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Emily🤍
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11/12/10
Klausur
•Kurvendiskussion ganzrationlaer Funktionen •Kurvenscharen •Tangenten •Normalen
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Name: Emily Rothemann Leistungskurs Mathematik Q1/1. Halbjahr Fachlehrerin: Beachte: 1. Klausur (Teil 2) Themen: Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen, Funktionenscharen, Tangenten, Normalen Aufgabe 5: Baupreise Die Entwicklung der Preise für Baugrundstücke in einer deutschen Großstadt in Euro pro Quadratmeter kann für die Jahre 2000 bis 2009 näherungsweise durch die Funktion f(x)=-0,4x³+2,7x²+16x+285 beschrieben werden, wobei x = 0 dem Jahr 2000 und x = 9 dem Jahr 2009 entspricht. mm 2 Alle Rechenwege müssen nachvollziehbar notiert werden, GTR nur als Hilfe, sofern die Aufgabenstellung nichts anderes besagt. Zeichnen Sie sauber mit Blei- oder Buntstift und Geodreieck. a) Bestimmen Sie rechnerisch, in welchem Jahr die Grundstückspreise am höchsten waren und wie hoch der Höchstpreis war. Hochpunkt m b) Untersuchen Sie rechnerisch, wann die Grundstückspreise im Zeitraum von 2000 bis 2009 am meisten angestiegen sind. Wendepunkt c) In einer Zeitung aus dem Jahre 2009 steht, dass die Grundstückspreise während einer Immobilienkrise von 2007 bis 2009 gesunken seien. Man gehe jedoch davon aus, dass sich die Preise in den Jahren 2010 und 2011 ungefähr auf dem Niveau von 2009 halten können. Aufgabe 6: Niederschlag 24. September 2019 3. bis 5. Stunde Prüfen Sie, ob die Funktion f geeignet ist, den in der Zeitung beschriebenen Verlauf für 2010 und 2011 zu beschreiben. Die Funktion r(x)=- x 1 480 ab Mitternacht an. mm 2 (10+5+5=20 Punkte) 1 15 Bitte wenden!! (4+12+8=24 Punkte) a) Wie viel Regen ist bis 2, 4, 8 Uhr gefallen? f (2,4,8) b) Wann war der Regen...
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am stärksten? (Bitte dokumentieren Sie den Lösungsweg ausführlich.) x¹+x² gibt die gefallene Menge an Niederschlag in c) Wie viel Niederschlag wäre registriert worden, wenn es ab 1 Uhr für 5 Stunden konstant weiter geregnet hätte. m Seite 3 von 4 Aufgabe 7: Funktionenuntersuchung Gegeben ist eine Funktionenscharƒ. mit_ƒ.(x)=- (8+5+11+4+10+8=46 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: . Grafikfähiger Taschenrechner Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 3 3x², a>0 . x² + a a) Untersuchen Sie den Graphen von fa auf Symmetrie, Verhalten für Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems. b) Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von fa. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrem- und Wendepunkte von fa. [Zur Kontrolle: WP (a|2a)] d) Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer Geraden liegen und ermitteln Sie diese. e) Zeichnen Sie den Graphen von fa für a, = 0,5, a₂ = 1 und a3 = 2 und -2 ≤ x ≤ 8. f) Geben Sie die Gleichung der Wendetangente von f2 an. Unter welchen Winkeln schneidet die Wendetangente die Koordinatenachsen? Viel Erfolg! Re ±x und Seite 4 von 4 C Name: Emily Pothemann 1. Klausur (Teil 1 - hilfsmittelfrei) Themen: Kurvendiskussion (ganzrationaler) Funktionen, Funktionenscharen, Tangenten, Normalen Bearbeitungszeit: max. 35 Minuten Beachte: a) Aufgabe 1: Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen von f(x)=7x¹-2,5x³+x b) c) d) Leistungskurs Mathematik Q1/1. Halbjahr Fachlehrerin: 1 √(x)==-3 4x²-³3³-3 f(x)=1/ <-4 m -3 f'(x) = -2x = ³ 4²₂ Alle Rechenwege müssen nachvollziehbar notiert werden. Zeichnen Sie sauber mit Blei- oder Buntstift und Geodreieck. f'(x) = -12x=4 F"(x) = 48 * - 5 * n(x) = mx +n f'(x) = -4x² 5 + f'(x) = 20x² + 3 f'(x)= 28x²³ - 7,5x² +^~ f"(x)=84x² - 1S X V 2 ƒ(x)=√x + √ x ² x ² + x² f'(x) = 1 × 2 + 1 × X 2 -1,5 24. September 2019 3. bis 5. Stunde SS von 30 Punkten + m ^ 1666) = --2-1-3 -3=621/²2 · 1+n - 3 = 6 1/1/²2 +n | + 12/1/2 3,5 Bitte wenden!! 2₁5= n (2+3+3+3 Punkte) 8 3 3x 42 f" ( x ) = - 4 x -4 Ihr Graph ist K. (6 Punkte) Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x)= Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y=-x-3,5 die Normale (= Senkrechte zur Tangente) an K im Punkt P (11ƒ(1)) ist. 1 (^(²x) P (11-3) 5 (1) 4-4 = f'(x₂) 81414 2 x²² ✓ (✓) MIM -3 n(x)=x-25 5,516 Seite 1 von 4 FF (3+3 Punkte) Aufgabe 3: Geschwindigkeit auf der Achterbahn Der Graph zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Wagens einer Achterbahn, nachdem er vom höchsten Punkt der Bahn zum ersten Mal "in die Tiefe" stürzt. a) Beschreiben Sie die Fahrt mit eigenen Worten. Am höchsten Punkt der Achterbahn 문. ist die Geschundigheit om h Bis ungefans S.SS steigt 16+ des Graph also die Geschwindig- heit monoton und erreicht dort Höchstgeschwindigkeit. Danach verwert der Lagen an Geschwindigkeit und der Graph fall monoton. b) Der Steigungsgraph stellt die Geschwindigkeits- änderung (= Beschleunigung) in Abhängigkeit von der Zeit dar. Zeichnen Sie den zugehörigen Steigungsgraphen. f'(x) = -2x + 32 m Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktionenschar f. mit f(x)= -x²+3ax-6a+4 . -2x + 3a = 01-3d -2x = -3ǝ|:(-2) = 1,52 ✓ 8- ・fehlt a) Zeigen Sie, dass alle Graphen durch den Punkt P (210) laufen. 0=-2² +32-2-62+4 O= 32²2-62 v in = - 0=0 0=-4+32-2-62 +4 0 = 62 - 62 b) Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a. Extrema not. Bed. f'(x) = 0 6 hin. Bed. f '(x) = 0 ₁ f" (x) + 0 f"(x) = -2 ✓ 8 (2+5 Punkte) f (1,5a)--(1,5a)² + 3a⋅ (-1,5a) - 6a+ 4 21250² - (1.5 2² + us a (-4,53) - 62 +4-- = -(1,52)² - 10,5a +4 2,₁25a²= 6a+4 -2 <0 HP (1,52 1-1.5 3² -10,52+4) tin s 316 11,52²-4₁52- 62 +4 617 (-3) Seite 2 von 4 Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁7 x ² + 16x + 285 f'(x) = − 1,2 x ² + 5,4x + 16 ~ f" (x) = -2,4x + 5,4 f (x) = -2,4 1. Klausur −1,2x² + 5,4x + 16 = 0 ✓ | = (-1,²) ~ 1 x² - 4,5 x 3 40 4,5 2 +1] 225 ± 1 (4,5)² + 1/ #1 3 4,29 = X1,2 X₁₂₁ = 2₁25 + 4,29 H 6,54 X₂ = 2,25 - 4,29 = -2,04 C =X1₁² HP (6,54/393, 23) TP (-2,04 (266, aa) → Tpg Formel hin. Bed. f'(x) = 0 ^ f" (x) = 0 - 2₁4x + 5₁4 = f'(x) f" (x₁) = -2₁4⋅ 6,54 +5,4 f" (x₂) = -2₁4・ - 2,04 +5₁4 S 24.09.2019 f(x) = -Q4 x ³ + 2,7 x ³² 16 x 15 +285 Siso = -10, 296 <0,VHP 2150 = 10, 296 > 0,YTP legt nicht im Bereich (vor Jahr 2000) im 6. Jahr (2006) oute Grund- Also Laren im stucuspreise mit 393,23 € om höchsten. m² ^ 20120 2 b) Gendepunkt not -2₁4x + 5₁4 = 01-5₁4 -2,4x -5₁4 | X = 2,25 hin. Bed. f" (x) = 0 Bed F"(x) = 0 c) x=9 -2,4 < 0, also Links - Rechts- wende- punkt X = 10 XEM WP (2.25 | 33011) Also sind nach 2 Jahren und 3 Monaten die Preise am meisten gestiegen. (2003) Xx=7 x=8 : (-2,4) y = 356,1~ Y = 315 y = 255,3 Y y = 392, 1 Y = 381 ^ f" ( + ) ±0 Da die Preise von 2010 bis 2011 um Knapp 60 € m² ✓ nicht geeignet un beschnebenen Verauf zu erilaren, weil auch schon von 2007 bis 2009 von sinuer gesprochen wird und dies nur 36 m² gesunuen ist. ✓ sinuen, ist die Function den in der Zeitung Aufgabe 6: r(x) = 4x4 X4 480 r'(x) = 120 r²" (x) = 1/160 40 b) "/ so X ङ ✓"" ( x ) = 2/10² x - ²² 3 71 1/ T X=0 = 0 unr a) [(2) = 0·2² - 480 2,5 r (4) = 1/30-4 124 15 1 ^ 480 15 1 5 2 mm 2 m² = 22,4 X mm m² 8 X + P mm 2 m 3 3 2 s l 15 + THA ^ 15 + 3 2 MIJ MIN 3 2 प 3 3 8 S X X 3 + 2 + S 3.3 33-23 3 2 42 J 8² I r'(x) in eingeben II Shift →> G-Solv -> Max (F2) GTR in Graph function Am starusten war der Regen 6 uhr mit 3,6 mm m² Weitere Lösungen S.9 3 Du musst dhe Steigung 1 Uhr verwenden. (-2) untersuchung fehlt (-2) 4 c) r (₁) = 480 (1) 0,69+069 1,38 + 0,69 = 2₁07 + 0,69 = Aufgabe 7: 2) Die Funktion 22124 registrest worden. ^ 1,38 2,07 mm 2,76 m² 2,76 + 0,69 = 3,45 mm m². 3,45 + 0,69 = 4,14 mom Frompo olo oro S mm 0,69 m² 3 b) f(x) = -√2² x ³ fa'(x) = X 15 nach Hatte es 5 Stunden 1 Uhr beturgregnet wären 4,14 mm N 3. ^ + mm. me + 3 ist creder punut - noch Achsensymmetrisch, as er geable und ob Sue дете ingerade Exponenten hat. ✓ + mm m² für x→ ∞ gilt fa(t) -> für x →7-00 gilt fa(x) -> ∞0 mirolo X-Achse (Schnittpunute): Ov; Bav Y - Achse (Schnittpunkte): Or bei bei 5 Uhr m² bei 6 Uhr. constant 3.1² +² د داد f₂" (x) = - = x + ²/1 ✓ fa" (x) = bei 2 uhr bei 3 Ohr 4 Unr A ✓ 8 c) Extrema 2 6 3/2 × ² + 1 × = 0 ✓ | :( - ) X 2² -62² X = 0 32 дах 2 X 1 X 1 22 2 a 2 - X₁ = x₂ = 0 6 2² 12 2 +17 1+ م اف 22 م او not. Bed. F: (+) = 0 ✓ f (22) а + hin. Bed. f (x)=0 ^_f" (x) *0 6 16/12 x + 10/10 X 2² 122 +6 2a S 2 < 0 2a + سرن C 2 11 O = X ₁₁ 2 9 = X 1,2 22 HP f₂ (2a)= 233 11 10+ f 응 TP (01 2² P (2a|ua). = 22 +62 (1 ✓ ㅅ + 42✓ fa (0) = -1/1/2.0³+3/ =6 3 Za + 2 वे 622 2 -20² " ·0² 5
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am stärksten? (Bitte dokumentieren Sie den Lösungsweg ausführlich.) x¹+x² gibt die gefallene Menge an Niederschlag in c) Wie viel Niederschlag wäre registriert worden, wenn es ab 1 Uhr für 5 Stunden konstant weiter geregnet hätte. m Seite 3 von 4 Aufgabe 7: Funktionenuntersuchung Gegeben ist eine Funktionenscharƒ. mit_ƒ.(x)=- (8+5+11+4+10+8=46 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: . Grafikfähiger Taschenrechner Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 3 3x², a>0 . x² + a a) Untersuchen Sie den Graphen von fa auf Symmetrie, Verhalten für Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems. b) Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von fa. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrem- und Wendepunkte von fa. [Zur Kontrolle: WP (a|2a)] d) Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer Geraden liegen und ermitteln Sie diese. e) Zeichnen Sie den Graphen von fa für a, = 0,5, a₂ = 1 und a3 = 2 und -2 ≤ x ≤ 8. f) Geben Sie die Gleichung der Wendetangente von f2 an. Unter welchen Winkeln schneidet die Wendetangente die Koordinatenachsen? Viel Erfolg! Re ±x und Seite 4 von 4 C Name: Emily Pothemann 1. Klausur (Teil 1 - hilfsmittelfrei) Themen: Kurvendiskussion (ganzrationaler) Funktionen, Funktionenscharen, Tangenten, Normalen Bearbeitungszeit: max. 35 Minuten Beachte: a) Aufgabe 1: Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen von f(x)=7x¹-2,5x³+x b) c) d) Leistungskurs Mathematik Q1/1. Halbjahr Fachlehrerin: 1 √(x)==-3 4x²-³3³-3 f(x)=1/ <-4 m -3 f'(x) = -2x = ³ 4²₂ Alle Rechenwege müssen nachvollziehbar notiert werden. Zeichnen Sie sauber mit Blei- oder Buntstift und Geodreieck. f'(x) = -12x=4 F"(x) = 48 * - 5 * n(x) = mx +n f'(x) = -4x² 5 + f'(x) = 20x² + 3 f'(x)= 28x²³ - 7,5x² +^~ f"(x)=84x² - 1S X V 2 ƒ(x)=√x + √ x ² x ² + x² f'(x) = 1 × 2 + 1 × X 2 -1,5 24. September 2019 3. bis 5. Stunde SS von 30 Punkten + m ^ 1666) = --2-1-3 -3=621/²2 · 1+n - 3 = 6 1/1/²2 +n | + 12/1/2 3,5 Bitte wenden!! 2₁5= n (2+3+3+3 Punkte) 8 3 3x 42 f" ( x ) = - 4 x -4 Ihr Graph ist K. (6 Punkte) Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x)= Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y=-x-3,5 die Normale (= Senkrechte zur Tangente) an K im Punkt P (11ƒ(1)) ist. 1 (^(²x) P (11-3) 5 (1) 4-4 = f'(x₂) 81414 2 x²² ✓ (✓) MIM -3 n(x)=x-25 5,516 Seite 1 von 4 FF (3+3 Punkte) Aufgabe 3: Geschwindigkeit auf der Achterbahn Der Graph zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Wagens einer Achterbahn, nachdem er vom höchsten Punkt der Bahn zum ersten Mal "in die Tiefe" stürzt. a) Beschreiben Sie die Fahrt mit eigenen Worten. Am höchsten Punkt der Achterbahn 문. ist die Geschundigheit om h Bis ungefans S.SS steigt 16+ des Graph also die Geschwindig- heit monoton und erreicht dort Höchstgeschwindigkeit. Danach verwert der Lagen an Geschwindigkeit und der Graph fall monoton. b) Der Steigungsgraph stellt die Geschwindigkeits- änderung (= Beschleunigung) in Abhängigkeit von der Zeit dar. Zeichnen Sie den zugehörigen Steigungsgraphen. f'(x) = -2x + 32 m Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktionenschar f. mit f(x)= -x²+3ax-6a+4 . -2x + 3a = 01-3d -2x = -3ǝ|:(-2) = 1,52 ✓ 8- ・fehlt a) Zeigen Sie, dass alle Graphen durch den Punkt P (210) laufen. 