Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Bei einer Kurvendiskussion gehst du systematisch vor, um alle wichtigen Merkmale einer Funktion zu finden. Wie du siehst, beginnt man mit den Ableitungen der Funktion.

Die notwendige Bedingung für Extrema ist f'(x) = 0. Hier wurde für die Funktion f(x) = -0,4x³ + 2,7x² + 16x + 285 die erste Ableitung berechnet und nullgesetzt: f'(x) = -1,2x² + 5,4x + 16 = 0

Mit der pq-Formel erhält man die Lösungen x₁ = 6,54 und x₂ = -2,04. Durch Einsetzen in die zweite Ableitung f"(x) = -2,4x + 5,4 prüft man, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

💡 Ein negativer Wert der zweiten Ableitung bedeutet einen Hochpunkt (VHP), ein positiver Wert einen Tiefpunkt (TP).

Die Aufgabe beschreibt die Entwicklung der Grundstückspreise seit 2000, wobei x = 0 dem Jahr 2000 entspricht. Der Hochpunkt (6,54 | 393,23) zeigt, dass die Preise im Jahr 2006 mit 393,23 €/m² am höchsten waren.

Kurvendiskussion mit Anwendungsbeispielen

Bei dieser Klausur geht es um das Thema Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen mit praxisnahen Anwendungen. Die Aufgaben umfassen die Analyse von Grundstückspreisen, Niederschlagsmengen und allgemeine Funktionenscharen.

Die Aufgabe 5 modelliert die Entwicklung der Grundstückspreise von 2000 bis 2009 durch eine ganzrationale Funktion. Du siehst hier einen typischen Anwendungsfall, bei dem mathematische Methoden reale Entwicklungen beschreiben.

Die weiteren Aufgaben behandeln die Analyse von Niederschlagsmengen und allgemeine Funktionsuntersuchungen. Besonders wichtig ist es, bei solchen Anwendungsaufgaben nicht nur die mathematischen Ergebnisse zu berechnen, sondern diese auch im Kontext zu interpretieren.

💡 Bei Anwendungsaufgaben musst du deine mathematischen Ergebnisse immer in den realen Kontext übersetzen!

Du solltest bei diesen Aufgaben besonders auf saubere Rechenwege und ordentliches Zeichnen mit Geodreieck achten.

Wendepunkte und Interpretation

Bei einer Kurvendiskussion ist die Bestimmung von Wendepunkten ein wichtiger Schritt. Die notwendige Bedingung dafür ist f''(x) = 0.

Für die Grundstückspreisfunktion erhalten wir: f''(x) = -2,4x + 5,4 = 0 x = 2,25

Die hinreichende Bedingung (f'''(x) ≠ 0) ist mit f'''(x) = -2,4 < 0 erfüllt. Damit haben wir einen Links-Rechts-Wendepunkt bei (2,25 | 330).

Dies bedeutet im Kontext der Preisentwicklung Immobilien, dass nach 2 Jahren und 3 Monaten (also 2002) die Preise am stärksten gestiegen sind.

Für die Teilaufgabe c) wurde überprüft, ob die Entwicklung Grundstückspreise mit der Aussage einer Zeitung übereinstimmt. Durch Berechnung der Funktionswerte für x = 7 bis x = 11 (Jahre 2007-2011) zeigt sich, dass die Preise stärker fallen als in der Zeitung beschrieben. Die Funktion ist daher nicht geeignet, um den behaupteten Verlauf zu beschreiben.

💡 Wendepunkte zeigen dir, wann die Änderungsrate am größten ist – wichtig für die Interpretation von Wachstumsprozessen!

Funktionenscharen und Tangenten

In Aufgabe 7 wird eine Funktionenschar f_a(x) = -1/a · x³ + 3x² mit a > 0 untersucht. Bei solchen Aufgaben musst du die Analyse für beliebige Parameter durchführen.

