Stammfunktionen und spezielle Integrale
Die Bildung von Stammfunktionen ist ein zentraler Aspekt der Integralrechnung. Hier sind einige wichtige Regeln und Beispiele:
Allgemeine Regel:
- Hochzahl + 1 = neue Hochzahl
- Zahl vor x wird zum Nenner eines Bruchs vor x
Beispiele für Stammfunktionen:
- f(x) = x → F(x) = ½x²
- f(x) = x³ → F(x) = ¼x⁴
Spezielle Fälle:
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Wurzeln:
- f(x) = √x = x^(1/2) → F(x) = ⅔x^(3/2)
- f(x) = ³√x = x^(1/3) → F(x) = ¾x^(4/3)
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Brüche:
- ∫√x³dx = [⅔x^(3/2)]
Example: Für f(x) = ³√(2x³) = (2x³)^(1/3) = 2^(1/3) · x ergibt sich die Stammfunktion F(x) = ¾ · 2^(1/3) · x^(4/3).
Highlight: Bei der Integration von Wurzelfunktionen ist es oft hilfreich, diese zunächst als Potenzfunktionen mit Bruchexponenten darzustellen.
Die Berechnung von bestimmten Integralen erfolgt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:
∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)
Dabei ist F(x) eine beliebige Stammfunktion von f(x).
Definition: Ein bestimmtes Integral ∫[a,b] f(x)dx ist durch zwei Grenzen a und b beschrieben und entspricht der Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an diesen Grenzen.
Vocabulary: Integralrechner - Ein Hilfsmittel zur automatischen Berechnung von Integralen, das oft online verfügbar ist.
Die korrekte Anwendung dieser Regeln und das Verständnis der verschiedenen Integraltypen sind entscheidend für die erfolgreiche Lösung von Aufgaben in der Integralrechnung.
