Extemstellen, Wendestellen, Extremwertaufgaben, Steckbriefaufgaben

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verhält (steigen/ fallen) -> Graph in Intervalle teilen Beispiel: (an Beispiel von Extremstellen) monoton fallend (-∞0; -1.5) monoton steigend (-1,5; ∞0) Vorgehen: 1. allgemeine Geradengleichung: dann y = mx + b -> gesucht ist also m und b 2. für m-> (Steigung durch zwei Punkte) 3. für b-> m und einen der beiden Punkte in allgemeine Geradengleichung einsetzen ist m = y₂-y₁ X₂-X₁ Sekantengleichung -> Sekante schneidet Funktion f(x) in zwei Punkten -> im Sachzusammenhang: Steigung der Sekante beschreibt die Steigung der durchschnittlichen Änderung in einem Bereich, der durch Schnittpunkte P₁ und P₂ der Geraden mit der Funktion gegeben ist => gegeben ist in der Regel eine Funktion und zwei Punkte/ x-Werte -1,5 1 Y -0,25+ y₁ V2 31 P₂ X notwendige und hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium) für Extremstellen 3. 1. Funktion ableiten 2. Notwendige Bedingung: erste Ableitung gleich Null setzen 3. Gleichung lösen 4. Kandidaten für Extremstellen 5. Kandidaten für Extremstellen von groß nach klein sortieren 6. 1. hinreichende Bedingung: Tabelle erstellen (auswählen von beliebigen, aber am besten nahe und ganzzahlige Werte vor und nach den Kandidaten) 2. hinreichende Bedingung: die zweite Ableitung muss ungleich null sein; der Wert, der bei notwendigen Bedingung rauskommt in f" einsetzen 7. Werte in Ableitungsfunktion einsetzen (zur Veranschaulichung in Tabelle Pfeile zeichnen) Beispiel: 1. f(x)= x³ 3x²+2x f'(x)= 3x² - 6x +2 f"(x) = 6x -6 2. notw. Bed.: f'(x) = 0 3x² - 6x + 2 x² - 2x + ²/3 = 0 ×₁₁2 = ²/2 ± √(-²/2²) ² - 3 + = 0 = 1 ± √₁ - = 1 ± 0,58 X₁ 1,58 V x₂ ~ 0,42 7 stelle 6. Steigung grafisch 7. 5. x₂0,42 V X₁ 1,58 für 1:3 1pq- Formel 6. hinr. Bed : f'(x) = 0 ^ VZW 2 Kandidaten für Extremstellen 4. die 0,42 zweite HP f'(0) = 3.0² -6.0 +2 = 2 f(1) = 3.12 6.1 +2 = -1 f'(2) = 3.2² - 6.2 + 2 = 2 |x₁₁2== - ²/2 ± √ √ √ √²/1² - 0²/ ninreichende Bedingung kann man entweder Schritt für Schritt rechnen Aber wenn im 2. Teil, dann mit GTR BERGE -1 1. Gleichungsmenů 2. F2: Polynomgleichung 3. rad der Funktion aus- wählen + einsetzen 4. F1 SOive = Ergebnisse 1. ninreichende Bedingung 1,58 TP 2 2 also: HP bei x = 0,42 und TP bei x = 1,58 →y-wert: x-wert in Ausgangsfunktion einsetzen f(0,42) ≈ 0,38 f(1,58) -0,38 also HPC 0,42 10,38) also TP (1,581- 0,38) Ergebnisse notieren ↓ evtl. Bezug zur Aufgabe 6 -hinr. Bed.: f'(x) = 0 A eigentlich auch 7. wenn f" (0₁42) = -3,48 <0, d. h. von Beispiel: f" (1₁58)= 3,480, d.n. relativer wenn das Ergebnis größer als NUII L dann wenn das Ergebnis kleiner als Null f" (x) > 0 f" (x) < 0 Bedeutung von f" für die Krümmung des Graphen von f (Rechtskrümmung, Linkskrümmung) Der Graph in einem Intervall I differenzierbaren Funktion f bildet im Intervall I eine Linkskurve