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14.2.2021
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1.4 Integralrechnung In der Integralrechnung geht es hauptsächlich darum, die Fläche unterhalb einer Funktion zu ermitteln 1.4.1 Stammfunktion Synonyme: Aufleitung (fachsprachlich falsch, also das niemals schreiben); Integration Ziel: Wird benötigt zur Berechnung von der Fläche unterhalb einer Funktion und ist die Rückrechnung (teilweise) zur Ableitung Definition und Berechnung: Die Stammfunktion einer Funktion f wird mit einem großen F gekennzeichnet. Jede weitere Stammfunktion einer Stammfunktion wird mit einem Strich gekennzeichnet Integrationsregeln Beispiele: ■ Potenzregel: f(x) = x² → F(x) = (n + 1)−¹ * xn+1 Faktorregel: f(x) = a* x² → F(x) = a* (n+ 1)-1 * xn+1 Summenregel: f(x) = ax” + bxm → F(x) = a* (n + 1)−¹ * xn+1 + b* (m + 1)-¹ * xm+1 1 ○_f(x) = √x = x¹/² → F(x) = 3/2 11 f(x) = x¹0 → → F(x) = — * x¹¹ 11 * x3/2 1.4.2 Integralberechnung ● ● Synonyme: Integrationsrechung; Fläche unterhalb einer Funktion Ziel: Berechnung der Fläche unterhalb einer Funktion Berechnung: O Es wird die Stammfunktion F der Funktion f gebildet, um den Flächeninhalt darunter auszurechnen Nun muss man bei der Stammfunktion für x die linke Grenze a und die rechte Grenze beinzeln eingesetzt werden. Um die Fläche der Funktion f zu berechnen, bildet man das Integral mit a für x und zieht b (auch in x eingesetzt) ab. Man nimmt immer den Betrag der Lösung (Achtung: Wenn sich ein Bereich im negativen befindet, muss man ggf....
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beide Teile separat voneinander ab der Nullstelle berechnen) O O O O f(x) dx = [F₂(x) - Fa (x)] a Sc* f(x) dx = c * C* c* f f(x) dx f(f(x) + g(x)) dx = f f(x) dx + g(x) dx O Beispiel: O √₂²⁰ 3x dx = [³2x² - ²x²] ₂0 = 144 -30 -25 -20 -15 -10 o 1, 19 dx = [19 * x − 19 * x]º19 = −361 → 361 -19 -18 -17 -15 -13 -12 -9 10 Taschenrechner: Home → 2nd +5 → B: Analysis → 2: (integriere → f(f(x), x, a, b) 1.4.3 Integral zwischen zwei Funktionen ● ● ● ● ● Synonyme: Integral zwischen zwei Graphen; Zwischenintegral Ziel: Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen ermitteln ● Herleitung: O Wenn man den Flächeninhalt berechnen soll, den zwei Flächen umschließen, muss man die Schnittstellen berechnen und dann die Stammfunktion Fo (x) von der unteren Stammfunktion Fu(x) von den Grenzen an abziehen of fo(x) dx - So fu (x) dx = [ F₁ (b) — F₁(a) – F₁(b) — F₁(a)] O Sfo(x) dx - S fu(x) dx = f(f(x) – g(x)) dx Beispiel: Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion f(x) = 3 und f(x) = x² einschließen: -2 O O 1.4.4 Uneigentliche Integrale -1.5 O O -0.5 0.5 Berechnung der Schnittpunkte: fo fu → 3 = x² →x₁,2 = ±√3 Einsetzen in die Formel: A = √3 dx - ³x² dx = 4 * √3 Synonyme: Unbegrenzte Flächen; Uneigentliche Integration Ziel: Bei der Untersuchung von unbegrenzten Flächen auf einen Flächeninhalt untersucht man Integrale mit einer variablen Grenze und einer festen Grenze auf einen Grenzwert Berechnung: O Ist eine Funktion f eine Asymptote, so setzt man die obere oder untere (je nachdem was berechnet werden soll) Grenze z in das Integral ein und benutzt den Limes Wenn man die Stammfunktionen gebildet hat, lässt man diese gegen den Grenzwert (meistens 0 oder +∞) laufen lim f(x) = lim [F(z) — F(a)] Z→∞ ● ● ● Beispiel: Berechnen Sie die Fläche von xa = 2 bis xp = ∞ der Funktion f(x) = ● 0.5 04 O 0.3 0.2 2 olim = lim -3-(-3)]²=1 200 2x² 1.4.5 Rotationsvolumen Synonym: Integral und Rauminhalt; Rotationskörper; Drehkörper; Rotationsintegral; Drehintegral Ziel: Man stellt sich vor, dass eine Funktion sich um die x-Achse dreht und so ein Volumen entsteht, dessen Volumen man berechnen kann Herleitung: O O -0.1 Berechnung: Da ein Kreisinhalt sich mittels A = ² berechnen lässt, setzt man für r den Flächeninhalt an der jeweiligen Stelle ein. So berechnet sich das Volumen aus allen unendlich dünnen Kreisinhalten = π f(f(x))² dx V = T Wichtig bei Rotationskörpern eines partiellen Integrals: V nf(f(x) = g(x))² dx, sondern V = π ((f(x))² – (g(x))²) dx T Beispiel: Bestimmen Sie das Volumen V der Funktion f(x) = √√x + 1 von x = -1 bis x = 2 -0.5 1.5 0 0.5 9 1.5 O 。 V = π£²₁(√x + 1)² dx = 12n ≈ 37,70 10 2 2.5