Grenzwerte von Funktionen für x gegen einen bestimmten Wert
In diesem Abschnitt wird die Berechnung von Grenzwerten für Funktionen behandelt, bei denen x sich einem bestimmten Wert nähert. Es werden verschiedene Methoden zur Grenzwertberechnung vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert.
Die Testeinsetzungsmethode wird am Beispiel der Funktion fx = x2−4 / x−2 demonstriert. Da die Funktion an der Stelle x = 2 nicht definiert ist, werden linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte untersucht.
Beispiel: Für fx = x2−4 / x−2 ergibt sich:
x = 1,9 → f(1,9) ≈ 3,9
x = 1,99 → f(1,99) ≈ 3,99
x = 2,1 → f(2,1) ≈ 4,1
x = 2,01 → f(2,01) ≈ 4,01
Die Termumformungsmethode wird ebenfalls anhand der Funktion fx = x2−4 / x−2 erklärt. Hier wird der Grenzwert durch algebraische Umformung und Vereinfachung des Terms berechnet.
Highlight: Bei der Termumformungsmethode wird der Ausdruck so umgeformt, dass eine Kürzung möglich ist und der Grenzwert leichter bestimmt werden kann.
Der Grenzwert limx→2 x2−4 / x−2 wird schrittweise berechnet:
- Umformung: limx→2 (x−2x+2) / x−2
- Kürzung: limx→2 x+2
- Einsetzen: 2 + 2 = 4
Vocabulary: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert - Grenzwerte, die sich ergeben, wenn man sich der kritischen Stelle von links bzw. rechts nähert.