Kurvendiskussion/ -scharen

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Jahr die Grundstückspreise am höchsten waren und wie hoch der Höchstpreis war. Hochpunkt b) Untersuchen Sie rechnerisch, wann die Grundstückspreise im Zeitraum von 2000 bis 2009 am meisten angestiegen sind. wendepunkt c) In einer Zeitung aus dem Jahre 2009 steht, dass die Grundstückspreise während einer Immobilienkrise von 2007 bis 2009 gesunken seien. Man gehe jedoch davon aus, dass sich die Preise in den Jahren 2010 und 2011 ungefähr auf dem Niveau von 2009 halten können. Aufgabe 6: Niederschlag Prüfen Sie, ob die Funktion f geeignet ist, den in der Zeitung beschriebenen Verlauf für 2010 und 2011 zu beschreiben. Die Funktion r(x)=- 24. September 2019 3. bis 5. Stunde 1 480 ab Mitternacht an. mm (10+5+5=20 Punkte) -x² Bitte wenden!! (4+12+8=24 Punkte) a) Wie viel Regen ist bis 2, 4, 8 Uhr gefallen? (2,4,8) b) Wann war der Regen am stärksten? (Bitte dokumentieren Sie den Lösungsweg ausführlich.) +²gibt die gefallene Menge an Niederschlag in c) Wie viel Niederschlag wäre registriert worden, wenn es ab 1 Uhr für 5 Stunden konstant weiter geregnet hätte. Seite 3 von 4 20120 2 b) wendepunkt not Bed f"(t) = 0. -2₁4x + 5₁4 = 01-5₁4 -2,4x = -5₁4 : (-2.4) | = 2,25 ✓ hin. Bed. f" (x) = 0 ^ f" (+) ±0 -2,4 < 0, also Links - Rechts- wende- punut WP (2,25 | 330,11) Also sind nach 2 Jahren und 3 Monaten die Preise am meisten gestiegen. (2003) c) x=9 X = 10 XEM X= 7 x=8 Y = 356,1 Y 315 Y = 255,3 Y = 392,1 Y 381 Da die Preise von 2010 bis 2011 um ist Knapp 60 € m² sinuen, die Function nicht geeignet um den in der Zeitung beschnebenen Verlauf zu erilaren, weil auch schon von 2007 bis 2009 von sinker gesprochen wird und dies nur 36 gesunuen ist. m² Aufgabe 7: Funktionenuntersuchung Gegeben ist eine Funktionenscharf, mit ƒ.(x) = -√3x²+²x², a>0 (8+5+11+4+10+8=46 Punkte) a) Untersuchen Sie den Graphen von f. auf Symmetrie, Verhalten für Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems. Zugelassene Hilfsmittel: • Grafikfähiger Taschenrechner • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung b) Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von f.. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrem- und Wendepunkte von f.. [Zur Kontrolle: WP (a|2a)] d) Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer Geraden liegen und ermitteln Sie diese. e) Zeichnen Sie den Graphen von fa für a, = 0,5, a₂ = 1 und a3 =2 und -2 ≤x≤ 8. f) Geben Sie die Gleichung der Wendetangente von f₂ an. Unter welchen Winkeln schneidet die Wendetangente die Koordinatenachsen? sem b to und Viel Erfolg! Re Seite 4 von 4 Aufgabe 6: r(x) = x - 480 3 r'(x) = 2x³² - X 120 X=0 ^ a) [(2) = 480 = 