − 2) - Dasselbe beim Nenner F(x): Loch, wann Zähler und Nenner gleichzeitig null? Verhalten im Unendlichen I _x(x−4)(x−2) _ x(x−2) da sich vier rauskürzen lässt = Loch 3(x+1)(x-4) 3(x+1)' lim f(x): x>2- lim f f(x) = x>2+ Fallunterscheidungen : = 2x >4 x-2 >0- 2x >4 = + ~ x-2 >0+ = = =12 1. Fall: Zählergrad z < Nennergrad n Kürzen mit der höchst vorkommenden Potenz 3x 2x²+1 -> Kürzen = O Symmetrie Bsp. F(x)= lim f(x)=>0 x-Achse = waagerechte Asymptote 2. Fall: Zählergrad = Nennergrad Kürzen mit der höchsten Potenz 2 f(x)=- 2x² 4x²-x+1 x+ 4 = ca ½ 3 2x+1/x² waagerechte Asymptote= nicht die x-Achse 3. Fall: Zählergrad = Nennergrad +1 Polynomdivision 1 Bsp. F(x)= 2x-1 = - Gleichung einer Geraden, der Asymptote _x2+1,5x nach PD = 0,5x+1+- 0,5x+1 2 2x-1 schräge Asymptote 4. Fall: Zählergrad > Nennergrad +1 höchst vorkommenden Potenzen sind maßgebend x³ +0,5x²x3 2x-1 2x Bsp: f(x)= -> Limes f(x) = ~ Keine waagerechte oder schräge Asymptote : 0,5x2 2) 1) 2 Versch. Große Zahlen einsetzten Welches Polynom hat den größten Einfluss Achsensymmetrie: achsensymmetrisch zur y-Achse 2x²+1 : f(-x)=f(x) Bsp: f(x)=5 3-x4 Punktsymmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung 2x³ +2 F(-X)=-F(x) Bsp: f(x)= 2 Mathe Zusammenfassung Q11/1 Lokales und globales Differenzieren 0 oo O O OOO O O Differenzquotient/ mittlere Änderungsrate Durchschnittliche Steigung zwischen 2 Punkten f(b)-f(a) b-a Auf Intervallen [a;b] definiert, so : m=- Anschaulich ist m gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) Q(b/f(b)) (x2|y2) Gerade DIFFERENZENQUOTIENT y2-y1_f(x2)-f(x1) = x2-x1 x2-x1 Steigung? y2 -y1 x2-x1 entialquotient (Unterschied zum Differenzenquotient?!) O O rdx²2▬▬ (x0+ h| f(x0+ h) ) Differentialquotient. Wie steil ist es an einer Stelle genau? ,,Gerade an Parabel anlegen" = Tangente, die genau an dem Punkt berührt und genauso steil weiter geht wie es am punkt hoch geht O 2 Punkte so nah zusammenlaufen lassen, bis sie ein Punkt werden, Tangente = fast Parabel lim f(x)-F(xo) – Differentialquotient/ momentane Änderungsrate X>XO x-xo Die gerade durch den Punkt Po(xo/f(xo)) mit der Steigung mx, heißt Tangente an dem Graphen in Po (x0 | f(x0) ) TY DIFFERENZENQUOTIENT II Wie weit muss ich hoch? (x1|y1) h O m = Wie weit nach rechts? || m: O Ableitung bestimmen: O 1. lim f(x)-f(xo) X>XO X-XO f(xo +h)-f(x0) x0 + h - XO f(x0 +h)-f(x0) h 1 mT gegen - 0 -= Differenzquotient oder mittlere Änderungsrate tialquotient (Unterschied zum Differenzenquotient?!) DIFFERENTIALQUOTIENT f(xo +h)-f(x0) Mpunkt lim h→0 O 2. H-Methode: f'(x0)=lim f(xo+h)-f(xo) h>0 h Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3) y=m*x+t_y=-3; m= Ableitung an der Stelle 3 (=2); Ableitung an der Stelle x0 Punktsteigung bei x0 Differenzierbarkeit: Man muss von rechts und links an Funktion rangehen, wenn bei beidem dasselbe raus kommt= Differenzierbar lim f(x) = lim f(x) x>xo+ X>XO- >t=-9 y=2x-9 O Gleichung der Normalen (Senkrechten): f(x)=x^2 f'(x0) Ĵ Schnittwinkel bestimmen: M₁ tanalpha tanA=0,5 TR: shift tan 0,5 = A=25,57° durchschnittliche Steigung zw. MN=- MN= Steigung der Normalen M₁-Steigung der Tangente steiler flacher 3 Mathe Zusammenfassung Q11/1 O O Ableitungsfunktion: f(x)=x^ => f'(x)= n*x(n-1)

