Mathematik

Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

Grenzwert

1.049

•

29. Jan. 2026

•

3 Seiten

Grenzwert Rechner, Limes Beispiele und H-Methode

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Der Grenzwertist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das... Mehr anzeigen

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# 3. dec ableitungsbegriff

3.1 Grenzwerte ran Funktionen für x∞ und x-00

Deliabad

- Beir der Untersuelung von Funktionen anden Grenzen ih

Grenzwerte von Funktionen für x gegen einen bestimmten Wert

Die Testeinsetzungsmethode wird am Beispiel der Funktion f(x) = $x² - 4$ / $x - 2$ demonstriert. Da die Funktion an der Stelle x = 2 nicht definiert ist, werden linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte untersucht.

Beispiel: Für f(x) = $x² - 4$ / $x - 2$ ergibt sich: x = 1,9 → f(1,9) ≈ 3,9 x = 1,99 → f(1,99) ≈ 3,99 x = 2,1 → f(2,1) ≈ 4,1 x = 2,01 → f(2,01) ≈ 4,01

Die Termumformungsmethode wird ebenfalls anhand der Funktion f(x) = $x² - 4$ / $x - 2$ erklärt. Hier wird der Grenzwert durch algebraische Umformung und Vereinfachung des Terms berechnet.

Highlight: Bei der Termumformungsmethode wird der Ausdruck so umgeformt, dass eine Kürzung möglich ist und der Grenzwert leichter bestimmt werden kann.

Der Grenzwert lim(x→2) $x² - 4$ / $x - 2$ wird schrittweise berechnet:

Umformung: lim(x→2) $(x - 2)(x + 2)$ / $x - 2$
Kürzung: lim(x→2) $x + 2$
Einsetzen: 2 + 2 = 4

Vocabulary: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert - Grenzwerte, die sich ergeben, wenn man sich der kritischen Stelle von links bzw. rechts nähert.

Die H-Methode zur Grenzwertberechnung

Definition: Die H-Methode ist eine Technik zur Grenzwertberechnung, bei der die Variable x durch x₀ + h ersetzt wird, wobei x₀ der Wert ist, gegen den x strebt, und h eine kleine Größe darstellt.

Die H-Methode wird am Beispiel des Grenzwerts lim(x→2) $x² - 4$ / $x - 2$ demonstriert. Hierbei wird x durch 2 + h ersetzt und der Grenzübergang h → 0 durchgeführt.

Beispiel: Für lim(x→2) $x² - 4$ / $x - 2$ ergibt sich mit der H-Methode:

Ersetzen von x durch 2 + h

Umformen zu lim(h→0) $(2 + h)² - 4$ / h

Vereinfachen zu lim(h→0) $4 + 4h + h² - 4$ / h

Kürzen zu lim(h→0) $4h + h²$ / h

Vereinfachen zu lim(h→0) $4 + h$ = 4

Highlight: Die H-Methode ist besonders nützlich, wenn der zu berechnende Grenzwert in der Form 0/0 auftritt, was auf eine Unbestimmtheit hindeutet.

Die H-Methode ermöglicht es, komplexe Grenzwerte zu berechnen, indem sie die Funktion in der Nähe des kritischen Punktes linearisiert. Dies macht sie zu einem wertvollen Werkzeug in der Analysis, insbesondere bei der Untersuchung von Differenzierbarkeit und der Berechnung von Ableitungen.

Vocabulary: Differenzierbarkeit - Eine Eigenschaft von Funktionen, die besagt, dass die Funktion an einer bestimmten Stelle eine Tangente besitzt und somit lokal durch eine lineare Funktion approximiert werden kann.

Grenzwerte von Funktionen für x gegen unendlich

Definition: Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn sich die Variable einem bestimmten Wert oder unendlich nähert.

Die Testeinsetzungsmethode wird am Beispiel der Funktion f(x) = 2x + 1 demonstriert. Durch Einsetzen immer größerer x-Werte nähert sich der Funktionswert dem Grenzwert 2.

Beispiel: Für f(x) = 2x + 1 ergibt sich: x = 10 → f(10) = 21 x = 100 → f(100) = 201 x = 1000 → f(1000) = 2001

Die Termvereinfachungsmethode wird ebenfalls anhand der Funktion f(x) = 2x + 1 erklärt. Hier wird der Grenzwert durch Aufteilung in zwei separate Grenzwerte und anschließende Vereinfachung berechnet.

