Kurvendiskussion

Alternativer Bildtext:

setzen 0=x²+x-6 N₂ (2/0); N3 (-3/0) Linearfaktor = x²+x-6₁ Restpolynom C (x-1) durch Linearfaktor Symmetrie 4 Achsensymmetrisch Punktsymmetrisch Achsensymmetrie wenn alle Exponenten gerade sind ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse Punktsymmetrie → wenn alle Exponenten ungerade sind ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung Keine Symmetrie → wenn es gerade und ungerade Exponenten gibt, gibt es keine erkennbare Symmetrie فتی محمد Benötigt: Steigung +(x) = mx +b / +(x)=mx+b --+ (12 Punkt (Berührpunkt). Beispiel: f(x) = 0,₁5x²+2 Tangente an der Stelle X=4 Berührpunkt berechnen x= 4 in f(x) einsetzen f(4) = -0,5(4)² +2 =-6 Steigung berechnen Ableitung bilden: f'(x) = -x x=4 in f'(x) einsetzen f¹ (4) = -(4) =-4.4+b -16+b 3 Tangentengleichung aufstellen Im und p in +(x) einsetzen +(x) = mx +b -6 = 10 = b m = -4 =⇒D +(x) = −4x + 10 ૨૫/-) P(4/-6) /+16 ņ ein.e.m. P.u.n.k.t Extrempunkte beredien f(x) = 1x²³ -x² + 3x + 1 12 2 Ableitung bilden f'(x) = 1x² f"(x) = 1 ·TP/HP? 2+-2 -2x +3 Steigung im. Punkt positiv = Tiefpunkt (TP) im Punkt Steigung negativ=Hochpunkt (AP) 3 X-Werte 12 f(6) = (6)³-(6)² +3 (6) + 1 = 11/1/2 f(2)= 2 Erste Ableitung =0 setzen f'(x)=0 setzen O = = 4x² −2x +3 p/q- Formel X112 in f(x) einsetzen. X₁= (2)³ (2)²+ 3(2) +1 = 3,1 -3 = √(-3)²-12 ;. x₂ = -→D (6/1) -D (2/3,1) @x-Werte in. 2. Ableitung einsetzen f" (6) = (6) -2=1 DTP f" (2) = 1(2)-2=-1 MJ = HP (6/1) (2/3) Linearfaktor darstellung Umformen und Nullstellen aldesen 4 f(x)= = (x+2) (x-4) (x-0) (x+1)(x-4) (x-0) = (x²-2x+x-4) (x-0) = (x²-x-4) (x) 1x²³ -x² - 4x = = = N₁ (210) = N₂ (4/0) Vorzeichenwechsel beim ablesen =D Normal form №3 (0/0) der Nullstellen. Wendepunkte berechnen p(x) = x³x² + 16x + 25 p(x) = ³x²-³x + 160 p"(x) = p" (x) = 2 ² ₁ x - Ⓒ 2. Ableitung =0 setzen p" (x)=0 0= x - O=x-3 3= x sko x=3 in p"" (x) einsetzen p" (3) = 2 : +3 R-L-WP Herke von Wendepunkten gilt DR-L-WP DL-R-WP. für x-werte p"" (x) >0 p" (x) <0 Wendetangente berechnen p(x) = x³ - ²³x² + 16x + 26 p'(x) = ²x² - 2x + 16 Ⓒ Steigung im Wendepunkt berechnen X= 3 in p'(x) einsetzen p' (3) = (3)²-(3) + 18 2-1,5 -D 6(x) = -1,5x + b 2 Wendepunkt in 2= 1,5 (3) + b 2=-4,5 65= b +b --+w(x) -15x+6,5 w (x) w(x) = mx +b / +45 einsetzen Vorzeichenwechselknierium Zur Entscheidung, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, kann in den meisten fallen die zweite Ableitung f"(x) genutzt werden Eindeutigen Ergebnis, kann das Vorzeichen genutzt werden. Führt dies zu keinem → Steigung kurz vor und kurz nach dem Extrempunkt --DVZW →-→-→ VZW →→Hochpunkt von + nach- von - nach + Tiefpunkt Sattelpunkt. Kein vzw (T.+/+n.-) f(x) = 2x³ -24x f'(x)=6x² -24x f'(x) = setzen > 6x²-24x x₁ = 2; x₂ = -2 Vorzeichenwechsel interpretieren VZW bei x₁1=2 VZW bei x₂=-2 Beispiel f' (1,9) = 6 (1₁9) ² - 24 = -2,34 F¹ (2₁1) = 6 (2₁1)² -24 = 2,46 f' (2, 1) = 6 (-2, 1)² - 24 = 2, 46 > f' (-1,8) = 6 (-1,8)² -24 = -2,34 VZW -n. + TP =X4 =2 -++ VZW HP =x₂=-2 berechnen Ableitungen bilden 1. Potenzregel f(x)=x f(x)=x 2. Konstantenregel f(x) 3 = f(x)=-7,63 3. Faktorregel f(x) = c.x² f(x) = 3x² 4. Summenrege! f(x) = g(x) +h(x). f(x)=05x²+7x² f'(x) = Ux • f'(x) = 7x² f'(x)=0 'f'(x) = 0 f'(x)=C.U U-1 =·U.X² f'(x) = 3·2·x² = 6x Exponent wird Koeffizient und der Exponent wird 1 kleiner Alles ohne X dahinter fällt komplett weg. f'(x) = g(x) +h'(x) f'(x) = 2x³ + 14x Exponent mal Koeffizient und Exponent wird 1 kleiner Extremalproblem min ^. 