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Mathe
27. Nov. 2025
969
4 Seiten
study_with_seli @study_with_seli_91f68e
Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die Differentialrechnung und gebrochen rationale Funktionen.
Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example f(x) = 3x / -> Kürzen ergibt 3 / , lim f(x) -> 0
Example f(x) = 2x² / -> lim f(x) -> 1/2
Example f(x) = / -> Nach Polynomdivision x + 0,5 + 1,5 /
Highlight Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht
Tip Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall und wird berechnet als m = /
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.
Vocabulary Differentialquotient Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀ mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert
lim (x→x₀) /
Highlight Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden
Example Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3) y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition Differenzierbarkeit Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden
f'(x₀) = lim (h→0) / h
Example Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3) y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente
Vocabulary Normale Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente m_N = -1 / m_T
Highlight Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion tan(α) = |m_T - m_N| /
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind
Highlight Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion
f(x) = /
Durch Faktorisieren erhalten wir
f(x) = x / 3
Example Nach dem Kürzen ergibt sich f(x) = x / 3, wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Dieser Lernzettel behandelt arithmetische und geometrische Folgen, deren Grenzwerte sowie die Untersuchung auf Monotonie und Beschränktheit. Er bietet eine klare Übersicht über die Bildungsgesetze, Grenzwertsätze und wichtige Eigenschaften von Folgen, die für das Verständnis der Analysis unerlässlich sind.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Funktionstransformationen, einschließlich vertikaler und horizontaler Streckung, Stauchung und Spiegelung. Erfahren Sie mehr über Monotonieverhalten, Krümmungskriterien und Ableitungsregeln. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur in Hessen 2023. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte der Analysis I und deren Anwendung auf Funktionsgraphen.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Ableitungsregeln, die Umkehrfunktion und die Ableitung von Wurzelfunktionen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, um die Konzepte klar zu verstehen und anzuwenden.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Ableitungen mit einem Fokus auf die wichtigsten Ableitungsregeln: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Differenzierung von Funktionen, um das Verständnis für Differentialrechnung zu vertiefen.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Aspekte ganzrationaler Funktionen mit praktischen Beispielaufgaben. Themen umfassen: Eigenschaften, Ableitungen, Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten, Krümmungsverhalten, Tangentengleichungen, Extremwertaufgaben und Funktionsscharen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur in der Analysis.
MatheEntdecken Sie die wichtigsten Ableitungsregeln, einschließlich Produktregel und Kettenregel, sowie deren Anwendung zur Bestimmung von Tangenten und Extremstellen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und erklärt den Zusammenhang zwischen Funktionen und ihren Ableitungen. Ideal für Studierende der Differentialrechnung.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Sudenaz Ocak
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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study_with_seli
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Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die Differentialrechnung und gebrochen rationale Funktionen.
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Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / -> Kürzen ergibt 3 / , lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = / -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 /
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
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Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall und wird berechnet als: m = /
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀ mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
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Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
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Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente : m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| /
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Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = /
Durch Faktorisieren erhalten wir:
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Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x / 3, wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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