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Analysis + Extremwertaufgaben
10.3.2021
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Leistungskontrolle Analysis 2 x² +9 2x 1) Gegeben ist eine Funktion f durch y = f(x) = (x = D,). Gib den größtmöglichen Definitionsbereich an. Untersuche das Symmetrieverhalten der Funktion. Weise nach, dass die erste Ableitung der Funktion f'(x) = -1/-2/2 ist. Berechne für die Funktion Nullstellen, Polstellen und Extrempunkte. Gib die Art der Extrema an. (12 BE) 9 2) Der Graph der Funktion f mit ƒ(x) = x³ − x² + besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten W( 1 | f(1) ). Bestimme die Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. (5 BE) 3) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt das lokale Maximum (114), hat die Nullstelle XN = -1 und einen Wendepunkt an der Stelle xw = 3. Ermittle die Gleichung der Funktion f. (7 BE) 4) Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = x² · (6− x). Der Punkt P( u | f(u) ) mit 0 < u < 6 liegt auf dem Graphen von f. Die Koordinatenachsen und die Parallelen zu den Achsen durch P bilden ein Rechteck. Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt? (7 BE) 5) Eine Werft stellt Luxusjachten her. Die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Anzahl x der produzierten Jachten lassen sich näherungsweise durch die Funktion K beschreiben mit K(x) = x³9x² + 28x + 25 und 0...
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Alternativer Bildtext:
≤ x ≤ 16 mit K(x) in Millionen Euro. Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten minimal. Wie hoch sind die Stückkosten dann? (5 BE) H. Schulze 2021 Zu 1) D₁ x E R; x = 0 +9 f(x) = -f(-x): x²+⁹ 2x²-18 2x² 4x² 4x² f'(x) = Nullstellen: keine Polstelle: Xp = 0 E₁ (33) E₂ (-3 1-3) Zu 2) f'(x) = x² - 2x => m = -1 W (112) 2-1 + n t: y = -x + 3 wahre Aussage = Zu 4) Skizze A = a*b Minimum Maximum Zu 3) ax³ + bx² + cx + d 3ax² + 2bx +C 6ax + 2b 1 = y = y' = y" a + b + c + d = 4 || 3a + 2b + C ||| -a + b IV 18a + 2b 9 y = f(x) = ²x³ - ² + (-x)² +9 2(-x) 18 1 4x² 2 x² = = 0 c + d = 0 = 0 15 + x + a 8 = 9 x² 25 8 -2x => Punktsymmetrie x² +9 2x wahre Aussage 2 1 1 2 1 ~~ - - 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 12 5 7 A(u) = u. u. ²/1u². (6 – u) Umax = 4,5 Amax = 22,78125 FE Zu 5) Stückkosten = x39x²+28x+25 Min (513) Bei der Produktion von 5 Jachten betragen die Stückkosten 13 Mio €. 3 1 1 2 1 1 1 7 5