Allgemeines Vorgehen bei der Integralrechnung

Die Integralrechnung folgt einem strukturierten Ansatz, der mehrere Schritte umfasst. Am Beispiel der Funktion f(x) = x² - 4x wird das Vorgehen erläutert:

1. Nullstellen bestimmen: Die Nullstellen der Funktion werden durch Lösen der Gleichung f(x) = 0 ermittelt. In diesem Fall sind die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 4.

2. Teilintervalle festlegen: Basierend auf den Nullstellen werden Teilintervalle definiert, hier [-2, 0] und [0, 2].

3. Stammfunktion bilden: Die Stammfunktion F(x) wird durch Integration gebildet. Dabei gilt die Regel: Hochzahl + 1 = neue Hochzahl, und die Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs. Für unser Beispiel ergibt sich F(x) = ⅓x³ - 2x².

4. Integrieren: Das bestimmte Integral wird für jedes Teilintervall berechnet, um die Teilflächen zu ermitteln.

5. Teilflächen addieren: Die berechneten Teilflächen werden zur Gesamtfläche summiert.

Highlight: Bei der Bildung der Stammfunktion ist es wichtig, die Integrationsregeln korrekt anzuwenden, insbesondere die Erhöhung des Exponenten und die Anpassung des Koeffizienten.

Example: Für das Integral von x² wird die Stammfunktion ⅓x³ gebildet, da der Exponent um 1 erhöht und der Koeffizient zu 1/3 wird.

Für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen gibt es zwei Hauptszenarien:

a) Mit Angabe eines Intervalls [a,b]:

• Überprüfen, ob sich die Graphen im Intervall schneiden
• Aufteilen in Teilintervalle, falls nötig
• Berechnung der Flächen in den Teilintervallen

b) Ohne Angabe eines Intervalls:

• Bestimmung der Schnittstellen der Graphen
• Bildung der Funktion h(x) = f(x) - g(x)
• Berechnung des Integrals |∫h(x)dx| über das relevante Intervall

Vocabulary: Stammfunktion - Eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ergibt.

Definition: Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen von f(x), die sich nur durch eine Konstante c unterscheiden.