bzw. Rechtskurve, falls die Ableitungsfunktion f' in I streng monoton steigend bzw. fallend ist. -> Man sagt auch: Der Graph ist „linksgekrümmt" bzw. ,,rechtsgekrümmt". f in I eine f(x)= x³ 3x²+2x f'(x) = 3x² - 6x +2 f"(x) = 6x -6 satz: Die Funktion f sei im intervall I zweimal 0) X1,2 = F"(x) 0 - wenn dort nichts aussagekräftiges rauskommt, dann : "keine Aussage über das vorliegen von Extrempunkten möglich, weiter mit VZW-Kriterium!" 3x² - 6x + 2 = 0 x² - 2x + ²/3 = 0 für notw. Bed.: f'(x) = 0 1/2 ± √(-2²) ²-3 relativer } + ableiten alle Suinkskurve Rechtskurve = 1 ± √ √/1₁ - 1²/1 = 1 0,58 X₁ 1,58 V x₂ ~ 0,42 x20,42 V X₁1,58 2. ninreichende Bedingung HP TP an 1:3 1pq- Formel an der Stelle x=0,42 der Stelle X = 1,58 relativer Tiefpunkt dann relativer Hochpunkt Kandidaten für Extremstellen bildet XEI, dann - f' gleich null setzen der differenzierbar. Graph f' → Steigung f" krúmmungs- verhalten Ergebnis: kandidaten hinr. Bed.: f'(x) = 0 A F"(x) 0 f" (0₁42) = -3,48 <0, d. h. f" (1₁58)= 3,48 > 0, d.h. Beispiel: Begriff des Wendepunktes, Sattelpunktes als spezieller Wendepunkt Die Funktion f ist auf einem Intervall I definiert, zweimal differenzierter und x, liegt im Intervall I. Eine Stelle xo, bei der der Graph von f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt W(xo | f(xo )) heißt Wendepunkt des zugehörigen Graphens. -> Übergang von einer Krümmung zur anderen -> Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung 0 Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte, da diese Wendepunkte, die sie eine waagerechte Tangente an den Graphen der Ausgangsfunktion besitzen. Diese Eigenschaft macht sie aber nicht zu speziellen Extrempunkten". notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen -> Dort, wo f' Extremstellen hat, hat der Graph von f Wendestellen f(x)= x3 3x² + 2x f'(x) = 3x² - 6x + 2 Damit entspricht die Untersuchung der Funktion f auf Wendestellen einer Untersuchung der Funktion' auf Extremstellen. F"(x)= 6x - 6 f"(x) = 6 Rechtskurve an der stelle notw. Bed. : f"(x) = 0 6x6 = 0 6x = 6 X = 1 2. ninreichende Bedingung Linkskurve an der Stelle X = 1,58 1+6 1st fill(x) <0 1. Funktion ableiten (bis f") ninr. Bed.: f"(x)= 0 ^ f" (x) 0 Graph von f hat an der Stelle x einen WP mit maximaler Steigung bzw. einen Links-rechts-wendepunk+ x = 0,42 2. zweite Ableitung gleich null setzen per f" (1) = 6 > 0, rechts- unks-wendepunkt an der Stelle x = 1 Graph von f hat an der stelle xo/x eine wendestelle. 