Analysis Lernzettel Abi 2022

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(x) gegenteilig zu !eº=1 Logarithmengesetze: лодь (х.y) = воды (x) + водо су? logo () = log₂ (x) - logoly) logb (x²) = n. logb(x) водь (x₁) MANIPULATION VON GRUNDFUNKTIONEN Verschiebung in x-Richtung (horizontal): J(x-a) z. B.: Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts f(x(+2)) = f(x-2) Verschiebung um 4 Einheiten nach links f(x=(-4)) = f(x+4) Verschiebung in y-Richtung (vertikal): f(x) + a z. B.: Verschiebung um 2 Einheiten nach oben J(x)=2 Verschiebung um 4 Einheiten nach unten f(x) - Y Vertikale Streckung / Stauchung: In y-Richtung: f(x) oder f(x.c) c>1> Streckung 0<< < 1 -> Stauchung c> 1 >> Stauchung 0<< < 1 > Streckung Das c steht vor dem x² oder vor der Klammer! C Spiegelung an der x-Achse: f(x1 oder c • f(x) (einhergehend mit einer Streckung/ Stauchung um Spiegelung f(-x) an der y-Achse: oder f(x) (einherghung mit. Stauchung um c f₁(x)=3* 2 £₂(x)=( +3 f(x)=x+²+2__ f(x)=√3€ 9 2 Streckung/ f₂(x)=-2 f(x)=2x+² - 2 3 ABLEITEN Allgemeine Ableitungsregeln (1) Hochzahl vorziehen. (2) Hochzahl minus 1 Ableitung einer Konstanten: f(x) = (→ f'(x) = 0 Ableitung von X: f (x) = 1x => f'(x) = 1 Potenzregel: f(x) XP → f'(x) = Faktorregel: f(x1= c・g(x) = f'(x) = хр-1 c. g'(x) Produktregel ( f(x) · g(x)) = f'(x) · g(x) + f(x) + g'(x) (f(x) · ex) = f'(x) · ex+ f(x) · e* = (f'(x) + f(x))·c* Kettenregel (f(gx)) = f'(g(x1) g'(x) (eg(x1) = eglxl. g`'(x) Die innere Ableitung mal die äußere Ableitung Beispiel: f(x)= e³x-5 → 1¹(x) = 3· €³×-5 3x-5 Quotientenregel n(x) = f(x) g(x) Beispiel: f(x) = x → f'(x) = ex. x = ²x. 1 = ex. (x-1) x² → h'(x) = f'(x) · g(x) = f(x) · g'(x) (96x112 Merken! f'(x) → Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle f"(x)→ Änderung der Steigung (Krümmung des Graphen) +'(x) > 0 monoton steigend +¹(x) <0 monoton fallend f'(x)=0 eventuell HP, TP oder WP f"(x) > 0 Linkskurve (links unten -> rechts oben ) "(x) <O Rechtskurve (links unten -> rechts oben) J" (x) = 0 Wendepunkt GRAFISCHES ABLEITEN Extrempunkte werden beim Ableiten zu Nullstellen Wendepunkte werden beim Ableiten zu Extrempunkten + m=0 4. m=0 m=0 + + 2x Ausgangsfunktion f(x) Erste Ableitung f'(x) Zweite Ableitung f"(x) KURVENDISKUSSION Schnittpunkte mit Koordinatenachsen Nullstellen: f(x) = 0 y-Achsenabschnitt: f(01=y Extrempunkte f'(x)=0 und f"(x) = 0 Wendepunkte Punkt mit stärkster Zunahme f"(x) = 0 und f" (x) + 0 Steigung Momentanc Anderungsrate: m = f'(x) →→ Steigung Symmetrie Achsensymmetrie →> Symmetrie zur y-Achse f(-x) = f(x) → nur ungerade Exponenten Tiefpunkt: f"(x) >O Hochpunkt: f(x) <O (Sattelpunkt: f(x) = 0 g"(x)=0) Punktsymmetrie → Symmetrie zum Ursprung f(-x) = -f(x) -> nur gerade Exponenten. Immer Randwerte des vorgesehen Intervals mit überprüfen um absolute Extrempunkte zu erhalten. in einem Punkt Mittlere Anderungsrate: m=x2=4185 → Steigung zwischen zwei Punkten 14 fes X Bei Spiegelung an der y-Achse kommt die gleiche Funktion raus! Bei Spiegelung am Ursprung kommt die gleiche Funktion raus! Definitionsbereich 10: alle Werte, die für x in die Funktion eingesetzt werden dürfen Bestimmung des Definitionsbereichs: 1 verlangt × ±0 2. √x verlangt x 20 3. (n(x) verlangt x>0 Wertebereich W: alle Werte, die für y rauskommen