Die mathematische Analyse von Funktionen und deren Ableitungen bildet einen zentralen Aspekt der höheren Mathematik.
Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung lässt sich sowohl graphisch als auch analytisch darstellen. Bei der ersten Ableitung einer Funktion werden die Steigungen der Ursprungsfunktion beschrieben, während die 2. Ableitung Auskunft über die Krümmung gibt. Diese Zusammenhänge sind besonders wichtig für die Bestimmung von Extrempunkten und Wendepunkten. Die hinreichende Bedingung für Extremstellen wird durch das Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung bestimmt, während die zweite Ableitung die Art des Extremums (Maximum oder Minimum) festlegt.
Die Monotonie einer Funktion beschreibt deren Steigungsverhalten. Eine monoton steigende Funktion weist durchgehend positive Steigungen auf, während eine monoton fallende Funktion negative Steigungen besitzt. Bei linearen Funktionen ist die Monotonie konstant, bei quadratischen Funktionen kann sie sich ändern. Der Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren zeigt sich als inverse Operation: Während das Differenzieren die Ableitung einer Funktion bestimmt, führt das Integrieren zur Stammfunktion. Diese Beziehung ist fundamental für das Verständnis von Flächenberechnungen und Änderungsraten. Die Bestimmung von globalen Extremstellen erfordert sowohl die Analyse der ersten und zweiten Ableitung als auch die Betrachtung der Randpunkte des Definitionsbereichs. Für die praktische Anwendung sind Extremstellen berechnen Aufgaben mit Lösungen besonders hilfreich, da sie das theoretische Wissen durch konkrete Beispiele vertiefen.
