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study_with_seli
@study_with_seli_91f68e
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Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die Differentialrechnung und gebrochen rationale Funktionen.
5.1.2021
911
Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen (m_N) steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente (m_T): m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| / (1 + m_T * m_N)
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / (2x² + 1) -> Kürzen ergibt 3 / (2x + 1/x), lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / (4x² - x + 1) -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = (2x² + 1) / (2x - 1) -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 / (2x - 1)
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = (f(b) - f(a)) / (b - a)
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)).
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀(x₀/f(x₀)) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = (x³ - 6x² + 8x) / (3x² - 9x - 12)
Durch Faktorisieren erhalten wir:
f(x) = x(x - 4)(x - 2) / 3(x + 1)(x - 4)
Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x(x - 2) / 3(x + 1), wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.
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11/12
Mathe Abitur
Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik
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Analysis
mittlere/momentane Änderungsrate, Ableitungen, Tangentengleichung, Charakteristische Punkte…Übungen aus dem Buch Lambacher Schweizer
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Exponential Funktionen
Das durchgestrichene ist für mich irrelevant gewesen.
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S. 64 no. 2) L. S. EF und AB Die Ableitungsfunktion (2)
Das Dokument umfasst die ausgearbeitete Aufgabe 2 auf S. 64 vom Lambacher Schweizer Einführungsphase bzw 10. Klasse für das Gymnasium, sowie das AB Die Ableitungsfunktion (2). Das Thema ist Ableitungen und graphisches Ableiten.
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11/12
Analysis und analytische Geometrie
Klausur Klasse 12 Note 15NP/ 1+ Ähnlich wie eine andere Arbeit aber bissle anders
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11/9
h-Methode
die h-Methode Schritt für Schritt erklärt + Beispiel :) (Lernzettel)
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern
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Philipp, iOS User
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Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die Differentialrechnung und gebrochen rationale Funktionen.
Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen (m_N) steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente (m_T): m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| / (1 + m_T * m_N)
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / (2x² + 1) -> Kürzen ergibt 3 / (2x + 1/x), lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / (4x² - x + 1) -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = (2x² + 1) / (2x - 1) -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 / (2x - 1)
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
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Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = (f(b) - f(a)) / (b - a)
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)).
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀(x₀/f(x₀)) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = (x³ - 6x² + 8x) / (3x² - 9x - 12)
Durch Faktorisieren erhalten wir:
f(x) = x(x - 4)(x - 2) / 3(x + 1)(x - 4)
Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x(x - 2) / 3(x + 1), wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.
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