3. regal welche ninr. Bed.). WP (110) f(1) = 0 für y-wert: x in die Ausgangsfunktion f einsetzen 1st F"(x) > 0 Graph von f nat an der Stelle x einen WP mit minimaler Steigung bzw. einen rechts-links-wendepunkt Wendetangente -> Tangente, die durch einen Wendepunkt geht ywende = m. x + b 1. Ansatz notieren. Į m = f'(x) also: 3. mit Hilfe des wende punktes kann man dann nach b auflösen (WP bei (110)) f'(1)=3-1²-6·1+2 = -1 d. h. m = -1 geg. : steigung y-wert 0 = -1·1+b 0 = - 1 + b 1 = b m = -1 X-Wert ywende = 1x + 1 - x + 1 = steigung Ywende = mx +b\ weil wende- tangente 2. x-Wert des wendepunktes in erste Ableitung einsetzen Ergebnis ist mc die steigung) x y WP(110) (in die Gleichung der Tangente einsetzen) 1. Joseich + y-Achsen- abschnitt Gleichung nach auflösen 4. Ergebnis notieren die Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Vorgehensweise: 1. Extrembedingung aufstellen: Was soll maximal/ minimal werden? 2. Nebenbedingung: Angabe im Text 3. Zielfunktion: Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptfunktion einsetzen 4. Bestimmung des Maximums/ Minimums: Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen 5. Vergleich mit Randwerten 6. Bezug zur Aufgabe Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) im ersten Quadranten. Welche Koordinaten muss der Punkt P besitzen, damit der Flächeninhalt des grau schraffierten Dreiecks maximal wird. [y. f(u)- น =√x²+4,5 f(x) = 9=u P(ulf(u)) 1. Extrembedingung: A₁ = 2·9·n 2. Nebenbedingung: → Flächeninhalt des preiecks soll extremal werden x J Punkt P muss auf dem Funktionsgraphen uegen →Grundseite 9 und Hōne n in Formel durch koordinate von P einsetzen und n = f(u) = -√²/² x² + 4,5 enthalt infos, wie z. B. ein gegebenes volumen, wenn oberfläche minimai/ maximal werden soll 3. Zielfunktion: Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen = zielfunktion Zielfunktion steht in der Aufgabe, damit man weiter rechnen kann A₁(u) = 2/2u² (-²/² + 4,5). u. A'(U)=-² +2,25 A" (u) = -1/u =- :-171/2 4²³ + 2,254 → zielfunktion ist nur noch abhängig von unbekannten u. 4. Bestimmung des Maximums A(U)=-4³ +2,254 12 Function ableiten notw. Bed.: A'(U) = u -u²+2,25 = 0 1:(-1) u²-9 = 0 1+9 u² = 9 15 U₁ = 3 v U₁₂ = -3 außerhalb des Kandidat für Extremstelle ninr. Bed.: A' (u) = 0 ^ A" (U) # 0 4. Quadranten daher nicht A(0) = - - 1/12.05 + 2,25 -0 =0 <3 A(5,2)= -22,25³ +2,25.5,2 * 10,75 6. Bezug zur Aufgabe: Antwortsatz" A" (3) = - - 1/2.3 = -1,5 <0, d. n. relativer HP an der Stelle u=3 1 5. vergleich mit Randwerten : lauf Aufgabenstellung befinden wir uns im 1. Quadranten → zulässige Definitionsbereich zwischen 0 und Nullstelle von f(x) oto.5,2] relevant >3 gleich 0 setzen - globales Maximum - globales Minimum Bestimmung von ganzrationalen Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften (Steckbriefaufgaben) Gesucht ist eine Funktionsgleichung zweiten/ dritten/ vierten/ ... Grades, f(x) = ax² + bx + c f(x) = ax³ + bx² + cx + d mit folgenden Eigenschaften: 1. Graph verläuft durch den angegebenen Punkt Beispiel: A(314) in Funktion "einsetzen" f(x) = ax³ + bx² + cx + d f(3) = 4 <=> a. 3³ + b・ 3² + c⋅ 3 + d = 4 (=) 270 + 9b + 3C + d = 4 2. Graph verläuft durch den Ursprung Beispiel: ursprung → (010) →in Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d 3. Graph