Schnittpunkte und Integrale einfach erklärt: Dein Rechner und Aufgaben

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arina

11.1.2021

Mathe

Integralrechnung

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Spezielle integrale

Stammfunktion wurzel x

Schnittpunkte und Integrale einfach erklärt: Dein Rechner und Aufgaben

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Die Bestimmung der Schnittstellen von Funktionsgraphen und die Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Integralrechnung sind zentrale Themen dieses Dokuments. Es wird erklärt, wie man Nullstellen bestimmt, Teilintervalle festlegt und Flächen unter Graphen berechnet. Besonderes Augenmerk liegt auf der Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen, sowohl mit als auch ohne vorgegebenes Intervall. Die Bildung von Stammfunktionen und die Anwendung der Integralrechnung werden detailliert erläutert.

• Das Dokument bietet eine umfassende Anleitung zur Integralrechnung und Flächenberechnung.
• Es werden verschiedene Szenarien behandelt, einschließlich der Berechnung von Flächen zwischen mehreren Schnittstellen.
• Praktische Beispiele und Formeln unterstützen das Verständnis der theoretischen Konzepte.
• Die Erklärungen sind schrittweise aufgebaut und eignen sich gut für Studenten, die diese Themen lernen.

...

11.1.2021

2662

Allgemeines Vorgehen
Bsp: f(x) = x² - 4x
Integral rechnung
(1) Nullstellen bestimmen.
• fid=0
*²(x²²-4)=0
x=O
oder
-x₁=--2
X₂ O
¹*3=2
x²-4=0

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Stammfunktionen und spezielle Integrale

Die Bildung von Stammfunktionen ist ein zentraler Aspekt der Integralrechnung. Hier sind einige wichtige Regeln und Beispiele:

Allgemeine Regel:

Hochzahl + 1 = neue Hochzahl
Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs vor x

Beispiele für Stammfunktionen:

f $x$ = x → F $x$ = ½x²
f $x$ = x³ → F $x$ = ¼x⁴

Spezielle Fälle:

Wurzeln: f $x$ = √x = x^ $1/2$ → F $x$ = ⅔x^ $3/2$ f $x$ = ³√x = x^ $1/3$ → F $x$ = ¾x^ $4/3$
Brüche: ∫√x³dx = $⅔x^(3/2)$

Example: Für f $x$ = ³√ $2x³$ = $2x³$ ^ $1/3$ = 2^ $1/3$ · x ergibt sich die Stammfunktion F $x$ = ¾ · 2^ $1/3$ · x^ $4/3$ .

Highlight: Bei der Integration von Wurzelfunktionen ist es oft hilfreich, diese zunächst als Potenzfunktionen mit Bruchexponenten darzustellen.

Die Berechnung von bestimmten Integralen erfolgt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:

∫ $a,b$ f $x$ dx = F $b$ - F $a$

Dabei ist F $x$ eine beliebige Stammfunktion von f $x$ .

Definition: Ein bestimmtes Integral ∫ $a,b$ f $x$ dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht der Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an diesen Grenzen.

Vocabulary: Integralrechner - Ein Hilfsmittel zur automatischen Berechnung von Integralen, das oft online verfügbar ist.

Die korrekte Anwendung dieser Regeln und das Verständnis der verschiedenen Integraltypen sind entscheidend für die erfolgreiche Lösung von Aufgaben in der Integralrechnung.

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Spezielle Integrale und Stammfunktionen

Dieses Kapitel behandelt spezielle Fälle der Integralrechnung, insbesondere Wurzeln und Brüche:

Für Wurzeln gilt:

f $x$ = √x² = x½
F $x$ = ⅔x³/²

Für Brüche:

∫√x³dx = $⅔x³/²$

Definition: Die Stammfunktion F einer Funktion f ist eine Funktion, deren Ableitung F' der Funktion f entspricht.

Das unbestimmte Integral ∫f $x$ dx einer Funktion f ist die Menge aller Stammfunktionen von f, die sich nur durch einen konstanten Summanden c unterscheiden.

Highlight: Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf $x$ dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht nach dem Hauptsatz der Integralrechnung der Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen einer beliebigen Stammfunktion von f.

Diese Konzepte sind fundamental für die Integralrechnung und die Berechnung von Flächen unter Kurven.

