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🦋𝓐𝓵𝓮𝔁𝓪🦋
20.12.2025
Mathe
Mathe Klausur Kurvendiskussion (11.Klasse Wirtschafts-Gymnasium)
1.101
•
20. Dez. 2025
•
🦋𝓐𝓵𝓮𝔁𝓪🦋
@youknowthedrillwithmyname
Hier siehst du eine komplette Mathe-Klausur über Kurvendiskussion und Ableitungen... Mehr anzeigen
Diese Klausur zeigt dir drei wichtige Bereiche der Analysis: Ableitungen berechnen, komplette Kurvendiskussion durchführen und Mathe in der Realität anwenden. Mit 73 von 76 Punkten ist das ein super Ergebnis!
Die erste Aufgabe testet dein Grundwissen bei Ableitungsregeln. Du musst sowohl die erste als auch zweite Ableitung verschiedener Funktionen bestimmen – von einfachen Polynomen bis zu Funktionen mit Brüchen.
In der zweiten Aufgabe wird's richtig interessant: Eine vollständige Kurvendiskussion mit allem, was dazugehört. Plus die Berechnung von Wendetangente und Normale.
Tipp: Die systematische Herangehensweise ist hier der Schlüssel zum Erfolg!
So gehst du bei einer Kurvendiskussion vor: 1. Ableitungen, 2. Symmetrie, 3. Nullstellen, 4. Schnittpunkt mit y-Achse, 5. Extremstellen, 6. Wendepunkt, 7. Zeichnung. Diese Reihenfolge hilft dir, nichts zu vergessen.
Bei den Ableitungen zeigt die Lösung verschiedene Funktionstypen: Polynome dritten Grades, Funktionen mit negativen Exponenten und Brüche. Die Potenzregel und Kettenregel sind deine wichtigsten Werkzeuge.
Für Extremstellen setzt du f'(x) = 0 und prüfst mit der zweiten Ableitung: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt. So findest du Maximum und Minimum der Funktion.
Merksatz: Bei Tangenten und Normalen ist die Steigung der Normalen immer m₂ = -1/m₁!
Die konkrete Berechnung zeigt dir, wie aus der Funktion f(x) = 4x³-4x²-8x alle wichtigen Punkte entstehen. Zuerst bildest du die Ableitungen: f'(x) = 12x²-8x-8 und f''(x) = 24x-8.
Für die Nullstellen klammerst du x aus: x = 0. Das gibt dir sofort x₁ = 0, für die anderen verwendest du die p-q-Formel. So bekommst du drei Schnittpunkte mit der x-Achse.
Die Extremwerte findest du, indem du f'(x) = 0 setzt. Mit der p-q-Formel erhältst du x₁ ≈ -0,55 (Hochpunkt) und x₂ ≈ 1,22 (Tiefpunkt). Die zweite Ableitung bestätigt das.
Der Wendepunkt liegt bei f''(x) = 0, also bei x = 1/3. Hier ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.
Praxis-Tipp: Mach immer eine Wertetabelle vor der Zeichnung – das spart Zeit und Fehler!
Für Wendetangente und Normale brauchst du den Wendepunkt als Ausgangspunkt. Die Steigung der Tangente ist f'(1/3) = -9,3, die Normale hat die Steigung m₂ = 1/9,3 ≈ 0,11.
Mit der Punkt-Steigungsform y - y₀ = m stellst du beide Geraden auf. Die Tangente: g(x) = -9,3x + 0,15, die Normale: h(x) = 0,11x - 2,99.
Die Anwendungsaufgabe mit der Düngung zeigt echte Mathe im Alltag. Die Funktion f(x) = -100x³ + 15x² + 15x + 5 beschreibt den Ertrag abhängig von der Düngermenge.
Real-World Connection: Bei 0,28 Tonnen Dünger pro Hektar ist der Ertrag mit 8,18 Tonnen optimal!
Der Wendepunkt der Dünger-Funktion liegt bei x = 0,05 Tonnen pro Hektar. Hier ändert sich das Wachstumsverhalten des Ertrags – vorher beschleunigt, nachher verlangsamt es sich.
Die Steigung am Wendepunkt beträgt 15,57 Tonnen Ertrag pro Tonne Dünger. Das zeigt dir, wie effektiv der Dünger an diesem Punkt noch wirkt.
Die grafische Darstellung macht alles anschaulich: Du siehst, wie der Ertrag erst ansteigt, dann das Maximum erreicht und schließlich wieder fällt. Zu viel Dünger schadet also wirklich!
Diese Aufgabe zeigt perfekt, warum Kurvendiskussion in der Praxis so wichtig ist. Ob bei Kosten, Gewinnen oder eben Erträgen – Extremwerte helfen bei optimalen Entscheidungen.