Highlight: Bei der Termvereinfachungsmethode wird der Ausdruck in Teilterme zerlegt, deren Grenzwerte einfacher zu bestimmen sind.

Der Grenzwert lim(x→∞) $2x + 1$ wird schrittweise berechnet:

Aufteilung in zwei Grenzwerte: lim(x→∞) 2x + lim(x→∞) 1
Bestimmung der Einzelgrenzwerte: 2 + 0 = 2

Vocabulary: Asymptote - Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion bei x → ∞ oder x → -∞ unbegrenzt nähert, ohne sie zu erreichen.

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Beliebtester Inhalt: Grenzwert

Grenzwertanalyse von Funktionen

Entdecken Sie die Grundlagen der Grenzwertbetrachtung für Funktionen, einschließlich der Analyse gegen Unendlichkeit und spezifische Werte. Diese Zusammenfassung behandelt Testeinsetzungen, Thermvereinfachungen und die Anwendung der Binomischen Formel. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Grenzwertprozesse vertiefen möchten.

Mathe

Grenzwertbestimmung Methoden

Erfahren Sie, wie Sie Grenzwerte von Funktionen ohne Taschenrechner bestimmen können. Diese Zusammenfassung behandelt verschiedene Methoden wie Testeinsetzung, Termumformung und die H-Methode. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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Grenzwertberechnung verstehen

Dieses Handout bietet eine umfassende Übersicht über die Berechnung von Grenzwerten in der Mathematik. Es behandelt die Konzepte von konvergenten und divergenten Grenzwerten, die Anwendung von Grenzwertsätzen sowie die Unterscheidung zwischen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen in Analysis vertiefen möchten.

Mathe

Grenzwertanalyse von Funktionen

Entdecken Sie die Konzepte der Grenzwertbestimmung für Zahlenfolgen und Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Grenzwertnotation, das Verhalten von Funktionen an Unendlichkeit und bietet Übungen zur Vertiefung. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse über Grenzwerte vertiefen möchten.

Mathe

Grenzwertberechnung: Nullfolgen & Funktionen

Dieser Lernzettel behandelt die Grenzwertberechnung, einschließlich Nullfolgen, Grenzwerte von Funktionen und das Verhalten an einer bestimmten Stelle. Er bietet Beispiele zur Anwendung von Grenzwertnotation und erklärt wichtige Konzepte wie divergente Folgen und waagerechte Asymptoten. Ideal für Schüler der Oberstufe, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

Mathe

Grenzwertanalyse von Funktionen

Erfahren Sie alles über die Grenzwertbestimmung von Funktionen, einschließlich Definitionslücken, asymptotischem Verhalten und Symmetrien. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Grenzwertnotation, rationale Funktionen und das Verhalten im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Funktionstheorie vertiefen möchten.

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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Entdecken Sie die Grundlagen von Zahlenfolgen und Grenzwerten in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt explizite und rekursive Bildungsvorschriften, arithmetische und geometrische Folgen sowie die Bestimmung von Grenzwerten. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

Mathe

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

Mathe

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

Mathe

Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

Mathe

Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

Mathe

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Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

Deutsch

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

Deutsch

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

Deutsch

Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

Deutsch

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

Deutsch

Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

Deutsch

Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Stefan S

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Samantha Klich

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

Grenzwert

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Grenzwert Rechner, Limes Beispiele und H-Methode

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Der Grenzwert ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, das die Annäherung einer Funktion an einen bestimmten Wert beschreibt. Diese Zusammenfassung erklärt verschiedene Methoden zur Grenzwertberechnung, einschließlich der Testeinsetzung, Termvereinfachung und der H-Methode. Besonderes Augenmerk liegt auf Grenzwerten... Mehr anzeigen

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Grenzwerte von Funktionen für x gegen einen bestimmten Wert

In diesem Abschnitt wird die Berechnung von Grenzwerten für Funktionen behandelt, bei denen x sich einem bestimmten Wert nähert. Es werden verschiedene Methoden zur Grenzwertberechnung vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert.

Die Testeinsetzungsmethode wird am Beispiel der Funktion f(x) = $x² - 4$ / $x - 2$ demonstriert. Da die Funktion an der Stelle x = 2 nicht definiert ist, werden linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte untersucht.

Beispiel: Für f(x) = $x² - 4$ / $x - 2$ ergibt sich: x = 1,9 → f(1,9) ≈ 3,9 x = 1,99 → f(1,99) ≈ 3,99 x = 2,1 → f(2,1) ≈ 4,1 x = 2,01 → f(2,01) ≈ 4,01

Die Termumformungsmethode wird ebenfalls anhand der Funktion f(x) = $x² - 4$ / $x - 2$ erklärt. Hier wird der Grenzwert durch algebraische Umformung und Vereinfachung des Terms berechnet.

