Lineare Gleichungssysteme: Lösungsszenarien
Die fünfte Seite befasst sich mit den verschiedenen Lösungsszenarien für lineare Gleichungssysteme und ergänzt damit die vorherige Erklärung des Gauß-Algorithmus. Sie präsentiert drei mögliche Fälle:
- Eine eindeutige Lösung
- Keine Lösung
- Unendlich viele Lösungen
Definition: Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die simultan gelöst werden sollen.
Für den Fall einer eindeutigen Lösung wird ein Beispiel in Matrixform gezeigt:
1 0 0 0 | w
0 1 0 0 | x
0 0 1 0 | y
0 0 0 1 | z
Hier entspricht jede Variable direkt einem Wert: a = w, b = x, c = y, d = z.
Example: In diesem Fall wäre die Lösung L = {(w, x, y, z)}, wobei w, x, y und z die spezifischen Werte für die Variablen a, b, c und d repräsentieren.
Für den Fall ohne Lösung wird eine Matrix präsentiert, die zu einem Widerspruch führt, symbolisiert durch eine Zeile wie:
0 0 0 0 | 1
Dies bedeutet, dass 0 = 1 sein müsste, was unmöglich ist. In diesem Fall ist die Lösungsmenge leer: L = { }.
Highlight: Ein lineares Gleichungssystem ohne Lösung tritt auf, wenn die Gleichungen widersprüchlich sind und keine Wertekombination alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen kann.
Für den Fall unendlich vieler Lösungen wird eine Matrix gezeigt, bei der mindestens eine Variable frei wählbar ist, während die anderen davon abhängen. Dies wird durch eine Zeile wie folgt dargestellt:
0 1 1 0 | 3
Hier könnte x₂ = x₂ gesetzt werden, während sich x₃ daraus ergibt.
Vocabulary: Eine freie Variable in einem linearen Gleichungssystem ist eine Variable, deren Wert frei gewählt werden kann, wobei sich die Werte der anderen Variablen daraus ergeben.
Diese Übersicht über die verschiedenen Lösungsszenarien vervollständigt das Verständnis linearer Gleichungssysteme und des Gauß-Algorithmus. Sie zeigt, dass die Analyse eines Gleichungssystems nicht nur zur Bestimmung spezifischer Werte dient, sondern auch wichtige Informationen über die Natur des Systems selbst liefert.