2,5 3 "(x) = 4x² - ²x + 2 X 40 ✓²" ( x ) = 1/160 × - ²² = b) r (4) = 0 124 15 r(8)= ㅅ 4850 15 0 unr mm = 22,4 m² 4 do 4 mm m² 3 3 2 x ³ + ³ x ² x² + ³x > mm 4-2 mm m² m² J 15 15 • 4 3 3 + + + 3 8³- to 33.2² 3.4² 2 N flw. TE 4 Ir'(x) in eingeben I Shift →> G-Solv -> Max (F2) 8² Am stalusten war der Regen 6 uhr mit 3,6 GTR in Graph function weitere Lösungen S.9 3 8 Name: Emily Pothemann 1. Klausur (Teil 1 - hilfsmittelfrei) Themen: Kurvendiskussion (ganzrationaler) Funktionen, Funktionenscharen, Tangenten, Normalen Bearbeitungszeit: max. 35 Minuten Beachte: b) Aufgabe 1: Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen von a) f(x)=7x²-2,5x³+x c) Leistungskurs Mathematik Q1/1. Halbjahr Fachlehrerin: d) Alle Rechenwege müssen nachvollziehbar notiert werden. Zeichnen Sie sauber mit Blei- oder Buntstift und Geodreieck. f(x)= -3 4x-³-3 f(x) = -12x-4 F"(x) = 48x5 f(x)=x+3x² -3 f'(x) = -2x = ²³ A f'(x) = -4x² 5 + f'(x) = 20x² + f(x)=√x+³x²+² f'(x) = { x ² + 1 × -1,5 F"(x) = - 4x Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x)=- 12 n(x) = mx +n f'(x) = 28x²³-7₁5x² +^~ f"(x)=84x² - 15 X V m ㅅ 1666-2.1-3 = ✓ (6 Punkte) Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y=x-3,5 die Normale (= Senkrechte zur Tangente) an K im Punkt P (1|f(1)) ist. *= F(x) P (11-3) f(₁) = 1/2 -4 = -3 ✓ m + - 3 = 6 1/1/20 3,5 Bitte wenden!! 2₁5= n 24. September 2019 3. bis 5. Stunde = SS von 30 Punkten + -4 . Ihr Graph ist K. 672 + 1 - 3=62²²2 · 1+n 1 +n | + 1/1/20 (2+3+3+3 Punkte) 8 3 3x x² MIM (✓) n(x) = -1/2 ×-25 FF 5,5/6 Seite 1 von 4 (3+3 Punkte) Aufgabe 3: Geschwindigkeit auf der Achterbahn Der Graph zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Wagens einer Achterbahn, nachdem er vom höchsten Punkt der Bahn zum ersten Mal "in die Tiefe" stürzt. a) Beschreiben Sie die Fahrt mit eigenen Worten. Am höchsten Punkt der Achterbahn ist die Geschundigheit om h Bis ungefähr 5.5 S steigt des Graph also die Geschwindig- lait monoton und erreicht dort che Höchstgeschwindigkeit. Danach verwert der Lagen an Geschwindigkeit und der Graph fall monoton. ✓ b) Der Steigungsgraph stellt die Geschwindigkeits- änderung (= Beschleunigung) in Abhängigkeit von der Zeit dar. 316 Zeichnen Sie den zugehörigen Steigungsgraphen. x Extrema f'(x) = -2x + 32 m Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktionenschar f. mit f(x)= -x²+3ax-6a+4 -2x + 3a = 01-3d - 2x not. Bed. f'(x) = O a) Zeigen Sie, dass alle Graphen durch den Punkt P (210) laufen. 0=-2² +3·2-62+4 0=3a-2-62. 