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Kurvendiskussion Aufgaben und Lösungen PDF - Tangente & Normale bei ganzrationalen Funktionen

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Kurvendiskussion Aufgaben und Lösungen PDF - Tangente & Normale bei ganzrationalen Funktionen
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The provided content appears to be a mathematics exam focusing on curve discussion (Kurvendiskussion) and related topics. Here's the SEO-optimized summary:

A comprehensive guide to Kurvendiskussion ganzrationale Funktion Aufgaben mit Lösungen PDF covering curve analysis, function families, tangents, and normals in advanced mathematics.

Key aspects:

  • Detailed examination of polynomial functions and their derivatives
  • Analysis of real-world applications including property price developments
  • Step-by-step solutions for finding extreme points and inflection points
  • Integration of graphing calculator usage for complex calculations
  • Focus on both theoretical concepts and practical applications

1.2.2021

2652

1. Klausur Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁ 7 x² + 16x + 285 _f'(x) = ~ 1,² x ² + 5,4x + 16 ~ F"(x) = -2,4x +5.4 f"(x)

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Seite 4: Beginn der Klausur Teil 1 (hilfsmittelfrei)

Der erste Teil der Klausur beginnt mit Aufgaben zur Kurvendiskussion ganzrationale Funktion:

  1. Bestimmung der ersten beiden Ableitungen verschiedener Funktionen: a) f(x) = 7x² - 2,5x³ + x b) f(x) = -3√(4x-3) c) f(x) = x + 3x² d) f(x) = √(x + 3x² + 2)

Highlight: Die Aufgaben testen das Verständnis grundlegender Ableitungsregeln und die Fähigkeit, diese auf verschiedene Funktionstypen anzuwenden.

Die Lösungen werden schrittweise dargestellt, wobei besonders auf die korrekte Anwendung der Kettenregel und die Ableitung von Wurzelfunktionen geachtet wird.

Example: Für f(x) = -3√(4x-3) ergibt sich f'(x) = -6(4x-3)^(-1/2) und f''(x) = 48x^(-3/2).

Diese Aufgaben bilden die Grundlage für die komplexeren Kurvendiskussion Aufgaben mit Lösungen, die im weiteren Verlauf der Klausur folgen werden.

1. Klausur Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁ 7 x² + 16x + 285 _f'(x) = ~ 1,² x ² + 5,4x + 16 ~ F"(x) = -2,4x +5.4 f"(x)

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Seite 3: Lösung der Niederschlagsaufgabe und neue Funktionsuntersuchung

Die Niederschlagsaufgabe wird gelöst:

  • Berechnung der Niederschlagsmengen für 2, 4 und 8 Uhr
  • Ermittlung des Zeitpunkts des stärksten Regens durch Ableitung und Extremwertbestimmung

Example: Um 6 Uhr war der Regen am stärksten mit 3,6 mm/h.

Eine neue Aufgabe zur Untersuchung einer Funktionenschar wird vorgestellt:

f_a(x) = -√3x² + ax², a > 0

Die Aufgabe umfasst:

  • Symmetrieuntersuchung
  • Bestimmung von Achsenschnittpunkten
  • Berechnung der ersten drei Ableitungen
  • Ermittlung von Extrem- und Wendepunkten
  • Untersuchung der Lage der Wendepunkte
  • Zeichnung der Graphen für verschiedene a-Werte
  • Bestimmung der Wendetangente und ihrer Winkel zu den Koordinatenachsen

Vocabulary: Funktionenschar - Eine Menge von Funktionen, die durch Variation eines Parameters entstehen

1. Klausur Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁ 7 x² + 16x + 285 _f'(x) = ~ 1,² x ² + 5,4x + 16 ~ F"(x) = -2,4x +5.4 f"(x)

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Seite 2: Fortsetzung der Preisanalyse und neue Aufgabe

Die Analyse der Grundstückspreise wird fortgesetzt:

  • Der Wendepunkt wird bei x = 2,25 (Jahr 2003) ermittelt, was den stärksten Preisanstieg markiert.
  • Die Eignung des Modells für Prognosen wird überprüft, indem die Werte für 2010 und 2011 berechnet werden.

