Kurvendiskussion

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Punktsymmetrie mehr, da 0 ist ein gerader Exponent ist! MERKE: Besitzt die Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten, so ist KEINE Symmetrie erkennbar! 3 (2) Wie kann man die Symmetrien rechnerisch nachweisen? Achsensymmetrie f(x) = x² 1. Schritt: Ansatz [f(x), g(x) f(x) = f(-x) 2. Schritt: Funktionsterme gegenüberstellen x² = (-x)² x² = x² g(x) = 0,5x42x² - 1 1. Schritt: Ansatz g(x) = g(-x) 2. Schritt: Funktionsterme gegenüberstellen 0,5x42x²1 = 0,5(-x)4 - 2(-x)² - 1 0,5x42x²1 = 0,5x42x² - 1 Punktsymmetrie f(x) = x³ 1. Schritt: Ansatz -f(x) = f(-x) fox), g(x) 2. Schritt: Funktionsterme gegenüberstellen -(x³) = (-x)³ -x³ = -x³ g(x) = 0,5x5 - 2x 1. Schritt: Ansatz -f(x) = f(-x) 2. Schritt: Funktionsterme gegenüberstellen -(0,5x52x) = 0,5(-x)52(-x) -0,5x5+2x = -0,5x5 + 2x Achtung! Das Minus vor dem x kann durch die multiplikative Verknüpfung mit dem Faktor 0,5 bzw. 2 auch vor den Faktor gezogen werden Ⓒ 4 3) Verhalten im Unendlichen (Limes) Frage: Was passiert mit dem Funktionsgraphen, wenn wir sehr kleine (-∞) oder sehr große x-Werte (0) einsetzen? Verhalten im positiv Unendlichen lim Vorsicht! Eine nicht- mathematische Erklärung! Beispiel: ,,Wir gehen auf der x-Achse nach rechts" → ,,Wir setzen für x eine sehr große Zahl ein" Beispiel: ⇒ "Wo geht der Graph hin? Nach oben oder nach unten?" f(x) = 0,5x³ 3x² + 2 Tfox -10 Wir setzen 10 ein: f(10) = 0,5 10³3 10² + 2 = 202 große positive Zahl Jetzt kommt Limes (lim) ins Spiel: lim f(x) .00++x Verhalten im negativ Unendlichen lim X-100 Vorsicht! Eine nicht- mathematische Erklärung! Wir setzen 100 ein: f(100) = 0,5 100³ - 3·10² +2 = 470002 → größere positive Zahl 10 is lim (0,5x³ 3x² + 2) = ∞o unendlich große positive Zahl x →+∞0 ,,Wir gehen auf der x-Achse nach links" → ,,Wir setzen für x eine sehr kleine Zahl ein" Wir setzen -10 ein: f(-10) = 0,5 (-10)³3 (-10)² + 2 = -798 → negative Zahl ➡ "Wo geht der Graph hin? Nach oben oder nach unten?" f(x) = 0,5x³ 3x² + 2 f(x) Wir setzen -100 ein: f(-100) = 0,5 (-100)³-3 (-100)² + 2 = -509 998 → größere negative Zahl Jetzt kommt Limes (lim) ins Spiel: lim f(x) = lim (0,5x³ 3x² + 2) X4-8 X→-00 = -00 ➜ unendlich große negative Zahl 5 Beispielaufgabe f(x) = x² + 2x + 1 Verhalten im positiv Unendlichen: Verhalten im negativ Unendlichen: -10 -S Irod 10 20 x →+∞0 lim f(x) = lim (-x² + 2x + 1) = -0⁰ lim f(x) = lim (-x² + 2x + 1) = -00 x → +∞ X118 So in der Klausur aufschreiben! 6 4) Achsenschnittpunkte Schnittpunkt mit der Ordinate (y-Achse) Ansatz: Beispiel: Nullstellen (Schnittpunkt mit Abszisse) Was sind Nullstellen? Ansatz: Beispiel: f(0) Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, muss man also für x einfach nur 0 einsetzen! Ⓒ [fox) f(0) = 0² - 4 f(0) = -4 Sy(01-4) Nullstellen sind Stellen, an denen der Funktionsgraph die x-Achse (Abszisse) schneidet. f(x) = 0 Troo f(x) = x² - 4 0=x²-4 4 = x² X1,2 = +2 * 1 +4 IV 7 Beispielaufgabe zur Berechnung von Nullstellen f(x) = x³ 4x² + 3x 1. Schritt: Ansatz 2. Schritt: Berechnung der Nullstellen HINWEIS: f(x) = 0 0 = x³ 4x² + 3x x ausklammern, da in jedem Term ein x vorkommt! 