schneidet/ berührt die x-Achse bei x = 5 Beispiel: Der Punkt ist quasi f(0) = 0 <=> a⋅ 0³ + b⋅ 0² + c 0 + d = 0 0 + 0 + 0 + d = 0 (=) f(x) = ax³ + bx² + cx + d f(5)= 0 <=> a. 5³ + b⋅ 5² + c. 5+ d = 0 <=> 125a + 25b + 5C + d = 0 f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c f(x) = ax + bx³ "einsetzen" f(3) = -1 <=> 3·a·3² +2·b·3 + C = -1 (=> 270 + 66 + C = -1 f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + C (510)in Funktion "einsetzen" 4. Graph hat bei x = 3 die Steigung m =-11. Ableitung Beispiel: 1. Ableitung von f; Punkt quasi (31-1) in Funktion "einsetzen" + cx² + dx+e f(y) = 2 <=> 3.9.4² +2.b.4 + C = 2 86 + c = 2 + <=> 480 man weiß direkt, dass d = 0 5. Graph ist bei x = 4 parallel zur Geraden y = 2x + 3 Steigung Beispiel: 1. Ableitung von f; Punkt quasi (412)→ in Funktion "einsetzen" 6. Graph schneidet die y-Achse bei y = 8 Beispiel: Der Punkt ist quasi f(x) = ax³ + bx² + cx + d f(0) = 8 <=> a⋅ 0³ + b・0² + co + d = 8 (=> 0 + ● 7. Graph hat einen Extrempunkt bei E (015) →1. Ableitung Beispiel: 1. Bedingung: wie bei Graph gent durch einen Punkt 2. Bedingung: 1. Ableitung muss null ergeben f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + C f(0) = 5 <=) 0 + 0 + d = 8 man weiß direkt, dass d = 8 8. Graph berührt die x-Achse bei x = 5 Beispiel: 1. Ableitung muss (018) in Funktion a. 0³ b.0² +c⋅0 + d = 0 0 + 0 +0 f'(0) = 0 <=> 3·a·0² +2·6·0+ c = 0 (=> 0 + 0 + C = 0 f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + C 1. variante: x = -5 f" (-5) = 0 <=> gleich null f'(5) = 0 <=> 3·a·5² +2·6·5 + c = 0 (=) 750 10b C=0 f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + C f"(x) = 60x + 2b 2. variante: +d=0man weiß direkt, dass d = 0 9. Graph hat bei x = -5 einen Wendepunkt / hat bei (-514) einen Wendepunkt →2. Ableitung Beispiel: 2. Ableitung von f 6·a· (-5) + 2 b = 0 (=> -300 + 2b = 0 "einsetzen" man weiß direkt, dass d = 0 sein (-514) f(-5) =4<=> 0 (-5)³ + b⋅ (-5)² + c • (-5) + d = 4 <>-1250 + 256 - SC + d h = -> hinterher als Überprüfung die hinreichende Bedingung machen!! Es muss auch nicht immer alles stimmen: ,,Diese Funktion gibt es nicht." wenn in der Aufgabe steht, dass die Funktion symmetrisch ist, können die Teile der Funktion mit negativen Exponenten weggelassen werden GTR-Infos Wenn der Taschenrechner zurückgesetzt worden ist bzw. im Prüfungsmodus ist: 1. Rechenmenü 2. shift 3. Menü 4. Angle: Deg für Steckbriefaufgaben: -> Gleichungsmenü -> F1 für lineares Gleichungssystem für die anderen Aufgaben (z.B. Extremwertaufgaben): ->Gleichungsmenü -> F2 Polynomgleichung (und dann den Grad auswählen) ● ● Funktionen untersuchen 1. Symmetrie -> Achsensymmetrie zur y-Achse -> Punktsymmetrie zum Ursprung -> sonst keine gewöhnliche Symmetrie Bei ganzrationalen Funktionen lässt sich die Symmetrie anhand der Exponenten feststellen: Exponenten gerade -> achsensymmetrisch zur y-Achse Exponenten