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Wie du Extrem- und Wendepunkte sowie Wendetangenten berechnest: Aufgaben und Lösungen für dich zum Üben

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G

Geraldine

28.11.2021

Mathe

Lernzettel

Wie du Extrem- und Wendepunkte sowie Wendetangenten berechnest: Aufgaben und Lösungen für dich zum Üben

Extremwertaufgaben and Wendepunkte berechnen are crucial concepts in calculus, involving the calculation of extreme points and inflection points of functions. This guide covers the necessary and sufficient conditions for finding these points, along with practical examples and applications to real-world problems.

Key points:

  • Calculating extreme points using first and second derivatives
  • Determining inflection points and their tangent lines
  • Solving optimization problems with constraints
  • Applying these concepts to practical scenarios
...

28.11.2021

244

Extrem stellen Berechnen
notwendige Bedingung
F(x)=0
Bsp 1
f(x)=x²-3x²
f'(x)= 3x² - 6x
f"(x)= 6x6
hinreichende Bedingung
f(x)=0
f"(x) > O
f"

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Inflection Points and Tangent Lines

This page delves into the concept of Wendepunkte berechnen calculatinginflectionpointscalculating inflection points and their associated tangent lines.

The necessary condition for an inflection point is that the second derivative equals zero: f"xx = 0. This is illustrated through two examples:

  1. fxx = x³ + 2
  2. fxx = 4 + 2x - x²

Definition: An inflection point is where the function's concavity changes.

The sufficient condition for an inflection point is that f"xx = 0 and f'''xx ≠ 0.

Example: For ftt = -t³ + 24t² - 117t + 182, the process of finding the inflection point and its tangent line is demonstrated step-by-step.

The concept of Wendetangente berechnen calculatingthetangentlineataninflectionpointcalculating the tangent line at an inflection point is explained. The tangent line equation is given as y = mx + b, where m is the slope at the inflection point.

Highlight: The slope of the tangent line at the inflection point represents the maximum rate of change in the function's steepness.

The page concludes with an application example, interpreting the inflection point in the context of visitor numbers, demonstrating how these mathematical concepts relate to real-world scenarios.

Extrem stellen Berechnen
notwendige Bedingung
F(x)=0
Bsp 1
f(x)=x²-3x²
f'(x)= 3x² - 6x
f"(x)= 6x6
hinreichende Bedingung
f(x)=0
f"(x) > O
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Optimization Problems with Constraints

This page focuses on Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen optimizationproblemswithconstraintsoptimization problems with constraints, a crucial application of calculus in real-world problem-solving.

The process for solving these problems is outlined in four steps:

  1. Describe the target variable to be optimized.
  2. Identify the constraints that show relationships between variables.
  3. Determine the objective function that depends on only one variable.
  4. Analyze the objective function, considering its domain and constraints.

Example: A problem involving maximizing the area of a rectangle with a fixed perimeter is used to illustrate this process.

The objective function is derived as Aaa = a25a25-a, where 'a' is one side of the rectangle and the constraint is that the perimeter is 50 cm.

Highlight: The domain of the function is crucial and is determined based on the physical constraints of the problem.

The necessary condition for extrema is found by setting the derivative of the objective function to zero: A'aa = 0.

Vocabulary: The hinreichende Bedingung sufficientconditionsufficient condition for a maximum is that A"aa < 0 at the critical point.

The solution process demonstrates how to incorporate the constraint into the objective function, solve for the optimal value, and verify it using the sufficient condition.

This approach to Extremwertprobleme optimizationproblemsoptimization problems showcases the practical application of calculus in solving real-world problems, particularly those involving geometric or physical constraints.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

244

28. Nov. 2021

3 Seiten

Wie du Extrem- und Wendepunkte sowie Wendetangenten berechnest: Aufgaben und Lösungen für dich zum Üben

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Geraldine

@geraldine_iwhf

Extremwertaufgaben and Wendepunkte berechnenare crucial concepts in calculus, involving the calculation of extreme points and inflection points of functions. This guide covers the necessary and sufficient conditions for finding these points, along with practical examples and applications to real-world... Mehr anzeigen

Extrem stellen Berechnen
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F(x)=0
Bsp 1
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f'(x)= 3x² - 6x
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Inflection Points and Tangent Lines

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The necessary condition for an inflection point is that the second derivative equals zero: f"xx = 0. This is illustrated through two examples:

  1. fxx = x³ + 2
  2. fxx = 4 + 2x - x²

Definition: An inflection point is where the function's concavity changes.

The sufficient condition for an inflection point is that f"xx = 0 and f'''xx ≠ 0.

Example: For ftt = -t³ + 24t² - 117t + 182, the process of finding the inflection point and its tangent line is demonstrated step-by-step.

The concept of Wendetangente berechnen calculatingthetangentlineataninflectionpointcalculating the tangent line at an inflection point is explained. The tangent line equation is given as y = mx + b, where m is the slope at the inflection point.

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Optimization Problems with Constraints

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The process for solving these problems is outlined in four steps:

  1. Describe the target variable to be optimized.
  2. Identify the constraints that show relationships between variables.
  3. Determine the objective function that depends on only one variable.
  4. Analyze the objective function, considering its domain and constraints.

Example: A problem involving maximizing the area of a rectangle with a fixed perimeter is used to illustrate this process.

The objective function is derived as Aaa = a25a25-a, where 'a' is one side of the rectangle and the constraint is that the perimeter is 50 cm.

Highlight: The domain of the function is crucial and is determined based on the physical constraints of the problem.

The necessary condition for extrema is found by setting the derivative of the objective function to zero: A'aa = 0.

Vocabulary: The hinreichende Bedingung sufficientconditionsufficient condition for a maximum is that A"aa < 0 at the critical point.

The solution process demonstrates how to incorporate the constraint into the objective function, solve for the optimal value, and verify it using the sufficient condition.

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Calculating Extreme Points

This page focuses on the methods for Extrempunkte berechnen calculatingextremepointscalculating extreme points of functions.

The necessary condition for extreme points is that the first derivative of the function equals zero: f'xx = 0. This is demonstrated through two examples.

Example: For fxx = x³ - 3x², the first derivative is f'xx = 3x² - 6x. Setting this to zero and solving yields potential extreme points.

The sufficient condition for extreme points involves examining the second derivative:

  • If f"xx > 0, it's a local minimum
  • If f"xx < 0, it's a local maximum

Highlight: The sign change test VorzeichenwechselkriteriumVorzeichenwechselkriterium is used to determine the nature of extreme points when f"xx = 0.

A more complex example is provided with fxx = -1/8x⁴ + 1/3x³ + 1, demonstrating the process of finding and classifying extreme points.

Vocabulary: A saddle point SattelpunktSattelpunkt occurs when f'xx = 0 and f"xx = 0, but there's no extreme value.

The page concludes with a detailed analysis of the function's behavior around its critical points, including the slope and concavity.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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