62 - 62 0 = -4 +32 2-62 +4 b) Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von f, in Abhängigkeit von a. -32 | (-2) = 152 ✓ -2<0 16 2 fehlt - = in hin. Bed. f '(x) = 0 ^ f" (x) + O 1 f"(x) = -2 u (2+5 Punkte) F (152)-(1,5a)² + 3a-(-1,5a) - 6a+ 4 2₁25a² -(1.5 2)² + (-4,53) - 6a + 4 -- 8 = -(1,52)² - 10,5a +4 2 -11,52² - 4,52 - 62 +4 2₁25a²=6a+4 HP (1.52 1-1,5 2²-10,52+4) tin s 617 (-3) Seite 2 von 4 Du musst die um Steigung 1 Wer verwenden. (-2) 22124 r (1) = 100 480 0,69 0,69+069 1,38 1,38 + 0,69 = 2,07 2₁07 + 0,69 = 2,76 2,76 + 0,69 = 3,45 3,45 +0,69 Aufgabe 7: (2) Die Funktion · 14 - //. 1³ + 15 (1) = mm m² mm. fa" (x). mm M² -m² mm m² bei 2 uhr mm m² = 4,14 mm M² د راه für x→∞ gilt fa(t) -> für x→7-00 gilt fa(t) -> bei b) f₂ (x) = -√²2 x ³ + ³² x ² 3 bei Hatte es 5 Stunden 1 Uhr weitergeregnet wären 4,14 registrest worden. f₂ ( x ) = - ³/²₂ x ² + = x ✓ 6 a bei bei konstant nach . 82 ist reder Sie punut - noch Achsensymmetrisch, da er geodle und ingerade Exponenten hat. ✓ 3 Ohr и спр 5 Unr 6 Uhr. - ∞ m² ✓ Untersuchung X-Achse (Schnittpunute): Ov; 3av fehlt (-2) y-Achse (Schnittpunkte): Or ✓ c) Extrema not. Bed f'(x) = O v 0 x = 0 ~ 1 : (0) 3 2 X + 6 2² X 2 - 662 x = 0 32 X XI 23 2 14 J ㅎㅎㅎ | X = X2 = O 17 6. __12 010 +17 1+ 9 23 hin. Bed. f (x) =ㅇㅅf" (x) + Ov 6 이 122 2 (1) ² a x + + v 2a+ 2 6 23 3(a < O = X^12 20 B(20): - 1.223-3-202 233 2 = - 22 + 62 + HP (23 | ua) v >o TP (010 (010) 692 -407 031 fo (0) - - 12 2 210 02 s Wendepunkt not. Bed. f₁" (+)=0 oul - 10/20 6 1 :( - 1/2 ) 6 5 5. X + 2 d 2² x X x 11 1 22 4 =- D hin. Bed. f₂" (x)=0 ^ £₂" ( x ) = 0 22 <0 Links <0 Linus - Rechts - WP 2² WP (2|2a) ~ 3 3 fa(: a) = = =/³² - 2²³ + ³. 2² 62² 6 3 2² م اف 22 y=Qx ✓ S + 32² 2 + 32 Ortstorve Ix-koordinate nach a auflösen. II a in y-koordinate einsetzen und vereinfachen ✓ e (e) -2 Y₁ A O A 05 2 3 - ²2² × 2x DEA f) Tangente im Wendepunkt Wendepunkt AF2 14 f₂" (x) = not. Bed. f₂" (x) = 0 3 2 X +3=01-3 ㅅ 3 3 £₂ (x) = = = x³ + x² X 2² 2 3 3 2 F₂(x) = - 4 x ³ + ³² x ³² = -³ 1 :( 3² ) =-3 2 3 2 f₂(x) = -√√x² + 3x X f₂" (x)= ( 2 8 3 MIN x + 3 X u 2 V S ✓ hin. Bed. F₂ "(x) = 0 ^ £₂" (+) +0 Linus. Rechts 3<0 WP. WP (214) 2 f₂ (2) = -4 · 2³ + 2/3 - 2 ² 23 를 슨 J J - 4 = 14 -2+6 t(x) = mx +n f₂² (2) A 1 8 + 13/3/201 (1 = == √ ₁2²₁ +3-2 4 ✓ F -2=n 3/1.4 +6 = −3+6 3:2+n 4 = 6+n S IN 1-6 J t(x) = 3x - 2 ✓ tan α = m = 3 tan1 (3) = 71, 57° ✓ Die wendetangente Schneidet die Koordinaterachsen unter den Winkel von 71, 57° Aufgabe 6: b) Man muss dre este Ableitung verwen- den, da diese dure Steigung und somit stärkste Steigung (stäruster auch die Regen) angibt. Danach sucht man den Hochpunlit esten Ableiting, da dieser die staruste Steigung (stacuter Regen) angibt. Da belommt man für x = 6 für y = 3,6 raus. Also war der 6 Uhr am starusten. Regen um Tolle listing! Z109.51120 P. (91,25%) una Sehr gut (1) (14 Punkte) 28.09.2013 Schnittwinkel y-Achse mit fehen (-1) 42146