0 = x(x² - 4x + 3) f(x) XXX. ⇒ x₁ = 0 ⇒ 0 = x² - 4x + 3 X2,3 = - p = -4 und q = 3 X2,3 = - -4 ⇒ x₂ = 1 ⇒ x3 = 3 ± - q p-q-Formel Ⓒ - 3 Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird! (Satz vom Nullprodukt) Daraus ergeben sich die folgenden Schnittpunkte mit der Abszisse: Sx, (010) Sx₂ (110) Sx3 (310) Haben Funktionen ein Absolutglied (also eine Zahl ohne ein x), so kann das x nicht ausgeklammert werden. Ab ganzrationalen Funktionen dritten Grades mit Absolutglied darf der Taschenrechner eingesetzt werden (2nd -> CALC -> zero). 8 5) Extrempunkte und Monotonie Exkurs: Ableitungen Ableitungsregeln Potenzregel f(x) = x² f'(x) = n.xn-1 Konstante Summanden f(x) = g(x) + c f'(x) = g'(x) Faktorregel f(x) = a g(x) f'(x) = a g'(x) f(x) = x5 f'(x) = 5 x5-1=5.x4 Sinusfunktion f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) Extrempunkte graphisch erkennen Was ist ein Extrempunkt? f(x) = x¹ + 17 f'(x) = 4 x³ Summenregel f(x) = g(x) +h(x) f'(x) = g'(x) +h'(x) f(x) = 12.x³ f'(x) = 12.3 x² = 36x² Kosinusfunktion f(x) = cos(x) f'(x) = -sin (x) g(x) = x-3 f'(x) = -3.x-3-1 = -3.x 4 ,,Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg." Troo f(x) = x³ + x6 ,,Zwei Funktionen, die summiert werden, müssen f'(x) = 3.x² + 6 x5 getrennt voneinander abgeleitet werden." ,,Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten." Bei einem Extrempunkt unterschiedet man weiter zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt. Der Stern zeigt den Hochpunkt des Funktionsgraphen. Das Kreuz zeigt den Tiefpunkt. 9 Beispielaufgabe zur Bestimmung von Extrempunkten f(x) = x5 − 2x² + 2 1. Schritt: Erste und zweite Ableitung bilden 2. Schritt: Ansatz 3. Schritt: Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen (= potentielle ExtremSTELLEN) NOTWENDIGE BEDINGUNG 4. Schritt: Nullstellen vonf'(x) in f''(x) einsetzen HINRECHENDE BEDINGUNG 5. Schritt: Nullstellen vonf'(x) in f(x) einsetzen (= ExtremWERTE berechnen) Monotonie Was ist Monotonie? Was hat Monotonie mit den Extrempunkten zu tun? foxx) f'(x) = 5x4 - 4x f'(x) = 20x³ - 4 f'(x) = 0 f'(x) = 0 f'(x) = 0 0 = 5x4 - 4x Einsatz Tl: 2nd -> CALC -> zero ⇒ x₁ = 0 ⇒ x₂ = 0,93 x₁ und x₂ sind die potentiellen Extremstellen → Hinreichende Bedingung! f"(x₁) = f'(0) = 20-0³-4 = -4 <0 ⇒ HP f"(x₂) = f'(0,93) = 20 0,933 - 4 = 12,09 > 0 ⇒ TP f(x₁) = f(0) = 05 -2.0² + 2 = 2 ⇒ H(012) f(x₂) = f(0,93) = 0,935 - 2 0,93² + 2 = 0,97 ⇒ T(0,9310,97) Ist die zweite Ableitung kleiner als Null →→Hochpunkt. Ist die zweite Ableitung größer als Null →Tiefpunkt. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob ein Graph fällt, steigt oder konstant (waagerecht) verläuft. Das Monotonieverhalten (= Steigungsverhalten) ändert sich an den Extrempunkten, da sich dort eben auch die Steigung des Graphen verändert. 