Grenzwerte von Funktionen für x gegen einen bestimmten Wert

In diesem Abschnitt wird die Berechnung von Grenzwerten für Funktionen behandelt, bei denen x sich einem bestimmten Wert nähert. Es werden verschiedene Methoden zur Grenzwertberechnung vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert.

Die Testeinsetzungsmethode wird am Beispiel der Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2) demonstriert. Da die Funktion an der Stelle x = 2 nicht definiert ist, werden linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte untersucht.

Beispiel: Für f(x) = (x² - 4) / (x - 2) ergibt sich: x = 1,9 → f(1,9) ≈ 3,9 x = 1,99 → f(1,99) ≈ 3,99 x = 2,1 → f(2,1) ≈ 4,1 x = 2,01 → f(2,01) ≈ 4,01

Die Termumformungsmethode wird ebenfalls anhand der Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2) erklärt. Hier wird der Grenzwert durch algebraische Umformung und Vereinfachung des Terms berechnet.

Highlight: Bei der Termumformungsmethode wird der Ausdruck so umgeformt, dass eine Kürzung möglich ist und der Grenzwert leichter bestimmt werden kann.

Der Grenzwert lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2) wird schrittweise berechnet:

1. Umformung: lim(x→2) ((x - 2)(x + 2)) / (x - 2)
2. Kürzung: lim(x→2) (x + 2)
3. Einsetzen: 2 + 2 = 4

Vocabulary: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert - Grenzwerte, die sich ergeben, wenn man sich der kritischen Stelle von links bzw. rechts nähert.

Grenzwerte von Funktionen für x gegen unendlich

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Berechnung von Grenzwerten für Funktionen, bei denen x gegen unendlich strebt. Es werden verschiedene Methoden zur Grenzwertberechnung vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert.

Definition: Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn sich die Variable einem bestimmten Wert oder unendlich nähert.

Die Testeinsetzungsmethode wird am Beispiel der Funktion f(x) = 2x + 1 demonstriert. Durch Einsetzen immer größerer x-Werte nähert sich der Funktionswert dem Grenzwert 2.

Beispiel: Für f(x) = 2x + 1 ergibt sich: x = 10 → f(10) = 21 x = 100 → f(100) = 201 x = 1000 → f(1000) = 2001

Die Termvereinfachungsmethode wird ebenfalls anhand der Funktion f(x) = 2x + 1 erklärt. Hier wird der Grenzwert durch Aufteilung in zwei separate Grenzwerte und anschließende Vereinfachung berechnet.

Highlight: Bei der Termvereinfachungsmethode wird der Ausdruck in Teilterme zerlegt, deren Grenzwerte einfacher zu bestimmen sind.

Der Grenzwert lim(x→∞) (2x + 1) wird schrittweise berechnet:

1. Aufteilung in zwei Grenzwerte: lim(x→∞) 2x + lim(x→∞) 1
2. Bestimmung der Einzelgrenzwerte: 2 + 0 = 2

Vocabulary: Asymptote - Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion bei x → ∞ oder x → -∞ unbegrenzt nähert, ohne sie zu erreichen.