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ash
3.12.2025
Mathe
EF Zusammenfassung: Mathe
2.121
•
3. Dez. 2025
•
ash
@ashonmars
Funktionen und Stochastik sind zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik, die dir... Mehr anzeigen
Schnittpunkte zu berechnen ist eigentlich ganz einfach: Du setzt die Gleichungen gleich und löst nach x auf. Mit den x-Werten berechnest du dann die y-Werte.
Bei Geradengleichungen aus zwei Punkten gehst du systematisch vor: Erst die Steigung m mit der Formel berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden. Die allgemeine Form y = mx + b kennst du ja schon.
Für Schnittpunkte mit den Achsen gilt: x-Achse bei y = 0, y-Achse bei x = 0. Bei Parabeln und Geraden verwendest du die pq-Formel nach dem Gleichsetzen.
Merktipp: Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung!
Die Substitution hilft dir bei komplizierten Gleichungen - einfach einen Teil durch eine neue Variable ersetzen, lösen und wieder rücksubstituieren.
Verschiebungen sind logischer als sie aussehen: f verschiebt nach links (c > 0), f nach rechts. Bei f(x) + d gehts nach oben (d > 0), bei f(x) - d nach unten.
Streckungen und Stauchungen funktionieren so: f(b·x) verändert die x-Richtung - bei 0 < b < 1 wird gestaucht (breiter), bei b > 1 gestreckt (schmaler). Die y-Werte bleiben gleich.
In y-Richtung macht a·f(x) das Gleiche: a > 1 streckt nach oben, 0 < a < 1 staucht zusammen. Hier bleiben die x-Werte (besonders die Nullstellen) unverändert.
Praxis-Tipp: Zeichne dir die Grundfunktion und transformiere Schritt für Schritt!
Das Wichtigste ist zu wissen, welche Werte sich ändern und welche gleich bleiben - das erspart dir viele Fehler in Klausuren.
Die Sekantensteigung ist die durchschnittliche Änderung zwischen zwei Punkten - einfach mit der bekannten Formel m = /. Die Tangentensteigung ist die Steigung in genau einem Punkt.
Ableitungsregeln sind dein Werkzeug: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n·xⁿ⁻¹. Konstanten fallen weg, Faktoren bleiben stehen. Bei Summen leitest du jeden Term einzeln ab.
Für eine Tangentengleichung brauchst du vier Schritte: Ableitung bilden, Steigung berechnen, Punkt bestimmen, dann y = mx + b aufstellen. Das klappt immer nach diesem Schema.
Visualisierung hilft: Tangenten berühren den Graphen nur in einem Punkt!
Beim Ableitungsgraph skizzieren schaust du, wo der ursprüngliche Graph steigt (positive Werte) oder fällt (negative Werte). Hoch- und Tiefpunkte werden zu Nullstellen in der Ableitung.
Extrempunkte findest du mit zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - dort ist die Steigung null. Die hinreichende Bedingung prüft den Vorzeichenwechsel um diese Stelle.
Der Vorzeichenwechsel entscheidet alles: Von minus zu plus = Tiefpunkt, von plus zu minus = Hochpunkt. Kein Wechsel = Sattelpunkt (kein Extrempunkt).
Das Vorgehen ist immer gleich: Erst f'(x) = 0 lösen für die x-Werte, dann Vorzeichenwechsel prüfen, schließlich die y-Werte berechnen. So findest du alle Extrempunkte sicher.
Klausur-Trick: Prüfe immer beide Bedingungen - f'(x) = 0 allein reicht nicht!
Bei kubischen Funktionen hast du oft zwei Extrempunkte, bei quadratischen einen. Vergiss nicht, auch die Funktionswerte f(x) zu berechnen für die vollständigen Koordinaten.
Baumdiagramme löst du mit zwei Regeln: Pfadmultiplikation (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren) und Pfadaddition (verschiedene Pfade für dasselbe Ergebnis addieren).
Der Erwartungswert zeigt dir den langfristigen Durchschnitt - besonders wichtig bei Gewinn-Verlust-Rechnungen in Glücksspielen oder Versicherungen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) fragt: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Die Formel ist P_A(B) = P(A∩B)/P(A).
Alltagsbezug: Bedingte Wahrscheinlichkeiten begegnen dir überall - von Wetterbericht bis Corona-Tests!
Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann gilt P_A(B) = P(B) - das Wissen über A ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit von B.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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ash
@ashonmars
Funktionen und Stochastik sind zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik, die dir in Klausuren und im Abitur begegnen werden. Hier lernst du alles Wichtige über Schnittpunkte, Ableitungen, Funktionsanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung.
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Schnittpunkte zu berechnen ist eigentlich ganz einfach: Du setzt die Gleichungen gleich und löst nach x auf. Mit den x-Werten berechnest du dann die y-Werte.
Bei Geradengleichungen aus zwei Punkten gehst du systematisch vor: Erst die Steigung m mit der Formel berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden. Die allgemeine Form y = mx + b kennst du ja schon.
Für Schnittpunkte mit den Achsen gilt: x-Achse bei y = 0, y-Achse bei x = 0. Bei Parabeln und Geraden verwendest du die pq-Formel nach dem Gleichsetzen.
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Verschiebungen sind logischer als sie aussehen: f verschiebt nach links (c > 0), f nach rechts. Bei f(x) + d gehts nach oben (d > 0), bei f(x) - d nach unten.
Streckungen und Stauchungen funktionieren so: f(b·x) verändert die x-Richtung - bei 0 < b < 1 wird gestaucht (breiter), bei b > 1 gestreckt (schmaler). Die y-Werte bleiben gleich.
In y-Richtung macht a·f(x) das Gleiche: a > 1 streckt nach oben, 0 < a < 1 staucht zusammen. Hier bleiben die x-Werte (besonders die Nullstellen) unverändert.
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Die Sekantensteigung ist die durchschnittliche Änderung zwischen zwei Punkten - einfach mit der bekannten Formel m = /. Die Tangentensteigung ist die Steigung in genau einem Punkt.
Ableitungsregeln sind dein Werkzeug: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n·xⁿ⁻¹. Konstanten fallen weg, Faktoren bleiben stehen. Bei Summen leitest du jeden Term einzeln ab.
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Extrempunkte findest du mit zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - dort ist die Steigung null. Die hinreichende Bedingung prüft den Vorzeichenwechsel um diese Stelle.
Der Vorzeichenwechsel entscheidet alles: Von minus zu plus = Tiefpunkt, von plus zu minus = Hochpunkt. Kein Wechsel = Sattelpunkt (kein Extrempunkt).
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Bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) fragt: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Die Formel ist P_A(B) = P(A∩B)/P(A).
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Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann gilt P_A(B) = P(B) - das Wissen über A ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit von B.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Kurvenanpassung und Funktionsscharen, einschließlich: 1) Lösen von Gleichungssystemen, 2) Bestimmung ganzrationaler Funktionen, 3) Trassierung von Graphen, 4) Abschnittsweise definierte Funktionen und 5) Analyse von Funktionenscharen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Greenlight Bonnie
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Marcus B
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