können Bestimmung des Wertebereiches → Wo liegt der Graph ? Bis wohin geht er? → Verhalten im Unendlichen prüfen. → absolute Extrempunkte suchen. oder Wertetabelle anlegen (alle möglichen x-Werte mit dazugehörigen y-Werten) Grenzuerhalten (Verhalten im Unendlichen] •f(x) = ? lim 8--8 lim X-+8 Setzt man . Wo kommt der Graph her?" (möglichst hohe negative f(x) = ? Wo geht der Graph hin?" ∞0/-∞ für x ein, wird die Funktion Lim X48 " 2 z. B.: f(x) = (x² - 1). e²x Lim X->-∞ 3-∞ f (x) = lim-∞ (x²-1). ->8 (möglichst hohe positive. Zahe einsetzen) f(x) = lim∞ (x² = 11 €²x -> 0 (00²-1) 938 ->O -2x e e-2-(-00) ->∞ irgendwann O immer kleiner (-∞) → immer größer (20) TANGENTEN, SEKANTEN, NORMALEN Tangenten Gerade, die den Graphen einer Funktion an einer bestimmten Stelle berührt und dort die gleiche Steigung besitzt x + b t(x) = m ↓ f'(x) Tangentengleichung aufstellen: 1. x-Wert des gegebenen Punktes in f(x) und f'(x) einsetzen 2. Ergebnisse (f(x), x and bestimmen 3. Im und to in Geradengleichung einsetzen. Sekanten →Gerade, die eine Funktion in zwei Punkten schneidet und die mittlere Änderungsrate einer Funktion beschreibt s(x) = m. x +b ↓ j'(x)) x und f'(x)) einsetzen und b Mittlere Anderungsrate تا Sekantengleichung aufstellen: 1. Mittlere Änderungsrate aus den Punkten P₁ + P₂ bestimmen 2. m und einen der gegeben Punkte in die Geraden- gleichung einsetzen um b zu bestimmen 3. m und to in Geradengleichung einsetzen. Normalen (oder auch Senkrechte bzw. Orthogonale) →Gerade, die senkrecht bzw. orthogonal zur Tangente durch den selben Punkt wie diese verläuft. n(x) = = mx + b ↓ negativer Kehrwert der Steigung der Jangente mnorm= Mtan - f'(x) Normale Tangente Normalengleichung aufstellen: 1. Ableitung + Steigung (der Jangentel an der gegebenen. Stelle bestimmen. 2. Steigung der Normalen bestimmen mnorm=- f'(x) 3. m und den gegebenen Punkt in Geradengleichung einsetzen und b bestimmen 4. m und bo in Geradengleichung einsetzen STECKBRIEFAUFGABEN 1. Art der Funktion (Anzahe der Unbekannten → Anzahl der Beding 2. Symmetrie 3. Punkte stellen, Steigung f'(x) = m, Extremstellen J'(x)=0, Wendestellen 4. Informationen in Gleichungen übersetzen 5. LGS aufstellen. + lösen 6. Funktionsgleichung aufschreiben. Beispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Grouph durch den Koordinaten ursprung geht, bei x = 1 ein Maximum und im Punkt W( 3 / 27) einen Wendepunkt hat. 1. Polynom 3. Grades →> Hauptbedingung f(x) = ax³ + bx² + cx+d 2. Symmetric 3. Nebenbedingungen. Koordinatenursprung 4 + Achsensymmetric → ungerade Exponenten = 0 Punktsymmetric →> gerade Exponenten = -> keine Symmetrie <=> →> f(0) = 0 Minimum bei x=1-> f'(1) = 0 Wendepunkt bei W ( 33/27) -> 1" (²3/3) = 0 -1² (²7) = 2/7 → 1(0)=0 (1)=0 5."13)=0 9(3) = 2/1/72 d= + Probe => | a・0²³ +6.0² + c⋅0+d=0 a.03 3a 12+2b·1+c 6a (3) +2b₂ = 0 a⋅ (²310² + b⋅ ( ²3 ) ² + · (²3) 9=1 6=-2 C=1 d=0 +d=27 6. f(x)= x³ 2x²+x - Hier einige Beispiele für typische Bedingungen: ...hat im Punkt (3/4)... ...geht durch den Ursprung... ...schneidet die x-Achse bei 5 ... ...hat bei x = 3 die Steigung m = -1... ist bei x = 4 parallel zur Geraden y = 2x + 3... schneidet die y-Achse bei 8 ....hat einen Extrempunkt bei E(015)... ...berührt die x-Achse bei 5... ... ...hat bei x = -5 einen