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•

11. Jan. 2021

•

3 Seiten

Schnittpunkte und Integrale einfach erklärt: Dein Rechner und Aufgaben

arina

@arina

Die Bestimmung der Schnittstellen von Funktionsgraphen und die Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Integralrechnungsind zentrale Themen dieses Dokuments. Es wird erklärt, wie man Nullstellen bestimmt, Teilintervalle festlegt und Flächen unter Graphen berechnet. Besonderes Augenmerk liegt auf der Berechnung von Flächen zwischen zwei... Mehr anzeigen

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Stammfunktionen und spezielle Integrale

Die Bildung von Stammfunktionen ist ein zentraler Aspekt der Integralrechnung. Hier sind einige wichtige Regeln und Beispiele:

Allgemeine Regel:

Hochzahl + 1 = neue Hochzahl
Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs vor x

Beispiele für Stammfunktionen:

f $x$ = x → F $x$ = ½x²
f $x$ = x³ → F $x$ = ¼x⁴

Spezielle Fälle:

Wurzeln: f $x$ = √x = x^ $1/2$ → F $x$ = ⅔x^ $3/2$ f $x$ = ³√x = x^ $1/3$ → F $x$ = ¾x^ $4/3$
Brüche: ∫√x³dx = $⅔x^(3/2)$

Example: Für f $x$ = ³√ $2x³$ = $2x³$ ^ $1/3$ = 2^ $1/3$ · x ergibt sich die Stammfunktion F $x$ = ¾ · 2^ $1/3$ · x^ $4/3$ .

Highlight: Bei der Integration von Wurzelfunktionen ist es oft hilfreich, diese zunächst als Potenzfunktionen mit Bruchexponenten darzustellen.

Die Berechnung von bestimmten Integralen erfolgt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:

∫ $a,b$ f $x$ dx = F $b$ - F $a$

Dabei ist F $x$ eine beliebige Stammfunktion von f $x$ .

Definition: Ein bestimmtes Integral ∫ $a,b$ f $x$ dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht der Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an diesen Grenzen.

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Spezielle Integrale und Stammfunktionen

Dieses Kapitel behandelt spezielle Fälle der Integralrechnung, insbesondere Wurzeln und Brüche:

Für Wurzeln gilt:

f $x$ = √x² = x½
F $x$ = ⅔x³/²

Für Brüche:

∫√x³dx = $⅔x³/²$

Definition: Die Stammfunktion F einer Funktion f ist eine Funktion, deren Ableitung F' der Funktion f entspricht.

Das unbestimmte Integral ∫f $x$ dx einer Funktion f ist die Menge aller Stammfunktionen von f, die sich nur durch einen konstanten Summanden c unterscheiden.

Highlight: Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf $x$ dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht nach dem Hauptsatz der Integralrechnung der Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen einer beliebigen Stammfunktion von f.

Diese Konzepte sind fundamental für die Integralrechnung und die Berechnung von Flächen unter Kurven.

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Allgemeines Vorgehen bei der Integralrechnung

Die Integralrechnung folgt einem strukturierten Ansatz, der mehrere Schritte umfasst. Am Beispiel der Funktion f $x$ = x² - 4x wird das Vorgehen erläutert:

Nullstellen bestimmen: Die Nullstellen der Funktion werden durch Lösen der Gleichung f $x$ = 0 ermittelt. In diesem Fall sind die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 4.
Teilintervalle festlegen: Basierend auf den Nullstellen werden Teilintervalle definiert, hier $-2, 0$ und $0, 2$ .
Stammfunktion bilden: Die Stammfunktion F $x$ wird durch Integration gebildet. Dabei gilt die Regel: Hochzahl + 1 = neue Hochzahl, und die Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs. Für unser Beispiel ergibt sich F $x$ = ⅓x³ - 2x².
Integrieren: Das bestimmte Integral wird für jedes Teilintervall berechnet, um die Teilflächen zu ermitteln.
Teilflächen addieren: Die berechneten Teilflächen werden zur Gesamtfläche summiert.

Highlight: Bei der Bildung der Stammfunktion ist es wichtig, die Integrationsregeln korrekt anzuwenden, insbesondere die Erhöhung des Exponenten und die Anpassung des Koeffizienten.

Example: Für das Integral von x² wird die Stammfunktion ⅓x³ gebildet, da der Exponent um 1 erhöht und der Koeffizient zu 1/3 wird.

Für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen gibt es zwei Hauptszenarien:

a) Mit Angabe eines Intervalls $a,b$ :

Überprüfen, ob sich die Graphen im Intervall schneiden
Aufteilen in Teilintervalle, falls nötig
Berechnung der Flächen in den Teilintervallen

b) Ohne Angabe eines Intervalls:

Bestimmung der Schnittstellen der Graphen
Bildung der Funktion h $x$ = f $x$ - g $x$
Berechnung des Integrals |∫h $x$ dx| über das relevante Intervall

Vocabulary: Stammfunktion - Eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ergibt.

Definition: Das unbestimmte Integral ∫f $x$ dx ist die Menge aller Stammfunktionen von f $x$ , die sich nur durch eine Konstante c unterscheiden.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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