Integralrechnung

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beide Teile separat voneinander ab der Nullstelle berechnen) O O O O f(x) dx = [F₂(x) - Fa (x)] a Sc* f(x) dx = c * C* c* f f(x) dx f(f(x) + g(x)) dx = f f(x) dx + g(x) dx O Beispiel: O √₂²⁰ 3x dx = [³2x² - ²x²] ₂0 = 144 -30 -25 -20 -15 -10 o 1, 19 dx = [19 * x − 19 * x]º19 = −361 → 361 -19 -18 -17 -15 -13 -12 -9 10 Taschenrechner: Home → 2nd +5 → B: Analysis → 2: (integriere → f(f(x), x, a, b) 1.4.3 Integral zwischen zwei Funktionen ● ● ● ● ● Synonyme: Integral zwischen zwei Graphen; Zwischenintegral Ziel: Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen ermitteln ● Herleitung: O Wenn man den Flächeninhalt berechnen soll, den zwei Flächen umschließen, muss man die Schnittstellen berechnen und dann die Stammfunktion Fo (x) von der unteren Stammfunktion Fu(x) von den Grenzen an abziehen of fo(x) dx - So fu (x) dx = [ F₁ (b) — F₁(a) – F₁(b) — F₁(a)] O Sfo(x) dx - S fu(x) dx = f(f(x) – g(x)) dx Beispiel: Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion f(x) = 3 und f(x) = x² einschließen: -2 O O 1.4.4 Uneigentliche Integrale -1.5 O O -0.5 0.5 Berechnung der Schnittpunkte: fo fu → 3 = x² →x₁,2 = ±√3 Einsetzen in die Formel: A = √3 dx - ³x² dx = 4 * √3 Synonyme: Unbegrenzte Flächen; Uneigentliche Integration Ziel: Bei der Untersuchung von unbegrenzten Flächen auf einen Flächeninhalt untersucht man Integrale mit einer variablen Grenze und einer festen Grenze auf einen Grenzwert Berechnung: O Ist eine Funktion f eine Asymptote, so setzt man die obere oder untere (je nachdem was berechnet werden soll) Grenze z in das Integral ein und benutzt den Limes Wenn man die Stammfunktionen gebildet hat, lässt man diese gegen den Grenzwert (meistens 0 oder +∞) laufen lim f(x) = lim [F(z) — F(a)] Z→∞ ● ● ● Beispiel: Berechnen Sie die Fläche von xa = 2 bis xp = ∞ der Funktion f(x) = ● 0.5 04 O 0.3 0.2 2 olim = lim -3-(-3)]²=1 200 2x² 1.4.5 Rotationsvolumen Synonym: Integral und Rauminhalt; Rotationskörper; Drehkörper; Rotationsintegral; Drehintegral Ziel: Man stellt sich vor, dass eine Funktion sich um die x-Achse dreht und so ein Volumen entsteht, dessen Volumen man berechnen kann Herleitung: O O -0.1 Berechnung: Da ein Kreisinhalt sich mittels A = ² berechnen lässt, setzt man für r den Flächeninhalt an der jeweiligen Stelle ein. So berechnet sich das Volumen aus allen unendlich dünnen Kreisinhalten = π f(f(x))² dx V = T Wichtig bei Rotationskörpern eines partiellen Integrals: V nf(f(x) = g(x))² dx, sondern V = π ((f(x))² – (g(x))²) dx T Beispiel: Bestimmen Sie das Volumen V der Funktion f(x) = √√x + 1 von x = -1 bis x = 2 -0.5 1.5 0 0.5 9 1.5 O 。 V = π£²₁(√x + 1)² dx = 12n ≈ 37,70 10 2 2.5