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Extremstellen bestimmen (Hintergrundwissen)

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Extremstellen bestimmen (Hintergrundwissen)

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Wie bestimmt man die Extremstellen eine Funktion? Und was hat das alles mit der ersten und zweiten Ableitung zu tun?

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Extremstellen -1.5 -1.5 Maximum O -1 Maximum -0.5 -0.5 0. -2 -6 Sattelpunkt 0 9.5 Sattelpunkt 0 0.5 1 1.5 Minimum 1.5 Minimum Stellt man sich den Graphen als Höhenprofil vor, so sind Extremstellen die Bergkuppen oder Talsenken. Ein lokales Maximum bedeutet nicht, dass es die höchste Stelle im gesamten Gebirge ist, sondern dass diese Stelle (x。) in einer gewissen Umgebung (1) der höchste Punkt ist. Alle Punkte (x) in der Umgebung (1) liegen tiefer. Genauso ist ein lokales Minimum in einer gewissen Umgebung der tiefste Punkt. Definition: Eine Funktion f hat an der Stelle xo ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall I mit x₁ € I gibt, so dass für alle x € I gilt: f(x) ≤ f(xo) Eine Funktion f hat an der Stelle xo ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall I mit xo E I gibt, so dass für alle x = 1 gilt: f(x) ≥ f(xo) Am einfachsten ist es nur alle Punkte zu überprüfen, die eine waagrechte Tangente haben. Wir suchen also alle möglichen Stellen, auf die man auf unserem Gebirge einen Schneemann positionieren könnte, ohne dass er den Hang abrutscht oder umkippt. Für diese Schneemannstellen muss die Steigung und damit die Ableitung Null sein. Daraus lässt sich eine mathematische Anforderung an die Extremstellen formulieren: Notwendiges Kriterium für Extremstellen: Sei eine Funktion f gegeben. Ist an der Stelle x。 ein Maximum oder Minimum, so muss zwingend die Ableitung an dieser Stelle O sein. Es gilt: f'(x)...

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= 0 Diese Definition hat aber einen großen Nachteil. Man kann damit nur zu einer gegebenen Stelle überprüfen, ob es eine Extremstelle ist. Die Definition hilft uns nicht dabei eine Extremstelle zu finden. Da wir nicht alle beliebigen x-Werte überprüfen können, benötigen wir ein Kriterium, um zu wissen, welche x- Werte wir auf der Suche nach Extremstellen nur unter die Lupe nehmen müssen. Aber es bleibt noch ein Problem. Es können sich bei den Kandidaten auch Sattelpunkte einschleichen, die wir noch aussortieren müssen. Außerdem wäre es schön ein Kriterium zu haben, mit dem sich Maxima und Minima unterscheiden lassen. -1.5 Maximum O -1 -0.5 Maximum A -1.5 -0.5 6 2 0 -6 Sattelpunkt 0.5 Sattelpunkt 1.5 Minimum 1.5 Minimum 2 Betrachtet man die Ableitungsfunktion f', so sieht man, dass diese genau an den Stellen, an denen ein Extrempunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt, 0 wird. An den Extremstellen und am Sattelpunkt ist die Ableitung gleich Null, aber an allen Punkten unterscheidet sich der Verlauf der Ableitungsfunktion. An den Extremstellen wechselt die Ableitung das Vorzeichen, während am Sattelpunkt die Ableitung vorher und nachher dasselbe Vorzeichen hat. Erste hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen Die Funktion f sei auf einem Intervall 1 = [a;b] beliebig oft differenzierbar und Xo E I. Wenn f'(x) = 0 ist und f' bei x。 einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat, dann besitzt f an der Stelle xo ein lokales Maximum. Wenn f'(x) = 0 ist und f' bei x。 einen Vorzeichenwechsel von - nach + hat, dann besitzt f an der Stelle x, ein lokales Minimum. Die Ableitungsfunktion f' unterscheidet sich an den unterschiedlichen Kandidatenstellen aber auch in ihrem Monotonie-Verhalten. An einem Maximum ist die Ableitungsfunktion f' streng monoton fallend und an einem Minimum streng monoton steigend. Am Sattelpunkt hat die Ableitungsfunktion f' hingegen einen Extrempunkt und somit Steigung 0. Um die Monotonie einer Funktion zu untersuchen, müssen wir deren Ableitung betrachten. Um nun die Monotonie von f' zu untersuchen, müssen wir f ableiten. Die Ableitung von f' nennt man f". Man spricht dabei von der zweiten Ableitung. Es folgt: Ist f'(x) < 0, dann ist f'(x) streng monoton fallend. Ist f'(x) > 0, dann ist f'(x) streng monoton steigend. Zweite hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen Die Funktion f sei auf einem Intervall 1 = [a;b] beliebig oft differenzierbar und X₁ € (a; b). Wenn f'(x) = 0 und f'(x) < 0 ist, dann besitzt f an der Stelle x。 ein lokales Maximum. Wenn f'(x) = 0 und f‘‘(x) > 0 ist, dann besitzt f an der Stelle x。 ein lokales Minimum. Jetzt haben wir eine Möglichkeit Kandidaten für eine Extremstelle zu finden und eine Möglichkeit diese auf Maximum, Minimum oder Sattelpunkt zu untersuchen. Es geht aber noch eleganter. Jetzt haben wir eine Möglichkeit Kandidaten für eine Extremstelle zu finden und können mit der zweiten Ableitung schnell unterscheiden, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt handelt. Achtung: Ist bei der Überprüfung f'(x)=0, so kann leider keine Aussage getroffen werden und es muss doch eine Über- prüfung auf ein Vorzeichen- wechel von f'(x) stattfinden.

