Monotoniesatz und Monotonie

Diese Seite behandelt den Monotoniesatz und das Konzept der Monotonie von Funktionen.

Definition: Der Monotoniesatz besagt, dass eine differenzierbare Funktion f streng monoton steigend ist, wenn f'(x) > 0, und streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0.

Es werden Beispiele für streng monoton steigende und fallende Funktionen gegeben, einschließlich grafischer Darstellungen.

Beispiel: Die Funktion f(x) = x³ ist ein Beispiel für eine monoton steigende Funktion.

Die Seite erklärt auch das Vorgehen zur Bestimmung der Monotonie einer Funktion:

1. Ableitung der Funktion bilden
2. Nullstellen der Ableitung finden
3. Intervalle der Monotonie bestimmen

Highlight: Der Verlauf einer Funktion gibt an, wie sich die Funktion verhält (steigend/fallend). Dazu wird der Graph in Intervalle geteilt.

Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung

Diese Seite erläutert den grundlegenden Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung. Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P wird als Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ bezeichnet.

Definition: Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x₀ entspricht der Steigung des Funktionsgraphen an diesem Punkt.

Es werden wichtige Beziehungen zwischen einer Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion f' dargestellt:

• Extrempunkte von f entsprechen Nullstellen von f'
• Steigende Abschnitte von f zeigen sich als positive Werte bei f'
• Fallende Abschnitte von f erscheinen als negative Werte bei f'

Highlight: Die Steilheit des Graphen von f spiegelt sich in der Höhe der Werte von f' wider.

Die Seite enthält auch eine grafische Darstellung, die den Zusammenhang Funktion und Ableitung graphisch veranschaulicht.