Wendepunkt... ...seine Wendetangente bei x = -2... f(3) = 4 f(0) = 0 f(5) = 0 f'(3) = - f'(4) = 2 f(0) = 8 f(0) = 5, f'(0) = 0 f(5) = 0, f'(5) = 0 f"(-5) = 0 f"(-2) = 0 TRASSIERUNG → specielle Form der Steckbriefaufgabe, bei der meist zuei Funktionen mit einer zusätzlichen Funktion zu verbinden and Sprungfrei-> keine Löcher zwischen den Funktionen (Stetigkeit Knickfreiheit →> gleiche Steigung der Funktionen an (Differenzierbarkeit) den Verbindungspunkten P₁₂ + P₂ 1 Aufgabenstellung beachten → Bedingungen 2. Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung + Ableitungen 3. Bedingungen aufstellen →> sprungfrei: g(x₁) = f(x₁) und h(x₂) = f(x₂) → knickfici: g² (x1) = f'(x₁) und hi(x₂) = f'(x₂² -> krümmungsluckfici: g" (x₁) = f(x1) und n"(x (bei krick + sprung freiheit häufig Funktion 3. Grade bei krümmungsrückfrei häufig Funktion 5. Grades Grades) m² Zxzz₁² (x-₂) 4. Informationen in Gleichungen übersetzen, La's anystellen + lösen EXTREMWERTAUFGABEN 1. Hauptbedingung aufstellen: Was soll maximal/ minimal werden? 2. Nebenbedingung aufstellen: siehe Aufgabenstellung 3. Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen + in Hauptbedingung einsetzen 4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen 5. Randwerte bestimmen formeen: Quadrat Rechteck Dreieck Rechtwinkliges geldiniges Kreis Würfel Quader Zylinder U= ya U= 2(a+b) U= a +b+c U = a +b+c U = a + b + c U= 2πTT 0=60² O=2(ab+ac+bc) 0=2r²₁T+21th A=a² A = a.b A = 1/2 g.h A = 1.g.h A = 1/2.g.h 슬 A = ²π V = 9³ V = a.b.c V = r²πh INTEGRALRECHNUNG Mit dem Integral lässt sich die Stammfunktion und die Fläche unter einem Graphen bestimmen. Integralschreibweise: b- obere Grenze Sf(x) dx - Integrationsvariable auntere Grenze Stammfunktion Allgemeine Regel: ->Hochzahe +1 →>>> Potenzregel: f(x) = xn Faktorregel: f(x) = a.xn Summentegel! f(x) = ax Beispiel: dx S = Zeichen für das Integral dx immer kleiner werdende Integralbreiten Ax durch Hochzane teilen. + Konstante c Cim g∞ F(g)-F(a) Schreibweise: Sf(x) dx = F(x) + C Integrand Überprüfung auf Endlichkeit: Unbestimmtes Integral Fläche unter einem Funktionsgraphen, die in eine Richtung unbeschränkt ist + bei der mindestens eine Integralgrenze der Funktion nicht definiert ist (Gesamtheit aller Stammfunktionen von, f(x1) - F(x) = (n+1)−^.. +C x^²+1 F(x)= a (n+1)-1. xn+1 +C + bxn > F(x) = a. (n+1)-1. x² + + b. (m + 1)^. xn+1+c 0,5 f(x)= x/² = 4₁x²³ 4.x-3 √x = x₁ 1.X² 1 1. Stammfunktion bilden 2. g als Unbekannte für 6 einsetzen: limm & fcx ldx b 3. || Integrations- Konstante F(x) = -2-x-² +C S f(x) dx = lim S f(x)dx = lim F(g)- F(0,5) m in ∞ (3-(-95²)) = lin 20 (8-373₂2)=8-0=8 0,5 дохо -> endlicher Inhalt Bestimmtes Integral → Fläche unter einem Funktionsgraphen mit angegebenen Integrationsgrenzen Grundsätzliches: Die Fläche unter einem bestimmten Funktionsabschnitt liegt zwischen der kleinsten und größten Fläche, die durch den Verlauf der Funktion gebildet wird -2 -1 5 4 3 2 Obersumme 0 1 2 -2 -1 y 5+ 1. Stammfunktion bilden 2. F(b)-F(a) 4 3 2 1 Untersumme 0 1 2 -Bildung vieler Unter- und Obersummen zur Annäherung an den wahren Wert → Lösung durch Hauptsatz Hauptsatz der Integralrechnung: { f(x) dx = [F(x)] = (F(b)-F(a)) Beispiel: 32xdx = [x²]³₁ = ( 3² - 1²) = 8 ein bestimmtes Integral ist als Grenzwert (n->∞0) einer