ungerade -> punktsymmetrisch zum Urspung Exponenten gerade + ungerade -> keine gewöhnliche Symmetrie Achtung: Das absolute Glied ändert nichts an der Achsensymmetrie, aber es verhindert die Punktsymmetrie. Beispiel: 1. f(x) = 4x² + 7 gerader Exponent →achsensymmetrisch rechnerisch: f(x)= x3 3x² + 3x 2. = = absolutes Glied ist f(x) = f(-x) →achsensymmetrisch - 2x x) = 3x² + ³x³- ungerade Exponenten →punktsymmetrisch -f(-x) = (-1) (-x³-3x²-3x) x3 + 3x² + 3x f(-x) = (-x)³-3. (-x)² + 3.(-x) -x³-3. x² + 3x -x³ 3x² 3x # f(x) →nicht achsensymmetrische einsetzen ist f(x) = f(-x) →punkt symmetrisch gleich? 3. f(x) = 7x5-3x + y ungerade Exponenten, gent aber nicht durch den ursprung →keine gewöhnliche symmetrie keine gewonnlicne symmetrie #f(x) →nicht punktsymmetrisch + 2. Verhalten im Unendlichen (Globalverhalten) -> wichtigstes Merkmal: Exponent mit Vorfaktor -> man betrachtet den Grenzwert der Funktion für x -> +00 ↓ der Graph der Graph steigt sinkt Das Verhalten einer ganzrationalen Zahl im Unendlichen wird vom Summanden mit der höchsten Potenz von x bestimmt. Beispiel: n gerade X118 f(x)= 3x² - 2x + 1 f(x)→ 00 f(x) î X+8 y man schreibt: 3. Nullstellen f(x)=2x² + 4x -) F(X) = a. xin EIN; n ³0 Lim f(x) X- X118 Bekannte Methoden: pq - Formel n ungerade f(x)-00 f(x)00 IT verhalten im unendlichen -1 -> Immer gleicher Ansatz f(x) = 0 oder ya quadratische Ergänzung x ausklammern Äquivalenzumformung X-+∞ Faktor g(x) = 4x+2 X118 f(x)-8 f(x)-8 um f(x) und x-> -∞ n gerade X-∞ YA negativ, ACHTUNG: bei ungeraden Exponenten kann man Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen nur quadratische Funktionen X-+∞o a<0 ∞ n ungerade X-8 gespiegelt f(x)→ 00 f(x)-8 x+8 Exponent gerade → von WO kommt der Graph und wohin gent er? → man kann nönere auch Potenzen von X austiammern 4. Punktprobe -> Überprüfung, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt Vorgehen: Punkt in Gleichung einsetzen g(x)= (x+3)²-4 P₁ (417) y = (x + 3)²-4 7 = (4 + 3)² - 4 7 = 7 = 7 # 45 P₁ Liegt nicht auf dem Grapnen g(x) 5. y-Achsenabschnitt -> immer gleicher Ansatz: f(0) berechnen, ansonsten wichtiges Merkmal absolutes Glied beachten Beispiel: K(x) = 12x4 + 3x³ → bei 0 72 Tangentengleichung Vorgehen: Beispiel: h - 49 - ५ 6. Schnittpunkte berechnen -> wenn von zwei Funktionen den Schnittpunkt haben möchte, so muss man diese gleichsetzen also: f(x) = g(x) 1. Ansatz + Infos notieren 2. f(x) ableiten für das Berechnen der Steigung 3. Zwischenergebnis notieren 4. umformen um y-Achsenabschnitt zu berechnen 5. Funktionsgleichung notieren f(4) 1. + (x) = 2. 1. geg.: f(x)= 0,5x² 3. 4.6. = 0,5.4² = 8 m. x + 6 f'(x) = x f' (u) = 4 =)t(x) = 4x+b 8 = 4.4+0 16+6 -8= 5. => t(x) = 4x-8 =>P(418) und und b 1-16 xo = 4 ((x) = -0₁2 x³ + 4x² - 1 →bei -1 } feniende cauBer weil Tangente t(x) = /m. x + b* steigung y-Achsen- abschnitt Koordinate berechnen Punkt gegeben)