Highlight: Bei der Termumformungsmethode wird der Ausdruck so umgeformt, dass eine Kürzung möglich ist und der Grenzwert leichter bestimmt werden kann.

Der Grenzwert lim(x→2) $x² - 4$ / $x - 2$ wird schrittweise berechnet:

Umformung: lim(x→2) $(x - 2)(x + 2)$ / $x - 2$

Kürzung: lim(x→2) $x + 2$

Einsetzen: 2 + 2 = 4

Vocabulary: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert - Grenzwerte, die sich ergeben, wenn man sich der kritischen Stelle von links bzw. rechts nähert.

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Die H-Methode zur Grenzwertberechnung

Dieser Abschnitt behandelt die H-Methode, eine fortgeschrittene Technik zur Grenzwertberechnung. Diese Methode ist besonders nützlich bei komplexeren Funktionen oder wenn andere Methoden nicht anwendbar sind.

Definition: Die H-Methode ist eine Technik zur Grenzwertberechnung, bei der die Variable x durch x₀ + h ersetzt wird, wobei x₀ der Wert ist, gegen den x strebt, und h eine kleine Größe darstellt.

Die H-Methode wird am Beispiel des Grenzwerts lim(x→2) $x² - 4$ / $x - 2$ demonstriert. Hierbei wird x durch 2 + h ersetzt und der Grenzübergang h → 0 durchgeführt.

Beispiel: Für lim(x→2) $x² - 4$ / $x - 2$ ergibt sich mit der H-Methode:

Ersetzen von x durch 2 + h

Umformen zu lim(h→0) $(2 + h)² - 4$ / h

Vereinfachen zu lim(h→0) $4 + 4h + h² - 4$ / h

Kürzen zu lim(h→0) $4h + h²$ / h

Vereinfachen zu lim(h→0) $4 + h$ = 4

Highlight: Die H-Methode ist besonders nützlich, wenn der zu berechnende Grenzwert in der Form 0/0 auftritt, was auf eine Unbestimmtheit hindeutet.

Die H-Methode ermöglicht es, komplexe Grenzwerte zu berechnen, indem sie die Funktion in der Nähe des kritischen Punktes linearisiert. Dies macht sie zu einem wertvollen Werkzeug in der Analysis, insbesondere bei der Untersuchung von Differenzierbarkeit und der Berechnung von Ableitungen.

Vocabulary: Differenzierbarkeit - Eine Eigenschaft von Funktionen, die besagt, dass die Funktion an einer bestimmten Stelle eine Tangente besitzt und somit lokal durch eine lineare Funktion approximiert werden kann.

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Grenzwerte von Funktionen für x gegen unendlich

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Berechnung von Grenzwerten für Funktionen, bei denen x gegen unendlich strebt. Es werden verschiedene Methoden zur Grenzwertberechnung vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert.

Definition: Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn sich die Variable einem bestimmten Wert oder unendlich nähert.

Die Testeinsetzungsmethode wird am Beispiel der Funktion f(x) = 2x + 1 demonstriert. Durch Einsetzen immer größerer x-Werte nähert sich der Funktionswert dem Grenzwert 2.

Beispiel: Für f(x) = 2x + 1 ergibt sich: x = 10 → f(10) = 21 x = 100 → f(100) = 201 x = 1000 → f(1000) = 2001

Die Termvereinfachungsmethode wird ebenfalls anhand der Funktion f(x) = 2x + 1 erklärt. Hier wird der Grenzwert durch Aufteilung in zwei separate Grenzwerte und anschließende Vereinfachung berechnet.

Highlight: Bei der Termvereinfachungsmethode wird der Ausdruck in Teilterme zerlegt, deren Grenzwerte einfacher zu bestimmen sind.

Der Grenzwert lim(x→∞) $2x + 1$ wird schrittweise berechnet:

Aufteilung in zwei Grenzwerte: lim(x→∞) 2x + lim(x→∞) 1

Bestimmung der Einzelgrenzwerte: 2 + 0 = 2

Vocabulary: Asymptote - Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion bei x → ∞ oder x → -∞ unbegrenzt nähert, ohne sie zu erreichen.

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Abilernzettel Heimsuchung 2025
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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck
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