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Aktualisiert Mar 31, 2026
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Schnittpunkte und Integrale einfach erklärt: Dein Rechner und Aufgaben
arina
@arina
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Stammfunktionen und spezielle Integrale
Die Bildung von Stammfunktionen ist ein zentraler Aspekt der Integralrechnung. Hier sind einige wichtige Regeln und Beispiele:
Allgemeine Regel:
- Hochzahl + 1 = neue Hochzahl
- Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs vor x
Beispiele für Stammfunktionen:
- f(x) = x → F(x) = ½x²
- f(x) = x³ → F(x) = ¼x⁴
Spezielle Fälle:
-
Wurzeln:
- f(x) = √x = x^(1/2) → F(x) = ⅔x^(3/2)
- f(x) = ³√x = x^(1/3) → F(x) = ¾x^(4/3)
-
Brüche:
- ∫√x³dx =
Example: Für f(x) = ³√(2x³) = (2x³)^(1/3) = 2^(1/3) · x ergibt sich die Stammfunktion F(x) = ¾ · 2^(1/3) · x^(4/3).
Highlight: Bei der Integration von Wurzelfunktionen ist es oft hilfreich, diese zunächst als Potenzfunktionen mit Bruchexponenten darzustellen.
Die Berechnung von bestimmten Integralen erfolgt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:
∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)
Dabei ist F(x) eine beliebige Stammfunktion von f(x).
Definition: Ein bestimmtes Integral ∫[a,b] f(x)dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht der Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an diesen Grenzen.
Vocabulary: Integralrechner - Ein Hilfsmittel zur automatischen Berechnung von Integralen, das oft online verfügbar ist.
Die korrekte Anwendung dieser Regeln und das Verständnis der verschiedenen Integraltypen sind entscheidend für die erfolgreiche Lösung von Aufgaben in der Integralrechnung.
Spezielle Integrale und Stammfunktionen
Dieses Kapitel behandelt spezielle Fälle der Integralrechnung, insbesondere Wurzeln und Brüche:
Für Wurzeln gilt:
- f(x) = √x² = x½
- F(x) = ⅔x³/²
Für Brüche:
- ∫√x³dx =
Definition: Die Stammfunktion F einer Funktion f ist eine Funktion, deren Ableitung F' der Funktion f entspricht.
Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx einer Funktion f ist die Menge aller Stammfunktionen von f, die sich nur durch einen konstanten Summanden c unterscheiden.
Highlight: Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf(x)dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht nach dem Hauptsatz der Integralrechnung der Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen einer beliebigen Stammfunktion von f.
Diese Konzepte sind fundamental für die Integralrechnung und die Berechnung von Flächen unter Kurven.
Allgemeines Vorgehen bei der Integralrechnung
Die Integralrechnung folgt einem strukturierten Ansatz, der mehrere Schritte umfasst. Am Beispiel der Funktion f(x) = x² - 4x wird das Vorgehen erläutert:
-
Nullstellen bestimmen: Die Nullstellen der Funktion werden durch Lösen der Gleichung f(x) = 0 ermittelt. In diesem Fall sind die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 4.
-
Teilintervalle festlegen: Basierend auf den Nullstellen werden Teilintervalle definiert, hier [-2, 0] und [0, 2].
-
Stammfunktion bilden: Die Stammfunktion F(x) wird durch Integration gebildet. Dabei gilt die Regel: Hochzahl + 1 = neue Hochzahl, und die Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs. Für unser Beispiel ergibt sich F(x) = ⅓x³ - 2x².
-
Integrieren: Das bestimmte Integral wird für jedes Teilintervall berechnet, um die Teilflächen zu ermitteln.
-
Teilflächen addieren: Die berechneten Teilflächen werden zur Gesamtfläche summiert.
Highlight: Bei der Bildung der Stammfunktion ist es wichtig, die Integrationsregeln korrekt anzuwenden, insbesondere die Erhöhung des Exponenten und die Anpassung des Koeffizienten.
Example: Für das Integral von x² wird die Stammfunktion ⅓x³ gebildet, da der Exponent um 1 erhöht und der Koeffizient zu 1/3 wird.
Für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen gibt es zwei Hauptszenarien:
a) Mit Angabe eines Intervalls [a,b]:
- Überprüfen, ob sich die Graphen im Intervall schneiden
- Aufteilen in Teilintervalle, falls nötig
- Berechnung der Flächen in den Teilintervallen
b) Ohne Angabe eines Intervalls:
- Bestimmung der Schnittstellen der Graphen
- Bildung der Funktion h(x) = f(x) - g(x)
- Berechnung des Integrals |∫h(x)dx| über das relevante Intervall
Vocabulary: Stammfunktion - Eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ergibt.