0=-2² +32-2-62+4 O= 32²2-62 v in = - 0=0 0=-4+32-2-62 +4 0 = 62 - 62 b) Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a. Extrema not. Bed. f'(x) = 0 6 hin. Bed. f '(x) = 0 ₁ f" (x) + 0 f"(x) = -2 ✓ 8 (2+5 Punkte) f (1,5a)--(1,5a)² + 3a⋅ (-1,5a) - 6a+ 4 21250² - (1.5 2² + us a (-4,53) - 62 +4-- = -(1,52)² - 10,5a +4 2,₁25a²= 6a+4 -2 <0 HP (1,52 1-1.5 3² -10,52+4) tin s 316 11,52²-4₁52- 62 +4 617 (-3) Seite 2 von 4 Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁7 x ² + 16x + 285 f'(x) = − 1,2 x ² + 5,4x + 16 ~ f" (x) = -2,4x + 5,4 f (x) = -2,4 1. Klausur −1,2x² + 5,4x + 16 = 0 ✓ | = (-1,²) ~ 1 x² - 4,5 x 3 40 4,5 2 +1] 225 ± 1 (4,5)² + 1/ #1 3 4,29 = X1,2 X₁₂₁ = 2₁25 + 4,29 H 6,54 X₂ = 2,25 - 4,29 = -2,04 C =X1₁² HP (6,54/393, 23) TP (-2,04 (266, aa) → Tpg Formel hin. Bed. f'(x) = 0 ^ f" (x) = 0 - 2₁4x + 5₁4 = f'(x) f" (x₁) = -2₁4⋅ 6,54 +5,4 f" (x₂) = -2₁4・ - 2,04 +5₁4 S 24.09.2019 f(x) = -Q4 x ³ + 2,7 x ³² 16 x 15 +285 Siso = -10, 296 <0,VHP 2150 = 10, 296 > 0,YTP legt nicht im Bereich (vor Jahr 2000) im 6. Jahr (2006) oute Grund- Also Laren im stucuspreise mit 393,23 € om höchsten. m² ^ 20120 2 b) Gendepunkt not -2₁4x + 5₁4 = 01-5₁4 -2,4x -5₁4 | X = 2,25 hin. Bed. f" (x) = 0 Bed F"(x) = 0 c) x=9 -2,4 < 0, also Links - Rechts- wende- punkt X = 10 XEM WP (2.25 | 33011) Also sind nach 2 Jahren und 3 Monaten die Preise am meisten gestiegen. (2003) Xx=7 x=8 : (-2,4) y = 356,1~ Y = 315 y = 255,3 Y y = 392, 1 Y = 381 ^ f" ( + ) ±0 Da die Preise von 2010 bis 2011 um Knapp 60 € m² ✓ nicht geeignet un beschnebenen Verauf zu erilaren, weil auch schon von 2007 bis 2009 von sinuer gesprochen wird und dies nur 36 m² gesunuen ist. ✓ sinuen, ist die Function den in der Zeitung Aufgabe 6: r(x) = 4x4 X4 480 r'(x) = 120 r²" (x) = 1/160 40 b) "/ so X ङ ✓"" ( x ) = 2/10² x - ²² 3 71 1/ T X=0 = 0 unr a) [(2) = 0·2² - 480 2,5 r (4) = 1/30-4 124 15 1 ^ 480 15 1 5 2 mm 2 m² = 22,4 X mm m² 8 X + P mm 2 m 3 3 2 s l 15 + THA ^ 15 + 3 2 MIJ MIN 3 2 प 3 3 8 S X X 3 + 2 + S 3.3 33-23 3 2 42 J 8² I r'(x) in eingeben II Shift →> G-Solv -> Max (F2) GTR in Graph function Am starusten war der Regen 6 uhr mit 3,6 mm m² Weitere Lösungen S.9 3 Du musst dhe Steigung 1 Uhr verwenden. (-2) untersuchung fehlt (-2) 4 c) r (₁) = 480 (1) 0,69+069 1,38 + 0,69 = 2₁07 + 0,69 = Aufgabe 7: 2) Die Funktion 22124 registrest worden. ^ 1,38 2,07 mm 2,76 m² 2,76 + 0,69 = 3,45 mm m². 3,45 + 0,69 = 4,14 mom Frompo olo oro S mm 0,69 m² 3 b) f(x) = -√2² x ³ fa'(x) = X 15 nach Hatte es 5 Stunden 1 Uhr beturgregnet wären 4,14 mm N 3. ^ + mm. me + 3 ist creder punut - noch Achsensymmetrisch, as er geable und ob Sue дете ingerade Exponenten hat. ✓ + mm m² für x→ ∞ gilt fa(t) -> für x →7-00 gilt fa(x) -> ∞0 mirolo X-Achse (Schnittpunute): Ov; Bav Y - Achse (Schnittpunkte): Or bei bei 5 Uhr m² bei 6 Uhr. constant 3.1² +² د داد f₂" (x) = - = x + ²/1 ✓ fa" (x) = bei 2 uhr bei 3 Ohr 4 Unr A ✓ 8 c) Extrema 2 6 3/2 × ² + 1 × = 0 ✓ | :( - ) X 2² -62² X = 0 32 дах 2 X 1 X 1 22 2 a 2 - X₁ = x₂ = 0 6 2² 12 2 +17 1+ م اف 22 م او not. Bed. F: (+) = 0 ✓ f (22) а + hin. Bed. f (x)=0 ^_f" (x) *0 6 16/12 x + 10/10 X 2² 122 +6 2a S 2 < 0 2a + سرن C 2 11 O = X ₁₁ 2 9 = X 1,2 22 HP f₂ (2a)= 233 11 10+ f 응 TP (01 2² P (2a|ua). = 22 +62 (1 ✓ ㅅ + 42✓ fa (0) = -1/1/2.0³+3/ =6 3 Za + 2 वे 622 2 -20² " ·0² 5