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study_with_seli
5.1.2021
Mathe
Gebrochen rationale Funktionen
Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die Differentialrechnung und gebrochen rationale Funktionen.
5.1.2021
961
Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / (2x² + 1) -> Kürzen ergibt 3 / (2x + 1/x), lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / (4x² - x + 1) -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = (2x² + 1) / (2x - 1) -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 / (2x - 1)
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = (f(b) - f(a)) / (b - a)
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)).
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀(x₀/f(x₀)) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen (m_N) steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente (m_T): m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| / (1 + m_T * m_N)
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
38
1418
12/13
Ganzrationale Funktionen
Ableitung, graphisch Ableiten, Bedeutung der zweiten Ableitung, Extrempunkte bestimmen, Wendepunkte bestimmen
4403
73269
11/12
Mathe Abitur
Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik
210
11364
12
e-Funktionen
- Eigenschaften e-Funktion - Transformation des Graphen einer e-Funktion - Lösung einfacher e-Funktionen mit dem natürlichen Logarithmus - Ketten- und Produktregel - Bestimmung Tangentengleichung - Funktionsuntersuchung Sachzusammenhang
44
2554
11/12
Kurvenanpassung
Lineare gleichungssysteme-Trassierung-Stetigkeit-Funktionenschar-Ortslinie
123
4132
11/12
Erste Klausur
-Ableitung -ganzrationale Funktionen bestimmen -Symmetrie -Verhalten im unendlichen -Nullstellen
43
3330
11/12
Ableitungen
Produktregel, Kettenregel, Sinus Cosinus
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Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / (2x² + 1) -> Kürzen ergibt 3 / (2x + 1/x), lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / (4x² - x + 1) -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = (2x² + 1) / (2x - 1) -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 / (2x - 1)
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Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = (f(b) - f(a)) / (b - a)
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)).
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀(x₀/f(x₀)) mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
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Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen (m_N) steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente (m_T): m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| / (1 + m_T * m_N)
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
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Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = (x³ - 6x² + 8x) / (3x² - 9x - 12)
Durch Faktorisieren erhalten wir:
f(x) = x(x - 4)(x - 2) / 3(x + 1)(x - 4)
Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x(x - 2) / 3(x + 1), wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.
Mathe - Ganzrationale Funktionen
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Produktregel, Kettenregel, Sinus Cosinus
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