Definition: Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen von f(x), die sich nur durch eine Konstante c unterscheiden.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Schnittpunkte und Integrale einfach erklärt: Dein Rechner und Aufgaben
arina
@arina
Die Bestimmung der Schnittstellen von Funktionsgraphen und die Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Integralrechnungsind zentrale Themen dieses Dokuments. Es wird erklärt, wie man Nullstellen bestimmt, Teilintervalle festlegt und Flächen unter Graphen berechnet. Besonderes Augenmerk liegt auf der Berechnung von Flächen zwischen zwei... Mehr anzeigen
Stammfunktionen und spezielle Integrale
Die Bildung von Stammfunktionen ist ein zentraler Aspekt der Integralrechnung. Hier sind einige wichtige Regeln und Beispiele:
Allgemeine Regel:
- Hochzahl + 1 = neue Hochzahl
- Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs vor x
Beispiele für Stammfunktionen:
- f(x) = x → F(x) = ½x²
- f(x) = x³ → F(x) = ¼x⁴
Spezielle Fälle:
-
Wurzeln:
- f(x) = √x = x^(1/2) → F(x) = ⅔x^(3/2)
- f(x) = ³√x = x^(1/3) → F(x) = ¾x^(4/3)
-
Brüche:
- ∫√x³dx =
Example: Für f(x) = ³√(2x³) = (2x³)^(1/3) = 2^(1/3) · x ergibt sich die Stammfunktion F(x) = ¾ · 2^(1/3) · x^(4/3).
Highlight: Bei der Integration von Wurzelfunktionen ist es oft hilfreich, diese zunächst als Potenzfunktionen mit Bruchexponenten darzustellen.
Die Berechnung von bestimmten Integralen erfolgt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:
∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)
Dabei ist F(x) eine beliebige Stammfunktion von f(x).
Definition: Ein bestimmtes Integral ∫[a,b] f(x)dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht der Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an diesen Grenzen.
Vocabulary: Integralrechner - Ein Hilfsmittel zur automatischen Berechnung von Integralen, das oft online verfügbar ist.
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Spezielle Integrale und Stammfunktionen
Dieses Kapitel behandelt spezielle Fälle der Integralrechnung, insbesondere Wurzeln und Brüche:
Für Wurzeln gilt:
- f(x) = √x² = x½
- F(x) = ⅔x³/²
Für Brüche:
- ∫√x³dx =
Definition: Die Stammfunktion F einer Funktion f ist eine Funktion, deren Ableitung F' der Funktion f entspricht.
Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx einer Funktion f ist die Menge aller Stammfunktionen von f, die sich nur durch einen konstanten Summanden c unterscheiden.
Highlight: Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf(x)dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht nach dem Hauptsatz der Integralrechnung der Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen einer beliebigen Stammfunktion von f.
Diese Konzepte sind fundamental für die Integralrechnung und die Berechnung von Flächen unter Kurven.
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Allgemeines Vorgehen bei der Integralrechnung
Die Integralrechnung folgt einem strukturierten Ansatz, der mehrere Schritte umfasst. Am Beispiel der Funktion f(x) = x² - 4x wird das Vorgehen erläutert:
-
Nullstellen bestimmen: Die Nullstellen der Funktion werden durch Lösen der Gleichung f(x) = 0 ermittelt. In diesem Fall sind die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 4.
-
Teilintervalle festlegen: Basierend auf den Nullstellen werden Teilintervalle definiert, hier [-2, 0] und [0, 2].
-
Stammfunktion bilden: Die Stammfunktion F(x) wird durch Integration gebildet. Dabei gilt die Regel: Hochzahl + 1 = neue Hochzahl, und die Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs. Für unser Beispiel ergibt sich F(x) = ⅓x³ - 2x².
-
Integrieren: Das bestimmte Integral wird für jedes Teilintervall berechnet, um die Teilflächen zu ermitteln.
-
Teilflächen addieren: Die berechneten Teilflächen werden zur Gesamtfläche summiert.
Highlight: Bei der Bildung der Stammfunktion ist es wichtig, die Integrationsregeln korrekt anzuwenden, insbesondere die Erhöhung des Exponenten und die Anpassung des Koeffizienten.
Example: Für das Integral von x² wird die Stammfunktion ⅓x³ gebildet, da der Exponent um 1 erhöht und der Koeffizient zu 1/3 wird.
Für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen gibt es zwei Hauptszenarien:
a) Mit Angabe eines Intervalls [a,b]:
- Überprüfen, ob sich die Graphen im Intervall schneiden
- Aufteilen in Teilintervalle, falls nötig
- Berechnung der Flächen in den Teilintervallen
b) Ohne Angabe eines Intervalls:
- Bestimmung der Schnittstellen der Graphen
- Bildung der Funktion h(x) = f(x) - g(x)
- Berechnung des Integrals |∫h(x)dx| über das relevante Intervall
Vocabulary: Stammfunktion - Eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ergibt.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Xander S
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Elisha
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Paul T
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