Highlight: Das Modell zeigt sich als ungeeignet für die Prognose, da es einen Preisrückgang von etwa 60 €/m² vorhersagt, was nicht mit den Zeitungsangaben übereinstimmt.

Eine neue Aufgabe zur Niederschlagsanalyse wird eingeführt:

  • Die Funktion r(x) = -x³/480 + x² modelliert den Niederschlag ab Mitternacht.
  • Es sollen die Niederschlagsmengen zu bestimmten Uhrzeiten berechnet werden.
  • Der Zeitpunkt des stärksten Regens soll ermittelt werden.

Definition: Die Niederschlagsfunktion gibt die gefallene Regenmenge in Abhängigkeit von der Zeit an.

1. Klausur Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁ 7 x² + 16x + 285 _f'(x) = ~ 1,² x ² + 5,4x + 16 ~ F"(x) = -2,4x +5.4 f"(x)

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Seite 1: Kurvendiskussion und Preisanalyse

Die erste Aufgabe befasst sich mit der Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion, die die Entwicklung von Grundstückspreisen modelliert.

Highlight: Die Funktion f(x) = -0,4x³ + 2,7x² + 16x + 285 beschreibt die Preisentwicklung von 2000 bis 2009.

Es sollen folgende Aspekte untersucht werden:

  • Bestimmung des Jahres mit dem höchsten Grundstückspreis (Hochpunkt)
  • Ermittlung des Zeitpunkts des stärksten Preisanstiegs (Wendepunkt)
  • Überprüfung der Eignung des Modells für Prognosen

Vocabulary: Hochpunkt - Der Punkt einer Funktion mit dem höchsten y-Wert Vocabulary: Wendepunkt - Punkt, an dem die Krümmung einer Funktion wechselt

Die Lösungsschritte umfassen:

  1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung
  2. Nullstellenbestimmung der ersten Ableitung für Extrema
  3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung
  4. Interpretation der Ergebnisse im Kontext der Grundstückspreise

Example: Für den Hochpunkt ergibt sich x₁ = 6,54, was dem Jahr 2006 entspricht mit einem Höchstpreis von 393,23 €/m².

1. Klausur Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁ 7 x² + 16x + 285 _f'(x) = ~ 1,² x ² + 5,4x + 16 ~ F"(x) = -2,4x +5.4 f"(x)

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1. Klausur Sa) Extrema not. Bed. f'(x) = 0 3 f(x) = -0,4 x ³ + 2₁ 7 x² + 16x + 285 _f'(x) = ~ 1,² x ² + 5,4x + 16 ~ F"(x) = -2,4x +5.4 f"(x)

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Der erste Teil der Klausur beginnt mit Aufgaben zur Kurvendiskussion ganzrationale Funktion:

  1. Bestimmung der ersten beiden Ableitungen verschiedener Funktionen: a) f(x) = 7x² - 2,5x³ + x b) f(x) = -3√(4x-3) c) f(x) = x + 3x² d) f(x) = √(x + 3x² + 2)

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Die Lösungen werden schrittweise dargestellt, wobei besonders auf die korrekte Anwendung der Kettenregel und die Ableitung von Wurzelfunktionen geachtet wird.

Example: Für f(x) = -3√(4x-3) ergibt sich f'(x) = -6(4x-3)^(-1/2) und f''(x) = 48x^(-3/2).

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Seite 3: Lösung der Niederschlagsaufgabe und neue Funktionsuntersuchung

Die Niederschlagsaufgabe wird gelöst:

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Es sollen folgende Aspekte untersucht werden:

  • Bestimmung des Jahres mit dem höchsten Grundstückspreis (Hochpunkt)
  • Ermittlung des Zeitpunkts des stärksten Preisanstiegs (Wendepunkt)
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