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1.002
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30. Jan. 2026
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study_with_seli
@study_with_seli_91f68e
Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die... Mehr anzeigen
Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / -> Kürzen ergibt 3 / , lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = / -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 /
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = /
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀ mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) /
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente : m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| /
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = /
Durch Faktorisieren erhalten wir:
f(x) = x / 3
Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x / 3, wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen ist ebenfalls wichtig und hängt vom Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner ab.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Thomas R
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Elisha
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Paul T
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study_with_seli
@study_with_seli_91f68e
Differenzieren in Mathe Q11/1: Eine umfassende Einführung in die Differentialrechnung und gebrochen rationale Funktionen.
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Bei der Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen von großer Bedeutung. Es werden verschiedene Fälle unterschieden, abhängig vom Grad des Zählers (z) im Vergleich zum Grad des Nenners (n).
Example: f(x) = 3x / -> Kürzen ergibt 3 / , lim f(x) -> 0
Example: f(x) = 2x² / -> lim f(x) -> 1/2
Example: f(x) = / -> Nach Polynomdivision: x + 0,5 + 1,5 /
Highlight: Die Analyse des Verhaltens im Unendlichen hilft, den Verlauf der Funktion für sehr große x-Werte zu verstehen.
Zusätzlich wird die Symmetrie der Funktion untersucht:
Tip: Zur Überprüfung der Symmetrie können verschiedene große Zahlen eingesetzt werden.
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Diese Seite behandelt die Konzepte des Differenzierens, insbesondere den Unterschied zwischen dem Differenzquotienten (mittlere Änderungsrate) und dem Differentialquotienten (momentane Änderungsrate).
Definition: Der Differenzquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf einem Intervall [a;b] und wird berechnet als: m = /
Der Differenzquotient entspricht anschaulich der Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.
Vocabulary: Differentialquotient: Die Steigung an einem bestimmten Punkt, berechnet als Grenzwert des Differenzquotienten.
Der Übergang vom Differenzquotienten zum Differentialquotienten erfolgt, indem man die beiden Punkte so nah zusammenlaufen lässt, bis sie praktisch zu einem Punkt werden. Dies führt zur Definition der Tangente.
Definition: Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt P₀ mit der Steigung m₀, die den Graphen in P₀ berührt.
Die Berechnung des Differentialquotienten erfolgt durch den Grenzwert:
lim (x→x₀) /
Highlight: Der Differentialquotient gibt an, wie steil die Funktion an einer bestimmten Stelle genau ist.
Zur Bestimmung der Ableitung gibt es zwei Methoden:
Example: Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t, wobei m die Ableitung an der Stelle 3 ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion erfordert, dass der Grenzwert von rechts und links an die Funktion herangehend identisch ist.
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Diese Seite setzt die Diskussion über das Differenzieren fort und konzentriert sich auf praktische Anwendungen und weiterführende Konzepte.
Definition: Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert der Ableitung von rechts und links identisch ist: lim (x→x₀⁺) f'(x) = lim (x→x₀⁻) f'(x)
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x₀ kann als Punktsteigung interpretiert werden:
f'(x₀) = lim (h→0) / h
Example: Berechnung der Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3): y = mx + t y = -3; m = Ableitung an der Stelle 3 (= 2) t = -9 Ergebnis: y = 2x - 9
Ein wichtiges Konzept ist die Normale (Senkrechte) zur Tangente:
Vocabulary: Normale: Die Gerade, die senkrecht zur Tangente steht.
Die Steigung der Normalen steht in folgendem Verhältnis zur Steigung der Tangente : m_N = -1 / m_T
Highlight: Die Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Tangente und Normale erfolgt über die Tangensfunktion: tan(α) = |m_T - m_N| /
Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von gebrochen rationalen Funktionen und deren Verhalten. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Analysen und Anwendungen in der höheren Mathematik.
Tip: Üben Sie diese Konzepte anhand von Gebrochen rationale Funktionen Beispiele mit Lösungen, um Ihr Verständnis zu vertiefen.
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Gebrochen rationale Funktionen sind mathematische Funktionen der Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Diese Seite behandelt die grundlegenden Eigenschaften und Analysetechniken für solche Funktionen.
Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome: f(x) = P(x) / Q(x).
Wichtige Aspekte bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen sind:
Highlight: Bei komplexen Termen ist das Faktorisieren (Zerlegen) oft hilfreich, um die Funktion besser zu verstehen.
Ein Beispiel für die Analyse einer gebrochen rationalen Funktion:
f(x) = /
Durch Faktorisieren erhalten wir:
f(x) = x / 3
Example: Nach dem Kürzen ergibt sich: f(x) = x / 3, wobei sich ein "Loch" bei x = 4 zeigt.
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MatheDiese detaillierte Erklärung des Horner-Schemas bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Polynomdivision. Erfahren Sie, wie Sie Polynome effizient dividieren, die Koeffizienten übertragen und das Ergebnispolynom bestimmen. Ideal für Studierende, die die Grundlagen der Polynomdivision verstehen möchten. Enthält Beispiele und praktische Anwendungen, einschließlich der Berechnung von Einkommensteuern.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Xander S
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