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Lösungen zum Lambacher Schweizer Mathebuch für die Qualifikationsphase NRW

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26.4.2021

Mathe

Lambacher Schweizer Qualifikationsphase GK LK

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Einfache gleichungen

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Lösungen zum Lambacher Schweizer Mathebuch für die Qualifikationsphase NRW

Der Lambacher Schweizer ist ein umfassendes Mathematik-Lehrwerk für die gymnasiale Oberstufe, das besonders in der Qualifikationsphase zum Einsatz kommt.

Die Mathematikbücher der Reihe Lambacher Schweizer Qualifikationsphase bieten systematisch aufbereitete Lerninhalte für Grund- und Leistungskurs. Die Themengebiete umfassen Analysis, analytische Geometrie und Stochastik, wobei jedes Kapitel mit ausführlichen Erklärungen, Beispielaufgaben und Übungen ausgestattet ist. Besonders wertvoll sind die detaillierten Lösungen, die Schülern beim selbstständigen Lernen helfen. Die Aufgaben sind nach Schwierigkeitsgraden gestaffelt und ermöglichen eine individuelle Förderung.

Das Werk ist speziell auf die Anforderungen des Zentralabiturs in NRW ausgerichtet und enthält alle relevanten Inhalte für die Qualifikationsphase. Die PDF-Version des Buches ermöglicht dabei flexibles Lernen, während die zugehörigen Lösungen eine unmittelbare Erfolgskontrolle gewährleisten. Für den Leistungskurs gibt es zusätzliche, vertiefende Aufgaben und Erklärungen. Die systematische Gliederung des Stoffes, beginnend mit der Q1 bis zum Abitur, hilft bei der strukturierten Prüfungsvorbereitung. Besonders hilfreich sind die ausführlichen Lösungswege zu komplexeren Aufgaben, wie sie beispielsweise auf Seite 70, Seite 125, Seite 145 oder Seite 183 zu finden sind. Das Werk wird sowohl in Baden-Württemberg als auch in anderen Bundesländern erfolgreich eingesetzt und hat sich als Standard für den Mathematikunterricht in der Oberstufe etabliert.

...

26.4.2021

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P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Analytische Geometrie: Abstandsberechnungen in der Ebene

Die Lambacher Schweizer Qualifikationsphase behandelt wichtige Konzepte der analytischen Geometrie. Bei der Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen im dreidimensionalen Raum verwenden wir verschiedene mathematische Werkzeuge.

Definition: Der Abstand eines Punktes von einer Ebene wird durch die Länge des Lots vom Punkt auf die Ebene bestimmt.

Im ersten Beispiel betrachten wir die Ebene E mit der Gleichung x+y+2z=6 und den Punkt P4,1,4,1,54,1,4,1,5. Die Berechnung des Parameters t erfolgt durch Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung: 14+t4+t + 14+t4+t + 25+2t5+2t = 6 Nach Vereinfachung erhalten wir t=-2.

Beispiel: Für den Punkt O2,1,2,1,12,1,2,1,1 berechnen wir den Abstand |PD| zur Ebene: |PD| = √−2-2² + −2-2² + −4-4² = √24

P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Vektorrechnung und Abstandsberechnung

In der Lambacher Schweizer Qualifikationsphase NRW lernen wir die Berechnung von Abständen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten. Die Ebenengleichung 2x+y+2z=9 wird verwendet, um weitere Abstände zu bestimmen.

Hinweis: Bei der Abstandsberechnung ist die Normierung des Normalenvektors essentiell.

Der Einheitsvektor spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Abständen. Für einen Punkt S, der ebenfalls den Abstand 6 von der Ebene hat, nutzen wir die Formel: OS = OD + 6·ñ

Die Ebenengleichung 4x+4y-7z=40,5 führt uns zu weiteren Berechnungen mit dem Parameter t=1/2.

P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Koordinatengeometrie und Vektoralgebra

Die Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Lösungen zeigen uns die systematische Herangehensweise an komplexere Aufgaben. Bei der Berechnung von Abständen zwischen Punkten wie A3,1,−1,1,73,1,-1,1,7 und B6,1,8/1,96,1,8/1,9 nutzen wir die Vektoralgebra.

Vokabular: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren in der Ebene.

