Mathe Klasse 11 - Übungen, Klausuren und Lösungen zum Download

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5.1.2021

Mathe

Gebrochen rationale Funktionen

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Mathe Klasse 11 - Übungen, Klausuren und Lösungen zum Download

Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die Differentialrechnung und gebrochen rationale Funktionen.

Behandelt Konzepte wie Differenzquotient, Differentialquotient und Differenzierbarkeit
Erklärt gebrochen rationale Funktionen und ihre Eigenschaften
Bietet praktische Beispiele und Anwendungen für Schüler der 11. Klasse

5.1.2021

2 Mathe Zusammenfassung Q11/1
Lokales und globales Differenzieren
Differenzquotient/ mittlere Änderungsrate
Durchschnittliche Steigung zwisc

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Verhalten im Unendlichen und Asymptoten

Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers $z$ im Vergleich zum Grad des Nenners $n$ .

Fall: z < n $Zählergrad kleiner als Nennergrad$ Kürzen mit der höchsten vorkommenden Potenz lim f $x$ -> 0 für x -> ∞ Die x-Achse ist die waagerechte Asymptote

Example: f $x$ = 3x / $2x² + 1$ -> Kürzen ergibt 3 / $2x + 1/x$ , lim f $x$ -> 0

Fall: z = n $Zählergrad gleich Nennergrad$ Kürzen mit der höchsten Potenz Die waagerechte Asymptote ist nicht die x-Achse

Example: f $x$ = 2x² / $4x² - x + 1$ -> lim f $x$ -> 1/2

Fall: z = n + 1 $Zählergrad um 1 größer als Nennergrad$ Polynomdivision durchführen Ergebnis ist die Gleichung einer schrägen Asymptote

Example: f $x$ = $2x² + 1$ / $2x - 1$ -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 / $2x - 1$

Fall: z > n + 1 $Zählergrad mehr als 1 größer als Nennergrad$ Keine waagerechte oder schräge Asymptote Höchste Potenzen sind maßgebend

Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.

Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:

Achsensymmetrie zur y-Achse: f $-x$ = f $x$
Punktsymmetrie zum Ursprung: f $-x$ = -f $x$

Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.

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Lokales und globales Differenzieren

Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten $mittlere Änderungsrate$ und dem Differentialquotienten $momentane Änderungsrate$ .

Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall $a;b$ und wird berechnet als: m = $f(b$ - f $a$ ) / $b - a$

Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P $a/f(a$ ) und Q $b/f(b$ ).

Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.

Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.

Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀ $x₀/f(x₀$ ) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.

Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:

lim $x→x₀$ $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$

Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.

Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:

Grenzwertberechnung
h-Methode: f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀ + h$ - f $x₀$ ) / h

Example: Gleichung der Tangente im Punkt $3/-3$ : y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.

Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.

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Fortsetzung: Lokales und globales Differenzieren

Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.

Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim $x→x₀⁺$ f' $x$ = lim $x→x₀⁻$ f' $x$

Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:

f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀ + h$ - f $x₀$ ) / h

Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt $3/-3$ : y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 $= 2$ t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9

Ein wichtiges Konzept ist die Normale $Senkrechte$ zur Tangente:

Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.

Die Steigung der Normalen $m_N$ steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente $m_T$ : m_N = -1 / m_T

Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan $α$ = |m_T - m_N| / $1 + m_T * m_N$

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.

Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.

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5. Jan. 2021

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Fall: z < n $Zählergrad kleiner als Nennergrad$ Kürzen mit der höchsten vorkommenden Potenz lim f $x$ -> 0 für x -> ∞ Die x-Achse ist die waagerechte Asymptote

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Example: f $x$ = 2x² / $4x² - x + 1$ -> lim f $x$ -> 1/2

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Lokales und globales Differenzieren

Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall $a;b$ und wird berechnet als: m = $f(b$ - f $a$ ) / $b - a$

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Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.

Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀ $x₀/f(x₀$ ) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.

Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:

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Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim $x→x₀⁺$ f' $x$ = lim $x→x₀⁻$ f' $x$

Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:

f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀ + h$ - f $x₀$ ) / h

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Gebrochen rationale Funktionen: Grundlagen und Eigenschaften

Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f $x$ = P $x$ / Q $x$ , wobei P $x$ und Q $x$ Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.

Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f $x$ = P $x$ / Q $x$ .

Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:

Definitionslücken: Sie treten auf, wenn der Nenner null wird.
Senkrechte Asymptoten: Diese entsprechen den Definitionslücken.
Nullstellen: Sie ergeben sich, wenn der Zähler null wird.
Löcher im Graphen: Diese entstehen, wenn Zähler und Nenner gleichzeitig null werden.

Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren $Zerlegen$ oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.

Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:

f $x$ = $x³ - 6x² + 8x$ / $3x² - 9x - 12$

Durch Faktorisieren erhalten wir:

f $x$ = x $x - 4$ $x - 2$ / 3 $x + 1$ $x - 4$

Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f $x$ = x $x - 2$ / 3 $x + 1$ , wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.

Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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