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Geraldine
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Berechnung Extremstellen, Wendestellen + Wendetangente und Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen ( Quelle zu S. 3 : Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase S. 27)
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Extrem stellen Berechnen notwendige Bedingung F(x)=0 Bsp 1 f(x)=x³ 3x2 f'(x)= 3x² - 6x ("(x)= 6x-6 3 X Bsp2 (mil VZW - Kriterium) 3 f(x) = -1x²-1 +1 8 hinreichende Bedingung f'(x) = 0 f'(x)= -0,5x³1x2 ("(x)= -1,5 x² - 2x 2 f"(x) > 0 → <0→ f" (x) < 0 not. Be.f. Ex. f'(x) = 0 ('(x) = 3х2 - 6x f" (x) 3x2 - 6× = 0 1:3 x² - 2x=0 x(x-2)=0 x1= 3 x2= 0 O lokales minimum lokales maximum VZW - Kriterum hin. Be. f. Ex. ["(x) + O f"(x)- 6x-6 F"(0) 6-0-6 = -6 →lokales maximum f" (2) 6-2-6 = 6 →>>> not. Be. f. Ex. f'(x)= -0,₁5x²³ - x² = 0 -0,5x2(x+2) Х1= -2 x₂ = 0 lokales minimum hin. Be. 6. Ex f'(xo) = 0 und f'(x0) + 0 ("(-2)= -1,5-(-2) ² 2.(-2) - 6+4 = -2 →>>> f"(0) -1,5.0² +2.0 0 VZW. intervall 8 2.B: xo f'(xo) Steigung lokales maximum x < 0 -1 -0.5 2 x = 0 O 0 →>>> x>0 1 -1.5 Sattelpunkt SCOIFCO) SSCOA Wende stellen notwendige Bedingung f"(x) = 0 (2. Ableitung Bsp. 1 f(x)= x³ +2 3 f'(x)= 3x² f"(x) - 6x F"(x) = 6 = Nullstellen der 1. Ableitung) Bsp. 2 f(x) = 4+2x-x² f'(x) = 2-2x F"(x) = -2 f(x) = 0 not. Be. f. Ust. f"(x) = 6x Vendetangente f(t) = m² +b 270- m.8+ + Wende tangente f(t) = - +²³+241² f'(t)- -3+² +48 + - 117 f"(t) = -6 + + 48 f"(t) = -6 6x0 16 -117 + + 182 not. Be. f. Wst f"(x)=0 f" (x) = -2 m = 270= 75.8+ b 270= 600 +b 1-600 - 330 b X f(1) = 75-330 = 0 -2=0 + b f'(8)= -3-8) + 48.8 -117 = 75 hinreichend Bedingung f"(x) = 0 und f'(x) * 0 hin. Be. f. Ust ("²(x) = 6 f(0) = 6 f(0) = 3·0+2 = not....
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Be f. UST f"(t) = -6 + + 48 -6 2 keine Nullstellen keine Werdstellen →WCOIF(0)1- +48 = 0 1-48 -61 = -48 1:(6) t = 8 W(012) hin. Be. f. Ust f" (8) = 6 U(8|f"(8) f(8)= -8³ + 24.8² -117.8 +182 270 (8 (270) A. An der Stell (81270) 1st steigt die Besucerahl am stärksten. Extremwertprobleme mit Weben bedingungen 1. Beschreiben de Ziel größe, die extremal werden soll, durch eine Formel. Diese kann Variablen enthalten 2. Aufsuchen von Nebenbedingungen, die Abhängigkeiten zwischen den Varialden enthalten. 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhäng! (Welche Variable zweckmäßig ist zeigt oft erst die Bearbeitung). Ange ben des Definitions bereich" der Zielfunktion 4. Unter suchen der Zielfunktion auf Extremwerte unter Beachtung der Definitions bereiches. Formulieren des Ergebnisses. S. 28 Nr. 1 → Bsp maximiren |A= Zielfunktion a.b 2·a +2·b = 50 cm 8 2b = 50 2a b = 25. a Ableitung Al(a)= -2a + 25 Α'(α)- - 2 →nebenbedingung nach einer Variable um formen AC)- a. (25-a). → Definitions bereich -a² +25a D[0; 25] einsetzen A= 12.5 12.5 156,75 in die Zielfunktion not. Be C. Ext. Α'(α). Ο 12.5 1-2а 25 = 2a 1:2 125 = a Hochstelle in die Nebenbedingung einsercen 2. 12,5 + 2.b = 50 b= -2a +25= 0 Rände des hin. Be. f. Ext. A'Ca) O A" (a) O A (12,5) --2 > Hoch stelle