Die Berechnung der Abstände erfolgt durch:

  • Aufstellen der Gleichungssysteme
  • Bestimmung des Parameters t
  • Berechnung der Länge des Verbindungsvektors
P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Anwendungen der Analytischen Geometrie

Im Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Leistungskurs werden praktische Anwendungen der Abstandsberechnung behandelt. Die Ebenengleichung Ex+3y-5z=15 führt zu komplexeren Berechnungen.

Beispiel: Für den Punkt D5,11,125,11,12 berechnen wir: |PD| = √2² + 10² + 11² = √225

Die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen ist fundamental für:

  • Architektur und Bauingenieurwesen
  • 3D-Modellierung
  • Computergrafik
  • Robotik und Automatisierung
P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Mathematische Gleichungssysteme und Lösungsverfahren in der Qualifikationsphase

Die Lösung komplexer mathematischer Gleichungssysteme ist ein zentraler Bestandteil des Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Mathematikunterrichts. Bei der Bearbeitung von linearen Gleichungssystemen mit mehreren Variablen ist eine strukturierte Herangehensweise besonders wichtig.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen ersten Grades, die simultan erfüllt werden müssen. Die Lösungsmenge enthält alle Zahlentupel, die sämtliche Gleichungen erfüllen.

Im vorliegenden Fall haben wir eine Gleichung der Form 21−6−3r1-6-3r + 104+r4+r + 11-4+54+5 = 252, die zunächst durch systematisches Auflösen vereinfacht werden muss. Die Terme werden dabei schrittweise ausmultipliziert und zusammengefasst, wobei besonders auf die Vorzeichen geachtet werden muss.

Die Bearbeitung erfolgt nach dem Prinzip der Äquivalenzumformungen, wodurch die ursprüngliche Gleichung in eine einfachere Form überführt wird. Durch geschicktes Zusammenfassen der Terme mit der Variable r und der konstanten Terme erhält man eine übersichtliche Gleichung, die nach r aufgelöst werden kann.

P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Anwendung der Lösungsstrategien im Mathe LK Buch NRW

Bei der praktischen Anwendung der Lösungsstrategien aus dem Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Lösungen NRW ist die systematische Dokumentation der einzelnen Rechenschritte von großer Bedeutung.

Hinweis: Die Kontrolle der Lösung durch Einsetzen in die Ursprungsgleichung ist ein unverzichtbarer Schritt zur Vermeidung von Rechenfehlern.

Das schrittweise Vorgehen ermöglicht es, komplexe Terme wie 21−6−3r1-6-3r systematisch zu vereinfachen. Dabei werden zunächst die Klammern aufgelöst: 2·1 - 2·6 - 2·3r. Anschließend werden die Terme mit gleichen Variablen zusammengefasst und die Gleichung nach der gesuchten Variable aufgelöst.

Die finale Lösung r = 12 kann durch Rückeinsetzen in die Ursprungsgleichung verifiziert werden. Diese Vorgehensweise ist charakteristisch für die Aufgabenstellungen in der Lambacher Schweizer Qualifikationsphase und wird insbesondere im Leistungskurs häufig angewendet.

P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Page 1 Summary:

This page covers solutions to problems involving points and planes in 3D space. It begins with finding the coordinates of point P4,1,4,1,54,1,4,1,5 on a plane given by the equation x+y+2z=6. The solution involves setting up and solving a system of equations. The page also includes calculations of distances between points using the distance formula in three dimensions.

Example: For point P4,1,4,1,54,1,4,1,5, the solution shows how to set up the equation 14+t4+t + 14+t4+t + 25+2t5+2t = 6 and solve for t to find the coordinates.

Vocabulary: The distance formula in 3D space is given as |PD| = √x2−x1x₂-x₁² + y2−y1y₂-y₁² + z2−z1z₂-z₁².

P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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26. Apr. 2021

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Lösungen zum Lambacher Schweizer Mathebuch für die Qualifikationsphase NRW

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@study.alea

Der Lambacher Schweizer ist ein umfassendes Mathematik-Lehrwerk für die gymnasiale Oberstufe, das besonders in der Qualifikationsphase zum Einsatz kommt.

