Kurvendiskussion: Extrempunkte bestimmen und Monotonieverhalten analysieren
Die Kurvendiskussion Anleitung zur Bestimmung von Extrempunkten erfolgt systematisch in mehreren Schritten. Am Beispiel der Funktion fx = x⁵ - 2x² + 2 wird die vollständige Vorgehensweise demonstriert.
Definition: Das Monotonieverhalten beschreibt, ob ein Funktionsgraph steigt, fällt oder konstant verläuft. An Extrempunkten ändert sich dieses Verhalten, da sich dort die Steigung des Graphen verändert.
Der erste wesentliche Schritt bei der Kurvendiskussion Beispiel ist die Bildung der ersten und zweiten Ableitung. Die erste Ableitung f'x = 5x⁴ - 4x wird benötigt, um potenzielle Extremstellen zu finden. Die zweite Ableitung f''x = 20x³ - 4 dient der Klassifizierung der Extrempunkte. Diese systematische Vorgehensweise ist Teil jeder Kurvendiskussion Checkliste.
Zur Bestimmung der Extrempunkte werden zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung ermittelt notwendigeBedingung. In diesem Fall ergeben sich x₁ = 0 und x₂ = 0,93. Anschließend wird die hinreichende Bedingung geprüft, indem diese x-Werte in die zweite Ableitung eingesetzt werden. Bei x₁ ergibt sich f''0 = -4 < 0, was einen Hochpunkt kennzeichnet. Bei x₂ ist f''0,93 = 12,09 > 0, was einen Tiefpunkt anzeigt.