40 m Zaun . A(a,b) = a b 2. Nebenbedingung Das was das. Maximum einschränkt 40= 2a + b 40-2a = 19 1. Hauptbedingung Das was max. groß/max klein werden soll b /-2a 2. Hochpunkt von Aa Ⓒ Ableitungen bilden A(a) = -2a² + 40a. A'(a) = -4a + 40a A" (a) = -4 3. Zielfunktion zusammengesetzt aus HB und NB -(a)= a (40-2a) = 40a-2a2 A(a) = -2a² +40 a berechnen 3. Maximale Flache berechnen 2 1. Ableitung =0 setzen O=-4a + 40 /: (-4) 0= a -10 / + 10 10 = a 3 a= 10 in A"(a) einsetzen A" (a) = -4 HP a= 10 in A(a) einsetzen A (10)=2(10)² + 40 (10) = 200 A: Bei einer Kantenlange der a 10m ist die Flache Weide 200m² maximal groß 1. Extremolproblem 1.Hauptbedingung A(ij)= Quadrat = (3x₁ = p(x) = -√ x² +4₁5 21. Ableitung =0 setzen 0= -1x² +9 9 = -1x² g ха x₁ = 3; x₂ = −3 werden, Punkt P soll so bestimmt dass die Fläche des Rechtecks maximal groß wird. 2. Nebenbedingung =y==€/x²+4,5 2. Hochpunkt von Alx) berechnen 3. Maximale Fläche berechnen Ableitungen bilden X=3 in A(x) A(x) = − 3x³ + 9x A(3)=(3)³ + 9(3) = 18 A'(x) = -1x² +9 bei kantenlange 3m sind 18m² A"(x) = -2x 3 in ACx) einsetzen. -√(3)² + 4,5 = 3 A" (3) = -2(3) = -6 A" (-3) =-2 (-3) = 6 = 2x 1-9 /:(-1) ✓ X₂ in A" (x) einsetzen HP 3. Zielfunktion A(x)= (x²+4,5)-2x A(x) = x³ + 9x dLÆ einsetzen → (3/3). Extremalproblem Hauptbedingung 2 Nebenbedingung A (a,b) = a •h २ 2 1. Hochpunkt berechnen. Ableitungen bilden A(x) = -0,6x³ +2×. A'(x)=-1₁5x² +2 A" x = -3x 1. Ableitung a 0=15x²+2 -2=-15x² 1/2 = x² f(x) = -0,6x²+2 9=2x hey=0,5xả ta ²+2 =0 setzen x₁ = 1,15; X₂=-1,15 (3) 1-2 /:(-1,5). Z X₁ und x² in A" (x) einsetzen. A" (1,15)=-3 (1,16) = -3,45 A" (-1,16) = -3(-1,15) = 3,45 DHP DTP 3 Zielfunktion 2x (-0,5x²+2) 2 - 1x³ + 4x 2 A(x) = -0,5 x³ + 2x Haximale Fläche berechnen. x= 1,15 in A(x) einsetzen A (1,15) = -0,5 (1,15)³ + 2(1,15) = 1,54 Einheit umrechnen. Flächeninhalt mal 36 6m = 1 Einheit 36 weil g. 6 8 h. 6 Graphisches ableiten A M -2 1 Eigenschaften von f(x) HP₂ (-4/0) нра (4/0) тр (0/-4) Sy (0/-4) Sx (4/0) Sx (-4/0) Globalverlauf Q3 in Q4 höchster Exponent gerade, dazugehöriger Koeffizient negativ. Symmetrie Achsensymmetrisch zur Alle Exponenten gerade f'(x). f(x) y- An einer Stelle, an der An einer Stelle, an der (Hoch- und Tiefpunkte) Achse Funktion 4. Grades (4 Nullstellen/3 Extrempunkte) 2 Wendepunkte Herke Extrempunkte vorliegen, hat die Ableitungsfunktion eine Nullstelle Wendepunkte vorliegen, hat die Ableitungsfunktion eine Extremstelle negative Steigung im WP ATP •positive Steigung im WP DHP Rekonstruktion Beispiel: Gesucht ist eine Funktion 4. Grades, die Achsensymmetrisch zur y- Achse ist, die y-Achse bei y-1 schneidet und einen Tiefpunkt bei (2/-7) aufweist. Grad f(x) = ax + bx³ + x² + dx + e Symmetrie Achsensymmetrisch f(x) = ax + cx² te 3 Bedingungen aufstellen r=(0)5+ (110) Fas TP (2/7)f(2)=-7 TP bei x=2f(2)= (4) Ableitungen bilden f(x) = ax tcx² +e. f'(x) = 4ax³ +2cx I: II: Gleichungen aus Bedingungen f(0) = 1 III: f'(2)=0 I in I f(2)=-7 HIIDO = 32a +4c → 1= a (0)4 + c(0)² te 1 = -4= Gleichungssysteme losen I → 1 = e II-7=16a + 4c te ->0=4a (2)³ +2c² (2) O=32a +4c 1-7 = a (2)² + c(2) ² te -7=16a +4c+e I = 16a +4c +1 II: -8=16a+uc Jo II: 032a +4c I-I: -8=-16a Os= a a=0s in III einsetzen O=32 (05) +4c 0 = 16 0 = 4 +4c /-^ Je /:(-16 + C 1:4 7-4 )