Summe von Produkten definiert BERECHNUNG VON FLÄCHEN (INTEGRALRECHNUNG) Zwischen Graph und x-Achse 1. Nullstellen berechnen, um Grenzen zu erhalten 2. Prüfen, ob die Fläche stehts über der x-Achse ist Wenn unter der x-Achse, Betragsstriche verwenden Wenn zwei Flächen, dann einzeln berechnen und erst anschließend addieren (Integralwert) 3. Grundsatz anwenden Zwischen Graph und x-Achse im Intervall 1. Nullstellen berechnen, um zu prüfen, ob es sich um eine geschlossene zusammenhangende Fläche handelt oder ob es verschieden Teilflächen sind Bsp.: fo₂ zusammenhängend to 2 Teilflächen 2. Bei Zusammenhängend wie oben verfahren Bei Teilflächen alle Flächen mit Grundsatz bestimmen (unterhalb der x-Achse mit Betragsstrichen) und addieren um Integralwert zu bestimmen Zwischen zwei Graphen A= √ (f(x)= g(x)) dx = [F(x)=G(x)] = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)) 1. Schnittpunkte berechnen (Funktionen gleichsetzen) 2. Mit Formel Fläche ausrechnen (bei sich schneidenden Funktionen Betragsstriche setzen Mittelwert von Funktionen beschreibt den Durchschnitt aller y-Werte in einem bestimmten Zeitraum b 6-a Sf(x/dx = 6-a [F(x)] = b^²-a (F(b)-F(a)) Rotationskörper bezeichnet ein Körper (z. B. Kugel, Kreiskegel oder Zylinder) , der durch die Rotation um eine Achse entsteht x-Achse: V= πY - $ (16)1²³dx Erst quadrieren, dann Stammfunktion bilden. Wenn zB das Volumen eines Sektglas, das nur halbvoll ist, berechnet werden soll, einach das Intervall entsprechend halbieren Bogenlänge bei Funktionen wird benötigt für die Berechnung der Länge eines Parallelbogens, der Kettenlinie, einer Schleife, eines Brückenbogens oder... Bogenlänge s = $√ √ ₁ + ( 1² ( x))³²¹ dx a Bogenlänge 1 Intervall , Intervall FUNKTIONSSCHAR Funktionsterm mit einem weiteren Parameter (z. B. a) außer x, der als fa (x) geschrieben wird Für diesen weiteren Parameter kann jede beliebige Zahl eingesetzt werden, somit stellt eine Funktionsschar unendlich viele Funktion dar. a=-1 -2 -1 2 0 fa(x) = -2x + a a = 5 a=2 3 -2 3 1 -2 0 fa(x) = ax + 4 a= -0,5 a=-2 a = -5 Der Parameter ist zu behandeln wie eine ganz normale Zahl vorallem beim Ableiten wichtig Ortskurve Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen Ortskurve bestimmen: 1. allgemeinen Punkt P(x/y) mit bestimmter Eigenschaft (z. B. Nullstellen, Extrempunkte) in Abhängigkeit von Parameter bestimmen 2. x-Wert nach Parameter umstellen + in y-Wert einsetzen 13. y-Wert => Ortskurve ABSTÄNDE Abstand zwischen zwei Punkten d= √(x₁-x₂)² + (Y₁-Y2)27 Auch für den Abstand Punkt-Graph geeignet, wenn (x / f (x)) als (x₁15) eingesetzt wird Abstand zweier Funktionen Prozentualer Abstand: g(x) d= , wobei sich die Funktionen an der Stelle x nicht nicht schneiden dürfen Senkrechter Abstand: d(x) = g(x)-f(x), wobei g(x) > f(x) gift Entweder • man setzt ein x ein um den Abstand an einer bestimmten Stelle zu erfahren oder • man berechnet die Extrempunkte der Differenzenfunktion d(x) um minimalen oder maximalen Abstand zu erhalten Minimaler/Maximaler Abstand 1. Differenzenfunktion bieden (mit beliebiger Abstandsforme) 2. Extrempunkte der Differenzfunktion bilden Hochpunkt entspricht maximalem Abstand Tiefpunkt entspricht minimalem Abstand 3. Extremstelle (x-Wert) in d(x) einsetzen Ergebnis ist der Abstand