Typische Untersuchungsschritte bei einer Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion sind:

1. Symmetrie und Verhalten für x → ±∞
2. Schnittpunkte mit den Achsen
3. Bestimmung der Ableitungen
4. Berechnung von Extrem- und Wendepunkten
5. Besonderheiten wie die Lage aller Wendepunkte auf einer Geraden

Zudem werden die Tangente und Normale an Funktionsgraphen untersucht. Die Wendetangente hat besondere Bedeutung, da sie den Graphen nur in einem Punkt berührt und dort die gleiche Steigung wie die Funktion hat.

💡 Bei Funktionenscharen kannst du oft allgemeine Aussagen über alle Funktionen der Schar treffen, z.B. dass alle Wendepunkte auf einer Geraden liegen!

Die zeichnerische Darstellung verschiedener Funktionen aus der Schar hilft dir, die gemeinsamen Eigenschaften visuell zu erfassen.

Niederschlagsanalyse mit Ableitungen

Die Aufgabe 6 befasst sich mit einer Funktion r(x), die die gefallene Niederschlagsmenge in mm/m² seit Mitternacht beschreibt. Hier siehst du, wie die Differential- und Integralrechnung praktisch angewendet wird.

Zunächst werden die Ableitungen der Funktion bestimmt: r(x) = 1/480 · x⁴ - 1/15 · x³ + 3/4 · x² r'(x) = 1/120 · x³ - 1/5 · x² + 3/2 · x r''(x) = 1/40 · x² - 2/5 · x + 3/2 r'''(x) = 1/20 · x - 2/5

In Teilaufgabe a) werden die Niederschlagsmengen zu bestimmten Uhrzeiten berechnet:

• Um 2 Uhr: 2,5 mm/m²
• Um 4 Uhr: 12,4 mm/m²
• Um 8 Uhr: 22,4 mm/m²

Für Teilaufgabe b) ist die erste Ableitung entscheidend, da sie die Regenintensität angibt. Der stärkste Regen fiel um 6 Uhr mit 3,6 mm/m² pro Stunde.

💡 Die erste Ableitung einer Niederschlagsfunktion gibt die Regenintensität an – also wie stark es in diesem Moment regnet!

Tangenten und Normalen

Der hilfsmittelfreie Teil der Klausur beginnt mit Ableitungsaufgaben verschiedener Funktionstypen. Die korrekte Anwendung der Ableitungsregeln ist eine Grundvoraussetzung für die Kurvendiskussion.

In Aufgabe 2 geht es um die Normale einer Geraden. Bei der Funktion f(x) = -1/2 · x² - 4 sollst du zeigen, dass die Gerade y = x - 3,5 die Normale im Punkt P(1|-3) ist.

Zur Erinnerung: Die Normale steht senkrecht zur Tangente. Wenn die Tangente die Steigung m hat, hat die Normale die Steigung -1/m. Hier ist die Steigung der Tangente: f'(1) = -1 · 1 = -1

Die Normalengleichung hat somit die Steigung 1. Mit dem Punkt P(1|-3) ergibt sich: n(x) = 1 · x + n -3 = 1 · 1 + n n = -4

💡 Bei der Berechnung von Tangente und Normale musst du immer die Steigung über die erste Ableitung bestimmen und dann den Punkt einsetzen!

Die Gerade y = x - 3,5 hat jedoch n = -3,5, was nicht mit der berechneten Normalengleichung übereinstimmt. Hier liegt ein Fehler in der Lösung vor.

Geschwindigkeit und Funktionenscharen

In Aufgabe 3 analysierst du ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer Achterbahn. Solche Grafiken sind wichtig für das Verständnis von Tangente und Normale im Kontext von Bewegungen.

Die Geschwindigkeit beginnt bei 0 m/s am höchsten Punkt der Achterbahn, steigt dann monoton an bis zum Zeitpunkt t = 5,5 s, wo sie die Höchstgeschwindigkeit erreicht. Danach nimmt die Geschwindigkeit wieder monoton ab.

In Aufgabe 4 geht es um eine weitere Funktionenschar f_a(x) = -x² + 3ax - 6a + 4. Du sollst zeigen, dass alle Graphen durch den Punkt P(2|0) laufen, indem du P in die Funktionsgleichung einsetzt und zeigst, dass die Gleichung unabhängig von a erfüllt ist.