Die Mathematikbücher der Reihe Lambacher Schweizer Qualifikationsphase bieten systematisch aufbereitete Lerninhalte für Grund- und Leistungskurs. Die Themengebiete umfassen Analysis, analytische... Mehr anzeigen

P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Analytische Geometrie: Abstandsberechnungen in der Ebene

Die Lambacher Schweizer Qualifikationsphase behandelt wichtige Konzepte der analytischen Geometrie. Bei der Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen im dreidimensionalen Raum verwenden wir verschiedene mathematische Werkzeuge.

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Im ersten Beispiel betrachten wir die Ebene E mit der Gleichung x+y+2z=6 und den Punkt P4,1,4,1,54,1,4,1,5. Die Berechnung des Parameters t erfolgt durch Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung: 14+t4+t + 14+t4+t + 25+2t5+2t = 6 Nach Vereinfachung erhalten wir t=-2.

Beispiel: Für den Punkt O2,1,2,1,12,1,2,1,1 berechnen wir den Abstand |PD| zur Ebene: |PD| = √−2-2² + −2-2² + −4-4² = √24

P(41415) Ex+y+2z=6 9²-(5)-(2) :x= t 1⋅ ( 4 + t) + 1 ⋅ ( 4 + t) + 2・ (5 + 2t) = 6 4+t+4+t+10+ 4t=6 18+ 6t = 6 6t=-12 t = -2 0(21211) | PDI =

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Vektorrechnung und Abstandsberechnung

In der Lambacher Schweizer Qualifikationsphase NRW lernen wir die Berechnung von Abständen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten. Die Ebenengleichung 2x+y+2z=9 wird verwendet, um weitere Abstände zu bestimmen.

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Anwendungen der Analytischen Geometrie

Im Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Leistungskurs werden praktische Anwendungen der Abstandsberechnung behandelt. Die Ebenengleichung Ex+3y-5z=15 führt zu komplexeren Berechnungen.

Beispiel: Für den Punkt D5,11,125,11,12 berechnen wir: |PD| = √2² + 10² + 11² = √225

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Mathematische Gleichungssysteme und Lösungsverfahren in der Qualifikationsphase

Die Lösung komplexer mathematischer Gleichungssysteme ist ein zentraler Bestandteil des Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Mathematikunterrichts. Bei der Bearbeitung von linearen Gleichungssystemen mit mehreren Variablen ist eine strukturierte Herangehensweise besonders wichtig.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen ersten Grades, die simultan erfüllt werden müssen. Die Lösungsmenge enthält alle Zahlentupel, die sämtliche Gleichungen erfüllen.

Im vorliegenden Fall haben wir eine Gleichung der Form 21−6−3r1-6-3r + 104+r4+r + 11-4+54+5 = 252, die zunächst durch systematisches Auflösen vereinfacht werden muss. Die Terme werden dabei schrittweise ausmultipliziert und zusammengefasst, wobei besonders auf die Vorzeichen geachtet werden muss.

Die Bearbeitung erfolgt nach dem Prinzip der Äquivalenzumformungen, wodurch die ursprüngliche Gleichung in eine einfachere Form überführt wird. Durch geschicktes Zusammenfassen der Terme mit der Variable r und der konstanten Terme erhält man eine übersichtliche Gleichung, die nach r aufgelöst werden kann.

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Bei der praktischen Anwendung der Lösungsstrategien aus dem Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Lösungen NRW ist die systematische Dokumentation der einzelnen Rechenschritte von großer Bedeutung.

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Das schrittweise Vorgehen ermöglicht es, komplexe Terme wie 21−6−3r1-6-3r systematisch zu vereinfachen. Dabei werden zunächst die Klammern aufgelöst: 2·1 - 2·6 - 2·3r. Anschließend werden die Terme mit gleichen Variablen zusammengefasst und die Gleichung nach der gesuchten Variable aufgelöst.

Die finale Lösung r = 12 kann durch Rückeinsetzen in die Ursprungsgleichung verifiziert werden. Diese Vorgehensweise ist charakteristisch für die Aufgabenstellungen in der Lambacher Schweizer Qualifikationsphase und wird insbesondere im Leistungskurs häufig angewendet.

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Example: For point P4,1,4,1,54,1,4,1,5, the solution shows how to set up the equation 14+t4+t + 14+t4+t + 25+2t5+2t = 6 and solve for t to find the coordinates.

Vocabulary: The distance formula in 3D space is given as |PD| = √x2−x1x₂-x₁² + y2−y1y₂-y₁² + z2−z1z₂-z₁².

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Samantha Klich

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Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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