Hoch- und Tiefpunkte: Einfach erklärt

Krümmungsverhalten und wichtige Punkte einer Funktion

Das Krümmungsverhalten einer Funktion zeigt, wie sich ihr Graph biegt. Die 2. Ableitung ist hierfür entscheidend: Bei $f''(x) > 0$ ist der Graph linksgekrümmt (positiv), bei $f''(x) < 0$ rechtsgekrümmt (negativ). An Nullstellen der 2. Ableitung kann sich die Krümmung ändern, muss aber nicht – zur sicheren Überprüfung verwenden wir die 3. Ableitung.

Um Extremstellen zu berechnen, nutzen wir einen einfachen Prozess: Erst finden wir die Nullstellen der 1. Ableitung. Dann prüfen wir mit der 2. Ableitung, ob es sich um einen Hochpunkt ($f''(x) < 0$) oder Tiefpunkt ($f''(x) > 0$) handelt. Bei unserem Beispiel $f(x) = x^3 - 4x^2 + 2$ führt dies zum Hochpunkt $HP(0|2)$ und Tiefpunkt $TP(8/3|-64/27)$.

Wendepunkte sind Stellen, an denen sich die Krümmung ändert. Mathematisch finden wir sie, wenn $f''(x) = 0$ und gleichzeitig $f'''(x) \neq 0$ ist. Im Beispiel $f(x) = -0,05x^3 + 1,2x^2 + 2$ berechnen wir die Nullstellen der 2. Ableitung und prüfen mit der 3. Ableitung, ob dort tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt. Dies führt zu den Wendepunkten $WP(2|4,2)$ und $WP(-2|4,2)$.

Merkhilfe: Bei der Krümmung berechnen hilft die Formel: "Ist die 2. Ableitung null und die 3. Ableitung ungleich null, dann liegt ein Wendepunkt vor." Der Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung (oder umgekehrt) macht den Rechts-Links-Wendepunkt aus!