Dann werden die Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter a berechnet:

• Die notwendige Bedingung f'(x) = 0 liefert x = 1,5a
• Mit der hinreichenden Bedingung f''(x) = -2 < 0 handelt es sich um einen Hochpunkt mit den Koordinaten (1,5a | -1,5a² - 10,5a + 4)

💡 Kurvendiskussion Beispiele mit Lösungen wie diese sind perfekt, um die systematische Vorgehensweise zu üben und typische Aufgabenstellungen zu verstehen!

Konstanter Niederschlag und Funktionenscharen

Bei Teilaufgabe c) der Niederschlagsaufgabe sollst du berechnen, wie viel Niederschlag registriert worden wäre, wenn es ab 1 Uhr für 5 Stunden konstant weitergeregnet hätte.

Die Lösung zeigt eine vereinfachte Berechnung, bei der die konstante Regenintensität mit 0,69 mm/m² angenommen wird:

• Bei 2 Uhr: 1,38 mm/m²
• Bei 3 Uhr: 2,07 mm/m²
• Bei 4 Uhr: 2,76 mm/m²
• Bei 5 Uhr: 3,45 mm/m²
• Bei 6 Uhr: 4,14 mm/m²

Bei Aufgabe 7 beginnt die Analyse der Funktionenschar f_a(x) = -1/a · x³ + 3/a · x². Hier wurden die Eigenschaften der Funktion untersucht:

1. Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch, da sie gerade und ungerade Exponenten enthält
2. Das Verhalten für x → ±∞ wurde korrekt bestimmt
3. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen liegen bei x = 0 und x = 3a

💡 Bei der Untersuchung von Funktionenscharen musst du die Ergebnisse immer in Abhängigkeit vom Parameter a angeben!

Extrema und Wendepunkte bei Funktionenscharen

Für die Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktionen ist es wichtig, die Ableitungen sorgfältig zu berechnen und die Extrempunkte zu bestimmen.

Bei Aufgabe 7c suchst du die Extrema der Funktionenschar:

1. Nullsetzen der ersten Ableitung: f'_a(x) = -3/a² · x² + 6/a · x = 0
2. Umformen zu: x² - 2ax = 0
3. Faktorisieren: x(x - 2a) = 0
4. Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = 2a

Mit der zweiten Ableitung f''_a(x) = -6/a² · x + 6/a prüfst du:

• Für x = 2a: f''_a(2a) < 0, also Hochpunkt bei (2a | 4a)
• Für x = 0: f''_a(0) > 0, also Tiefpunkt bei (0 | 0)

Diese Art von Kurvendiskussion Aufgaben mit Lösungen zeigt dir den systematischen Weg zur vollständigen Analyse einer Funktionenschar.

💡 Bei Funktionenscharen musst du immer bedenken, dass die Koordinaten der besonderen Punkte vom Parameter a abhängen!

Wendepunkte und Ortskurven

Die Berechnung von Wendepunkten ist ein wichtiger Schritt bei der Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion. Hier wird der Wendepunkt der Funktionenschar bestimmt:

Die notwendige Bedingung f''_a(x) = 0 liefert: -6/a² · x + 6/a = 0 x = a

Mit der hinreichenden Bedingung (f'''_a(x) ≠ 0) und f'''_a(x) = -6/a² < 0 ist dieser Punkt ein Links-Rechts-Wendepunkt bei (a | 2a).

Die Überprüfung der y-Koordinate: f_a(a) = -1/a² · a³ + 3/a · a² = -a + 3a = 2a

Dann wird die Ortskurve der Wendepunkte bestimmt. Da der Wendepunkt die Koordinaten (a | 2a) hat, und a = x (x-Koordinate), ist y = 2x die Gleichung der Ortskurve.

💡 Die Ortskurve zeigt, wo alle Wendepunkte einer Funktionenschar liegen - hier auf der Geraden y = 2x!