Deutsch

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Kurvendiskussion

Definitionsbereich
Wertebereich
Stetigkeit
Nullstellen-Berechnung
Symmetrie
Grenzwerte
Schnittpunkte mit Achsen
Polstellen
Asymptoten

Zusammenfassung

Laura

Deutschland

Gymnasium

Realschule

Mathe

Funktionen Eindeutige Abbildung einer Menge x out einer Menge y. Klassen von Funktionen rationale Funktionen nichtrationale Functioner genzrationale getrochenationale 2.B. Funktionen Funktionen Wurzelfunletioner, / 2B. lineare, Trigonometrische Funlitionen, quadratische, echt gebrochen whecht gebrochen (oganthmustunctionen Potenzfunkctionen Eac Ne za Ne 2.B.y= xyra x6 2.B. y- x3+2 +A Eigenschafter Definitionsbereich Einschrankung bei: getrochenicationales Flet : Nenner Wurzelflet : Radikant (1) 0 Cogarithmusfill y = logalo a Basis ib... Numerus >O Tangens fet Argument darf nie (2K+1) 2 sein mit k E 2 fur alle Ganzrationalen: XE HR Nullstellen: Funktionswert , wird Null gesetat f(xn)-0 pq-Formel - P Ausklammern Polynomdivision Substitution x2 izz ganzrationale Funktionen: f(x) =0 gebrochenicationale Funktionen: f(x) = v G(x) (x) u(x.).0 a V(x)+0 Bsp: x+3 x2-9 Wurzelfunktioner f(xp)-0 sanitet - O Quddieren+ x Probe machen xpr 3 Nenner prifer f(r) - In lax tb) axo+ b - 1 32 9 nach XN auflosen Wenhe f(x) -ax mit a>0 and ac R besitten keine Nellstellen Substitution: f(x) x" -17x2 +72 0 22 - -172 +72 21,25 17 2 1 1(12)2 -72 X 2 =2 Zn - g ) Z2 a 8 g = x2 ir 8- x 2 X1 a 3 x3' - 18 x2 s -3 xu = 18 Polynomdivision 0 = x2 -28 - 8 xnn - -2 0 - (x +2) ( ?) (x x 2 - -2x-8) : (x+2) = X- 4 - (x2 +2x) -4x 8 - (4x -8) 0 Polstellen put bei gebrochen rationalen Funktionen fls = v(s) u(x) V (xp)=0 and u(xp)+ Bei einer Polstelle existient eine senkrechte Asymptote Asymptoten: Geraden, denen sich eine Function annohertionne sie je Zu erreichen. senkrechte Asymptoten Polstellen waag. eigentlich Genzwerte schrage (I Polynomolivision u(x) Lücken: nur bei gebrochen rationalen Functionen f(x). - V(x) v(xc) =0 wh 4(xc) =0 I f(x) n x2 - -4x+4 x2 -4 1 - 2 -1 2 2-XL 1 xp I Beheben V. Lucken: F(x)-x2-4x74 x-22-4 - = x2 (X-2) (x2) (x +2) x-2 = xt 2 XN=2 XL xp--2 Schnittunkte mit den Actsen D mit Ordipatenochse: Sy (Oly) mit Abstissenachse: Sx(x10) fur f(x)2 x-2 x+2 Sx(-210) Sy(O1-1) Verhalten gebrochenrationaler Funktionen fur X xp mogliche Falle f(x) = 1/2 -x+2 f(x)= x-2 1 too i + 00 1 2 2 I 1-00 -00 1 -1 flx) = f(x) = 1x-21-2 +0,5 y Y I I I 2 X 2 x verhalten ganzrationaler Funktionen fur x + 8 : betrachtet wird die groBite Potenz von X und des Keffizient davor Bsp: f(x) = g(x) u - -3x 3 + 2 h(x) = 4x2 k(x)= - -4x2 + lim f(x)=+ lim 9 (x)-==00 = lim lim k(x) = x->-100 x->II 00 Verhalten getrochenrationater Functioner fur X ->I 00; a) Potenz Zahler - Potenz Nenner Lim f(8)-0 x->1-00 x-Achse ist waagerechte Asymptote b) Potenz Zahler=Potenz = Nenner lim f(x) =C Y=C ist wangerechte Asymptote (c E R) x-7-00 c) Potenz Zahler > Potenz Nenner lim f(x) = 8 Fallunterscheidung ist erforderlich divergent x->100 zuruckfuhren auf Nullfolgen (Ausklammen der bocksten Potenz des Nenners) d) Sonderfall: 1st der Grad des zahlers um eins groBer als der Grad des Nennes dann gibt es eine schiefe Asymptote, die durch Polynomdivision ermittelt wird. Beispiele: 7 1 a) lim 3x- 25 =0 b lim 1x2-4 = 1 x-7I-00 1-x2 - - o 25 3 - 1 1 walag. Asymptote Y=0 c) lim x2 +Bx-10 x-2 7 o x(x +3- - ex x 5 x-1100 lim x( 1-3) 'o 3 lim x+3 ==00 Symmetre. Symmetric zut x - Achse: Symmetrie zum Kcordinatenusspring (achsensymmetrish) punldsymmetrisch (W)=-X+2 f(w-x3 Es gilt: f(-x)=f() Bsp: f(x) = x4+2x2 12x Es gilt: flx)-X - 1 Bop: ((x) a x5 +4x3 f(x) = 1/x 1 Symmerrienachueis: 1. geg: 2 2 f(w)-23 vermutung gerade Flet. vermutung ungerade Flet. f(x) - f(x) f(x) - - f(x) A. f(-x) bilden 1. f(x)-5633 - -x+1 = 2 +2 = x 1 FEA-LAX 2. vergleichen f(-x)-f(x) & getade Flet. 3. f(x)* -f(x) Wertebereich: (Menge aller Funktonswere of Man muss Minima and Maxima beachten and den werteberich anpassen! AuBer dem Verhalten an Extrempunkten hat auch das Vorhandenson von Pollstellen Enfluss Stetiglest von Funktionen Bedingungeo: Eine Funktion ist stetig an des Stele xo, were gift: A. Die Funktion ist an der Stell Xo definient (xoc DB) 2. lim f(x) existiest *** 3. him f(x)-f(x) - *-20 1st one der

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