Erfolgs-Tipp: Interpretiere deine mathematischen Ergebnisse immer im Kontext der Aufgabe – das bringt extra Punkte!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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🦋𝓐𝓵𝓮𝔁𝓪🦋
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Hier siehst du eine komplette Mathe-Klausur über Kurvendiskussion und Ableitungen mit praktischen Anwendungen. Die Aufgaben zeigen dir, wie du Schritt für Schritt Funktionen analysierst und echte Probleme löst – wie die optimale Düngermenge für Weizen zu finden.
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Diese Klausur zeigt dir drei wichtige Bereiche der Analysis: Ableitungen berechnen, komplette Kurvendiskussion durchführen und Mathe in der Realität anwenden. Mit 73 von 76 Punkten ist das ein super Ergebnis!
Die erste Aufgabe testet dein Grundwissen bei Ableitungsregeln. Du musst sowohl die erste als auch zweite Ableitung verschiedener Funktionen bestimmen – von einfachen Polynomen bis zu Funktionen mit Brüchen.
In der zweiten Aufgabe wird's richtig interessant: Eine vollständige Kurvendiskussion mit allem, was dazugehört. Plus die Berechnung von Wendetangente und Normale.
Tipp: Die systematische Herangehensweise ist hier der Schlüssel zum Erfolg!
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So gehst du bei einer Kurvendiskussion vor: 1. Ableitungen, 2. Symmetrie, 3. Nullstellen, 4. Schnittpunkt mit y-Achse, 5. Extremstellen, 6. Wendepunkt, 7. Zeichnung. Diese Reihenfolge hilft dir, nichts zu vergessen.
Bei den Ableitungen zeigt die Lösung verschiedene Funktionstypen: Polynome dritten Grades, Funktionen mit negativen Exponenten und Brüche. Die Potenzregel und Kettenregel sind deine wichtigsten Werkzeuge.
Für Extremstellen setzt du f'(x) = 0 und prüfst mit der zweiten Ableitung: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt. So findest du Maximum und Minimum der Funktion.
Merksatz: Bei Tangenten und Normalen ist die Steigung der Normalen immer m₂ = -1/m₁!
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Die konkrete Berechnung zeigt dir, wie aus der Funktion f(x) = 4x³-4x²-8x alle wichtigen Punkte entstehen. Zuerst bildest du die Ableitungen: f'(x) = 12x²-8x-8 und f''(x) = 24x-8.
Für die Nullstellen klammerst du x aus: x = 0. Das gibt dir sofort x₁ = 0, für die anderen verwendest du die p-q-Formel. So bekommst du drei Schnittpunkte mit der x-Achse.
Die Extremwerte findest du, indem du f'(x) = 0 setzt. Mit der p-q-Formel erhältst du x₁ ≈ -0,55 (Hochpunkt) und x₂ ≈ 1,22 (Tiefpunkt). Die zweite Ableitung bestätigt das.
Der Wendepunkt liegt bei f''(x) = 0, also bei x = 1/3. Hier ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.
Praxis-Tipp: Mach immer eine Wertetabelle vor der Zeichnung – das spart Zeit und Fehler!
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Für Wendetangente und Normale brauchst du den Wendepunkt als Ausgangspunkt. Die Steigung der Tangente ist f'(1/3) = -9,3, die Normale hat die Steigung m₂ = 1/9,3 ≈ 0,11.
Mit der Punkt-Steigungsform y - y₀ = m stellst du beide Geraden auf. Die Tangente: g(x) = -9,3x + 0,15, die Normale: h(x) = 0,11x - 2,99.
Die Anwendungsaufgabe mit der Düngung zeigt echte Mathe im Alltag. Die Funktion f(x) = -100x³ + 15x² + 15x + 5 beschreibt den Ertrag abhängig von der Düngermenge.
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Der Wendepunkt der Dünger-Funktion liegt bei x = 0,05 Tonnen pro Hektar. Hier ändert sich das Wachstumsverhalten des Ertrags – vorher beschleunigt, nachher verlangsamt es sich.
Die Steigung am Wendepunkt beträgt 15,57 Tonnen Ertrag pro Tonne Dünger. Das zeigt dir, wie effektiv der Dünger an diesem Punkt noch wirkt.
Die grafische Darstellung macht alles anschaulich: Du siehst, wie der Ertrag erst ansteigt, dann das Maximum erreicht und schließlich wieder fällt. Zu viel Dünger schadet also wirklich!
Diese Aufgabe zeigt perfekt, warum Kurvendiskussion in der Praxis so wichtig ist. Ob bei Kosten, Gewinnen oder eben Erträgen – Extremwerte helfen bei optimalen Entscheidungen.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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