10 Erklärung Monotonie 1. Schritt: Extrempunkte Bestimmen monoton 2. Schritt: Intervalle aufstellen streng monoton Beispielaufgabe zur Bestimmung des Monotonieverhaltens f(x) = x5 - 2x² + 2 3. Schritt: Monotonie des Intervalls bestimmen steigend X1 < x2 ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) Mit steigendem x-Wert steigt auch der dazugehörige Funktionswert (y-Wert) oder bleibt gleich. Dazu muss ein x-Wert des Intervalls in die erste Ableitung f'(x) eingesetzt werden! x1 < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂) Mit steigendem x-Wert steigt auch der dazugehörige Funktionswert (y-Wert). Siehe oben: H(0|2) T(0,9310,97) foo fallend x1 < x2 ⇒ f (x₁) = f(x₂) Mit steigendem x-Wert fällt der dazugehörige Funktionswert (y-Wert) oder bleibt gleich. X₁ < x₂ ⇒ f (x₁) > f (x₂) Mit steigendem x-Wert fällt der dazugehörige Funktionswert (y-Wert). Wenn die Extrempunkte bekannt sind, direkt mit Schritt 2 beginnen! 1₁ = (-∞0; 0): Das erste Intervall reicht von -co bis zum ersten Extrempunkt, schließt diesen aber nicht mit ein. → Runde Klammern! 1₂ = [0; 0,93]: Das zweite Intervall reicht vor ersten bis zum zweiten Extrempunkt. Beide Extrempunkte sind mit eingeschlossen. → Eckige Klammern! 13 = (0,93; +∞0): Das dritte Intervall reicht vom ersten Extrempunkt (schließt diesen aber nicht mit ein) bis +∞0. → Runde Klammern! -∞ und +∞0 werden immer von runden Klammern eingeschlossen 1₁ = (-∞0; 0): Da f'(-1) = 5 (-1)4 -4 (-1) = 9 > 0 ist f(x) in 1₁ streng monoton steigend. 13 = (0,93; +00): Da f'(2) = 5.24-4-2=72> 0 ist f(x) in 13 streng monoton steigend. 1₂ = [0; 0,93]: Da f'(0,5) = 5 (0,5)44 (0,5) = -1,69 <0 →keine ist f(x) in 1₂ monoton fallend. strenge Monotonie! → so in Klausur aufschreiben! 1₂ enthält die Extremstellen 11 6) Wendepunkte und Krümmungsverhalten Erklärungen zum Wendepunkt und zum Krümmungsverhalten Was ist ein Wendepunkt? Wie erkennt man einen Wendepunkt? Eine nicht-mathematische Erklärung zum Krümmungsverhalten: Ein Wendepunkt ist genau an dem Punkt eines Funktionsgraphen, an dem dieser sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt also entweder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung oder umgekehrt. Ein Wendepunkt hat aber noch eine weitere Eigenschaft: An diesem Punkt des Funktionsgraphen ist die Steigung bzw. die Abnahme maximal (also am stärksten). Zu den eben beschriebenen Wendepunkten gibt es noch einen besonderen Punkt: den Sattelpunkt. Auch am Sattelpunkt wechselt sich das Krümmungsverhalten, allerdings ist die Steigung in diesem Punkt Null (siehe unten). fox) Es lässt sich erkennen, dass der Funktionsgraph an der Stelle x = 2 von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung wechselt. Wäre der Graph eine Straße, die mit einem Fahrrad befahren wird, so müsste der Lenker des Fahrrads auf einem rechtsgekrümmten Graphen nach rechts eingeschlagen werden. Bei einem linksgekrümmten Graphen müsste der Lenker nach links eingeschlagen werden. 12 Beispielaufgabe zur Bestimmung von Wendepunkten 3 f(x)=x²-³x² +5 2 1. Schritt: Erste, zweite und dritte Ableitung bestimmen Nur die zweite und dritte Ableitung wird für die Bestimmung der Wendepunkte gefordert. Allerdings wird die erste Ableitung benötigt, um die zweite zu bilden! 2. Schritt: Ansatz notieren 3. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen (= potentielle WendeSTELLEN) 4. Schritt: Nullstellen vonf''(x) in f'''(x) einsetzen Wenn f'(x) > 0, dann handelt es sich um eine Rechts-Links-Wendestelle (Wechsel von rechts nach links). Wenn f'(x) < 0, um eine Links-Rechts- Wendestelle. 5. Schritt: Nullstellen vonf'(x) in f(x) einsetzen (= FunktionsWERT des Wendepunktes berechnen) Troo X F(x) = ²x²-3x f'(x) = 1,5x3 f''(x) = 1,5 f"(x) = 0 f''(x) = 0 f"(x) = 0 0 = 1,5x − 3 H+3 3 = 1,5x |:1,5 ⇒ xw = 2 f''(x) = 0 f''(xw) = f'(2) = 1,5> 0 →Rechts-Links-Wendestelle 1 3 f (xw) = f(2)=¹ (2)³ 2¹ (2)² + 5 = 1 ⇒W (211) 13 Besonderheit Sattelpunkt Was ist ein Sattelpunkt? Wie erkennt man einen Sattelpunkt? 1. Schritt: Ansatz notieren Beim Sattelpunkt ändert sich das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen. Zusätzlich ist die Steigung in diesem Punkt Null. Beispielaufgabe zur Bestimmung von Sattelpunkten 3 ƒ(x) = ²x³ − ²x² + 3x − 1 3 Es lässt sich erkennen, dass der Funktionsgraph an der Stelle x = 0 von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung wechselt. Außerdem ist die Steigung in dem Punkt Null. Als würde man einen Wendepunkt bestimmen wollen. 2. Schritt: Erste, zweite und dritte Ableitung bestimmen (= potentielle WendeSTELLEN) 3. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen Too foo Funktion f yAchse * f"(x) = 0 f''(x) = 0 f'(x)=x²-3x+3 f'(x) = 1,5x - 3 f""(x) = 1,5 f"(x) = 0 0 3 = 1,5x 1,5x3 +3 1:1,5 ⇒ xw = 2 14 4. Schritt: Nullstellen vonf'(x) in f'''(x) einsetzen 5. Schritt: Steigung in xw berechnen 6. Schritt: Funktionswert für Sattelpunkt bestimmen ⇒W (211) 1. Schritt: Intervalle notieren → Beide Intervalle schließen die Wendestelle nicht mit ein: runde Klammern! Beispielaufgabe zur Bestimmung des Krümmungsverhaltens 1 3 f(x) = x³ x² +5 2 2. Schritt: Krümmungsverhalten innerhalb der Intervalle bestimmen Alternative zum 2. Schritt: Krümmungsverhalten innerhalb der Intervalle bestimmen f''(x) = 0 f''(xw) = f'(2) = 1,5 > 0 Ein Hochpunkt ist immer rechtsgekrümmt. Ein Tiefpunkt ist immer linksgekrümmt. ⇒Rechts-Links-Wendestelle 3 ƒ'(xw) = ƒ(2) = ² (2)² -3.2+3=0 → Sattelpunkt f(xw): = f(2)= foo X 1₁ = (-∞0; xw) 1₂ = (xwi +∞0) 4 = 1 ⇒S(211) (2)² +3.2-1 1₁ = (-∞0; 2) Da f''(1) < 0 ist f(x) in 1₁ rechtsgekrümmt. 1₂ = (2; +00) Da f'"'(3) > 0 ist f(x) in 1₂ linksgekrümmt. 1₁ = (-∞0; 2) Da f(x) einen HP in 1₁ besitzt, ist f(x) in I₁ rechtsgekrümmt. 1₂ = (2; +∞0) Da f(x) einen TP in 1₂ besitzt, ist f(x) in 1₂ linksgekrümmt. 15 7) Skizzierung des Graphen Tipps zur Skizzierung des Graphen ƒ(x) = x³ − 4x² + 8x 1. Schritt: Funktionsgraphen mit dem TI-84 Plus zeichnen lassen 2. Schritt: Skalierung festlegen Dafür beim TI-84 Plus das Fenster passend einstellen: window. 3. Schritt: Ein entsprechendes Koordinatensystem zeichnen 4. Schritt: Markante Punkte kennzeichnen (z. B. mit einem Kreuzchen) Markant sind die in der Kurvendiskussion vorausgegangenen Punkte: Nullstellen ● Schnittpunkt mit der Ordinate ● Extrempunkte Wendepunkte 5. Schritt: Kreuzchen fließend und gerundet miteinander verbinden foo $7100 67100 X X * 7 16