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Krümmungsverhalten einer Funktion
30.4.2022
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Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion * тр WP Sp HP WP In den Bereichen, in denen mmt ist, gilt: f"(x) < 0 @ : TP = Tiefpunkt Ⓒ SP = Sattelpunkt HP / Hochpunkt @ WP & Wendepunkt der Graph rechtsgekrü- In den Bereichen in denen der Graph links ge- krümmt ist, gilt f"(x) > 0 Ⓒ An den Punkten, an denen der Graph keine Krümmung hat, gilt: f"(x) = 0 L) Diese Punkte nennt man Wendepunkte (WP) Die zweite Ableitung (f"(x)) Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung 3 Bsp: f(x) = 4x4 - 3x³ + 7x² = 5x + 3 16 x ³ - 9x² + 14x-5 48₁² - 18x + 14 f ²(x) = f" (x) = Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten mit f"(x) notwendige Bedingung: f'(x) = 0 Muss hingeschrieben werden -> fix) bilden -> Nullstelle von f'(x) berechnen hinreichende Bedingung: f'(t) = 0 und f"(x) = 0 -> f"(x) bilden Bsp.: f(x) = 2x²2x notw. Bed. : f '(x) = 0 einsetzen in f"(x) einsetzer in f(x) einsetzen in f"(x) → Nullstellen von f '(x) in f"(x) einsetzen -> Wenn f"(x) > 0 => Tiefpunkt Ⓒ -> Wenn f" (x) < 0 =) Hoch punkt Wenn f" (x) = 0 => Sattelpunkt -> = einsellen in fixl 3 f'(x)= 8x³-2x 8x3-2x = 0 x 18x²-2) = 0 x₁ = 1 = 0 oder 8x²-2=0 für x₁ = 0 y-Wert: HP (010) für x₂ = 11/1/2 슬 8x X TPỆT-8) ? 2 hinr. Bed.: f'(x) = 0 und F"(x)=0 f"(x) = 24x² - 2 X₂ X₂ 3 = 2 = = ON MUNN TIN = f" (0) = 24-0²-2 f(0) = 2.040²...
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Alternativer Bildtext:
= 0 = +2 8 √ 2 <0-> HP f" (4) = 24. (4) ² - 2 = 24-4-2 = :470-TP - Wert: f ( 41 = 2 · (4)" - (₁)² = 2.16- € = 36-41 = - 1² einsetzen in f"(x) einselzen in f(x) für x3 = - 1 y- Wert TP(-41-8) Mit GTR : - . f" (- // ) = 24⋅ ( - 12 ) ² - 2 = 4₁ >0 - TP f(₁/²) = 2 · (- // ) " - (-²)² = - 3 - Definieren - -) Skizzerter Graph funktion definieren notw. Bed.: 1. Ableitung bilden. Definieren poly Roots von der 1. Ableitung Nullstellen aufschreiben hinr. Bed. 2. Ableitung bildung f"(von Nullstellen) y- wert bestimmen (f ( von Nullstelle)) HP/TP aufschreiben.