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Funktionen: f(x)=P(x) q(x) O Definitionslücke, wann ist Nenner null? Senkrechte Asymptote : Definitionslücke Nullstellen, wann ist Zähler null? O O O Wenn Terme zu kompliziert - Faktorisieren (zerlegen) x3-6x²+8x f(x)= 3x²-9x-12 Zähler : x³ - 6x² + 8x= x(x² − 6x + 8) -> In Mitternachtsformel einsetzen ■ ×₁=4, ×2=2 : x(x − 4)(x − 2) - Dasselbe beim Nenner F(x): Loch, wann Zähler und Nenner gleichzeitig null? Verhalten im Unendlichen I _x(x−4)(x−2) _ x(x−2) da sich vier rauskürzen lässt = Loch 3(x+1)(x-4) 3(x+1)' lim f(x): x>2- lim f f(x) = x>2+ Fallunterscheidungen : = 2x >4 x-2 >0- 2x >4 = + ~ x-2 >0+ = = =12 1. Fall: Zählergrad z < Nennergrad n Kürzen mit der höchst vorkommenden Potenz 3x 2x²+1 -> Kürzen = O Symmetrie Bsp. F(x)= lim f(x)=>0 x-Achse = waagerechte Asymptote 2. Fall: Zählergrad = Nennergrad Kürzen mit der höchsten Potenz 2 f(x)=- 2x² 4x²-x+1 x+ 4 = ca ½ 3 2x+1/x² waagerechte Asymptote= nicht die x-Achse 3. Fall: Zählergrad = Nennergrad +1 Polynomdivision 1 Bsp. F(x)= 2x-1 = - Gleichung einer Geraden, der Asymptote _x2+1,5x nach PD = 0,5x+1+- 0,5x+1 2 2x-1 schräge Asymptote 4. Fall: Zählergrad > Nennergrad +1 höchst vorkommenden Potenzen sind maßgebend x³ +0,5x²x3 2x-1 2x Bsp: f(x)= -> Limes f(x) = ~ Keine waagerechte oder schräge Asymptote : 0,5x2 2) 1) 2 Versch. Große Zahlen einsetzten Welches Polynom hat den größten Einfluss Achsensymmetrie: achsensymmetrisch zur y-Achse 2x²+1 : f(-x)=f(x) Bsp: f(x)=5 3-x4 Punktsymmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung 2x³ +2 F(-X)=-F(x) Bsp: f(x)= 2 Mathe Zusammenfassung Q11/1 Lokales und globales Differenzieren 0 oo O O OOO O O Differenzquotient/ mittlere Änderungsrate Durchschnittliche Steigung zwischen 2 Punkten f(b)-f(a) b-a Auf Intervallen [a;b] definiert, so : m=- Anschaulich ist m gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) Q(b/f(b)) (x2|y2) Gerade DIFFERENZENQUOTIENT y2-y1_f(x2)-f(x1) = x2-x1 x2-x1 Steigung? y2 -y1 x2-x1 entialquotient (Unterschied zum Differenzenquotient?!) O O rdx²2▬▬ (x0+ h| f(x0+ h) ) Differentialquotient. Wie steil ist es an einer Stelle genau? ,,Gerade an Parabel anlegen" = Tangente, die genau an dem Punkt berührt und genauso steil weiter geht wie es am punkt hoch geht O 2 Punkte so nah zusammenlaufen lassen, bis sie ein Punkt werden, Tangente = fast Parabel lim f(x)-F(xo) – Differentialquotient/ momentane Änderungsrate X>XO x-xo Die gerade durch den Punkt Po(xo/f(xo)) mit der Steigung mx, heißt Tangente an dem Graphen in Po (x0 | f(x0) ) TY DIFFERENZENQUOTIENT II Wie weit muss ich hoch? (x1|y1) h O m = Wie weit nach rechts? || m: O Ableitung bestimmen: O 1. lim f(x)-f(xo) X>XO X-XO f(xo +h)-f(x0) x0 + h - XO f(x0 +h)-f(x0) h 1 mT gegen - 0 -= Differenzquotient oder mittlere Änderungsrate tialquotient (Unterschied zum Differenzenquotient?!) DIFFERENTIALQUOTIENT f(xo +h)-f(x0) Mpunkt lim h→0 O 2. H-Methode: f'(x0)=lim f(xo+h)-f(xo) h>0 h Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3) y=m*x+t_y=-3; m= Ableitung an der Stelle 3 (=2); Ableitung an der Stelle x0 Punktsteigung bei x0 Differenzierbarkeit: Man muss von rechts und links an Funktion rangehen, wenn bei beidem dasselbe raus kommt= Differenzierbar lim f(x) = lim f(x) x>xo+ X>XO- >t=-9 y=2x-9 O Gleichung der Normalen (Senkrechten): f(x)=x^2 f'(x0) Ĵ Schnittwinkel bestimmen: M₁ tanalpha tanA=0,5 TR: shift tan 0,5 = A=25,57° durchschnittliche Steigung zw. MN=- MN= Steigung der Normalen M₁-Steigung der Tangente steiler flacher 3 Mathe Zusammenfassung Q11/1 O O Ableitungsfunktion: f(x)=x^ => f'(x)= n*x(n-1)