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= 0 Diese Definition hat aber einen großen Nachteil. Man kann damit nur zu einer gegebenen Stelle überprüfen, ob es eine Extremstelle ist. Die Definition hilft uns nicht dabei eine Extremstelle zu finden. Da wir nicht alle beliebigen x-Werte überprüfen können, benötigen wir ein Kriterium, um zu wissen, welche x- Werte wir auf der Suche nach Extremstellen nur unter die Lupe nehmen müssen. Aber es bleibt noch ein Problem. Es können sich bei den Kandidaten auch Sattelpunkte einschleichen, die wir noch aussortieren müssen. Außerdem wäre es schön ein Kriterium zu haben, mit dem sich Maxima und Minima unterscheiden lassen. -1.5 Maximum O -1 -0.5 Maximum A -1.5 -0.5 6 2 0 -6 Sattelpunkt 0.5 Sattelpunkt 1.5 Minimum 1.5 Minimum 2 Betrachtet man die Ableitungsfunktion f', so sieht man, dass diese genau an den Stellen, an denen ein Extrempunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt, 0 wird. An den Extremstellen und am Sattelpunkt ist die Ableitung gleich Null, aber an allen Punkten unterscheidet sich der Verlauf der Ableitungsfunktion. An den Extremstellen wechselt die Ableitung das Vorzeichen, während am Sattelpunkt die Ableitung vorher und nachher dasselbe Vorzeichen hat. Erste hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen Die Funktion f sei auf einem Intervall 1 = [a;b] beliebig oft differenzierbar und Xo E I. Wenn f'(x) = 0 ist und f' bei x。 einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat, dann besitzt f an der Stelle xo ein lokales Maximum. Wenn f'(x) = 0 ist und f' bei x。 einen Vorzeichenwechsel von - nach + hat, dann besitzt f an der Stelle x, ein lokales Minimum. Die Ableitungsfunktion f' unterscheidet sich an den unterschiedlichen Kandidatenstellen aber auch in ihrem Monotonie-Verhalten. An einem Maximum ist die Ableitungsfunktion f' streng monoton fallend und an einem Minimum streng monoton steigend. Am Sattelpunkt hat die Ableitungsfunktion f' hingegen einen Extrempunkt und somit Steigung 0. Um die Monotonie einer Funktion zu untersuchen, müssen wir deren Ableitung betrachten. Um nun die Monotonie von f' zu untersuchen, müssen wir f ableiten. Die Ableitung von f' nennt man f". Man spricht dabei von der zweiten Ableitung. Es folgt: Ist f'(x) < 0, dann ist f'(x) streng monoton fallend. Ist f'(x) > 0, dann ist f'(x) streng monoton steigend. Zweite hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen Die Funktion f sei auf einem Intervall 1 = [a;b] beliebig oft differenzierbar und X₁ € (a; b). Wenn f'(x) = 0 und f'(x) < 0 ist, dann besitzt f an der Stelle x。 ein lokales Maximum. Wenn f'(x) = 0 und f‘‘(x) > 0 ist, dann besitzt f an der Stelle x。 ein lokales Minimum. Jetzt haben wir eine Möglichkeit Kandidaten für eine Extremstelle zu finden und eine Möglichkeit diese auf Maximum, Minimum oder Sattelpunkt zu untersuchen. Es geht aber noch eleganter. Jetzt haben wir eine Möglichkeit Kandidaten für eine Extremstelle zu finden und können mit der zweiten Ableitung schnell unterscheiden, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt handelt. Achtung: Ist bei der Überprüfung f'(x)=0, so kann leider keine Aussage getroffen werden und es muss doch eine Über- prüfung auf ein Vorzeichen- wechel von f'(x) stattfinden.