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Eigenschaften von Funktionsgraphen

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Mathe2.175Aktualisiert 23. Sept. 20265 Seiten

Mathe EF Zusammenfassung: Wichtige Themen (2021/22)

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ash@ashonmars
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Funktionen und Stochastik sind zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik, die dir in Klausuren und im Abitur begegnen werden. Hier lernst du alles Wichtige über Schnittpunkte, Ableitungen, Funktionsanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung.
EF Zusammenfassung: Mathe – Seite 1

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Funktionen Grundlagen - Schnittpunkte und Geraden

Schnittpunkte zu berechnen ist eigentlich ganz einfach: Du setzt die Gleichungen gleich und löst nach x auf. Mit den x-Werten berechnest du dann die y-Werte.

Bei Geradengleichungen aus zwei Punkten gehst du systematisch vor: Erst die Steigung m mit der Formel berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden. Die allgemeine Form y = mx + b kennst du ja schon.

Für Schnittpunkte mit den Achsen gilt: x-Achse bei y = 0, y-Achse bei x = 0. Bei Parabeln und Geraden verwendest du die pq-Formel nach dem Gleichsetzen.

Merktipp: Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung!

Die Substitution hilft dir bei komplizierten Gleichungen - einfach einen Teil durch eine neue Variable ersetzen, lösen und wieder rücksubstituieren.

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Funktions-Transformationen verstehen

Verschiebungen sind logischer als sie aussehen: fx+cx+c verschiebt nach links (c > 0), fx−cx-c nach rechts. Bei fxx + d gehts nach oben (d > 0), bei fxx - d nach unten.

Streckungen und Stauchungen funktionieren so: f(b·x) verändert die x-Richtung - bei 0 < b < 1 wird gestaucht (breiter), bei b > 1 gestreckt (schmaler). Die y-Werte bleiben gleich.

In y-Richtung macht a·fxx das Gleiche: a > 1 streckt nach oben, 0 < a < 1 staucht zusammen. Hier bleiben die x-Werte (besonders die Nullstellen) unverändert.

Praxis-Tipp: Zeichne dir die Grundfunktion und transformiere Schritt für Schritt!

Das Wichtigste ist zu wissen, welche Werte sich ändern und welche gleich bleiben - das erspart dir viele Fehler in Klausuren.

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Ableitungen und Tangenten meistern

Die Sekantensteigung ist die durchschnittliche Änderung zwischen zwei Punkten - einfach mit der bekannten Formel m = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁. Die Tangentensteigung ist die Steigung in genau einem Punkt.

Ableitungsregeln sind dein Werkzeug: fxx = xⁿ wird zu f'xx = n·xⁿ⁻¹. Konstanten fallen weg, Faktoren bleiben stehen. Bei Summen leitest du jeden Term einzeln ab.

Für eine Tangentengleichung brauchst du vier Schritte: Ableitung bilden, Steigung berechnen, Punkt bestimmen, dann y = mx + b aufstellen. Das klappt immer nach diesem Schema.

Visualisierung hilft: Tangenten berühren den Graphen nur in einem Punkt!

Beim Ableitungsgraph skizzieren schaust du, wo der ursprüngliche Graph steigt (positive Werte) oder fällt (negative Werte). Hoch- und Tiefpunkte werden zu Nullstellen in der Ableitung.

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Extrempunkte rechnerisch bestimmen

Extrempunkte findest du mit zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung ist f'xx = 0 - dort ist die Steigung null. Die hinreichende Bedingung prüft den Vorzeichenwechsel um diese Stelle.

Der Vorzeichenwechsel entscheidet alles: Von minus zu plus = Tiefpunkt, von plus zu minus = Hochpunkt. Kein Wechsel = Sattelpunkt (kein Extrempunkt).

Das Vorgehen ist immer gleich: Erst f'xx = 0 lösen für die x-Werte, dann Vorzeichenwechsel prüfen, schließlich die y-Werte berechnen. So findest du alle Extrempunkte sicher.

Klausur-Trick: Prüfe immer beide Bedingungen - f'xx = 0 allein reicht nicht!

Bei kubischen Funktionen hast du oft zwei Extrempunkte, bei quadratischen einen. Vergiss nicht, auch die Funktionswerte fxx zu berechnen für die vollständigen Koordinaten.

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Stochastik - Wahrscheinlichkeiten berechnen

Baumdiagramme löst du mit zwei Regeln: Pfadmultiplikation (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren) und Pfadaddition (verschiedene Pfade für dasselbe Ergebnis addieren).

Der Erwartungswert zeigt dir den langfristigen Durchschnitt - besonders wichtig bei Gewinn-Verlust-Rechnungen in Glücksspielen oder Versicherungen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) fragt: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Die Formel ist P_A(B) = P(A∩B)/P(A).

Alltagsbezug: Bedingte Wahrscheinlichkeiten begegnen dir überall - von Wetterbericht bis Corona-Tests!

Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann gilt P_A(B) = P(B) - das Wissen über A ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit von B.

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