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Zusammenhang zwischen Funktionen, Ableitungen und Stammfunktionen – Einfache Erklärungen und Beispiele

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katharinaa

26.9.2023

Mathe

Extemstellen, Wendestellen, Extremwertaufgaben, Steckbriefaufgaben

Zusammenhang zwischen Funktionen, Ableitungen und Stammfunktionen – Einfache Erklärungen und Beispiele

Die mathematische Analyse von Funktionen und deren Ableitungen bildet einen zentralen Aspekt der höheren Mathematik.

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung lässt sich sowohl graphisch als auch analytisch darstellen. Bei der ersten Ableitung einer Funktion werden die Steigungen der Ursprungsfunktion beschrieben, während die 2. Ableitung Auskunft über die Krümmung gibt. Diese Zusammenhänge sind besonders wichtig für die Bestimmung von Extrempunkten und Wendepunkten. Die hinreichende Bedingung für Extremstellen wird durch das Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung bestimmt, während die zweite Ableitung die Art des Extremums (Maximum oder Minimum) festlegt.

Die Monotonie einer Funktion beschreibt deren Steigungsverhalten. Eine monoton steigende Funktion weist durchgehend positive Steigungen auf, während eine monoton fallende Funktion negative Steigungen besitzt. Bei linearen Funktionen ist die Monotonie konstant, bei quadratischen Funktionen kann sie sich ändern. Der Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren zeigt sich als inverse Operation: Während das Differenzieren die Ableitung einer Funktion bestimmt, führt das Integrieren zur Stammfunktion. Diese Beziehung ist fundamental für das Verständnis von Flächenberechnungen und Änderungsraten. Die Bestimmung von globalen Extremstellen erfordert sowohl die Analyse der ersten und zweiten Ableitung als auch die Betrachtung der Randpunkte des Definitionsbereichs. Für die praktische Anwendung sind Extremstellen berechnen Aufgaben mit Lösungen besonders hilfreich, da sie das theoretische Wissen durch konkrete Beispiele vertiefen.

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26.9.2023

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MATHE-KLAUSUR 21.1
Zusammenhang zwischen f und f'
Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P ( xolf(xo)) d

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Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung ist ein fundamentales Konzept der Analysis. Die Ableitung einer Funktion f'(x) beschreibt die Steigung der Tangente an jedem Punkt der ursprünglichen Funktion f(x).

Definition: Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P(x₀,f(x₀)) wird als Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ bezeichnet.

Der graphische Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion zeigt sich besonders deutlich bei der Betrachtung von Extrempunkten. An Extremstellen ist die Tangente waagerecht, was bedeutet, dass die Ableitung an diesen Stellen null ist. Dies verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren.

Merksatz:

  • Wo f(x) einen Hochpunkt oder Tiefpunkt hat, hat f'(x) eine Nullstelle
  • Wo f(x) steigt, ist f'(x) positiv
  • Wo f(x) fällt, ist f'(x) negativ
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Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P ( xolf(xo)) d

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Monotonie und Extremstellen

Die Monotonie Funktion ist eng mit der ersten Ableitung verbunden. Der Monotoniesatz besagt, dass eine Funktion streng monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist, und streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.

Beispiel: Eine monoton steigende Funktion liegt vor, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂). Bei einer monoton fallenden Funktion gilt entsprechend: f(x₁) > f(x₂).

Die Monotonie berechnen erfolgt durch:

  1. Bestimmung der ersten Ableitung
  2. Nullstellen der Ableitung finden
  3. Vorzeichenwechsel untersuchen
MATHE-KLAUSUR 21.1
Zusammenhang zwischen f und f'
Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P ( xolf(xo)) d

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Extremstellen und Wendepunkte

Für das Extrempunkte berechnen ist die Kenntnis der hinreichenden Bedingung Extremstellen essentiell.

Highlight: Zur Bestimmung von Extremstellen:

  1. Erste Ableitung bilden und nullsetzen (notwendige Bedingung)
  2. Vorzeichenwechsel untersuchen oder zweite Ableitung verwenden (hinreichende Bedingung)

Die 2. Ableitung Bedeutung liegt in der Bestimmung der Krümmung und der Verifizierung von Extremstellen. Ein positiver Wert der zweiten Ableitung zeigt einen Tiefpunkt, ein negativer Wert einen Hochpunkt an.

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Krümmungsverhalten und zweite Ableitung

Der Zusammenhang 1. und 2. Ableitung zeigt sich besonders beim Krümmungsverhalten einer Funktion. Die zweite Ableitung gibt Auskunft über Links- und Rechtskrümmung des Graphen.

Definition: Eine Funktion ist in einem Intervall I linksgekrümmt, wenn f' dort streng monoton steigend ist (f'' > 0). Sie ist rechtsgekrümmt, wenn f' streng monoton fallend ist (f'' < 0).

Diese Zusammenhänge sind fundamental für die Kurvendiskussion Extrempunkte berechnen und das Verständnis des Funktionsverhaltens.

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Wendepunkte und Sattelpunkte in der Analysis

Die Zusammenhang Funktion und Ableitung spielt eine zentrale Rolle beim Verständnis von Wendepunkten und Sattelpunkten. Ein Wendepunkt markiert die Stelle, an der eine Funktion von einer Links- in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt. Der Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren wird hier besonders deutlich.

Definition: Ein Wendepunkt W(x₀|f(x₀)) ist ein Punkt, an dem der Graph einer Funktion f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt. Die zugehörige x-Koordinate x₀ nennt man Wendestelle.

Für die Bestimmung von Wendepunkten gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen. Die 2. Ableitung Bedeutung zeigt sich hier deutlich: An Wendestellen muss die zweite Ableitung f''(x) = 0 sein (notwendige Bedingung) und einen Vorzeichenwechsel aufweisen (hinreichende Bedingung).

Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit horizontaler Tangente (f'(x) = 0). Dies macht ihn zu einem besonderen Fall, der sich von gewöhnlichen Extrempunkten unterscheidet. Der Graphischer Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion lässt sich hier gut beobachten.

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Wendetangenten und ihre Berechnung

Die Wendetangente ist eine wichtige geometrische Konstruktion an Wendepunkten. Sie berührt den Graphen im Wendepunkt und hat dort die Steigung m = f'(x₀).

Beispiel: Für einen Wendepunkt W(1|0) mit der Steigung m = -1 lautet die Gleichung der Wendetangente: y = -x + 1

Die Berechnung der Wendetangente erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Bestimmung der Steigung durch Einsetzen der x-Koordinate in f'(x)
  2. Aufstellen der Tangentengleichung y = mx + b
  3. Berechnung des y-Achsenabschnitts b mithilfe des Wendepunkts

Der Zusammenhang Funktion und Ableitung graphisch wird hier besonders anschaulich.

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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen sucht man Maxima oder Minima unter bestimmten Einschränkungen. Die Extrempunkte berechnen erfolgt hier nach einem systematischen Verfahren.

Highlight: Vorgehensweise bei Extremwertproblemen:

  1. Extrembedingung aufstellen
  2. Nebenbedingung identifizieren
  3. Zielfunktion bilden
  4. Maximum/Minimum bestimmen
  5. Randwerte prüfen
  6. Aufgabenbezug herstellen

Die Monotonie Funktion spielt bei der Analyse eine wichtige Rolle. Besonders die Monotonie berechnen hilft bei der Identifikation von Extremstellen.

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Steckbriefaufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Bei Steckbriefaufgaben wird eine Funktionsgleichung gesucht, die bestimmte vorgegebene Eigenschaften erfüllt. Die Extremstellen berechnen Aufgaben mit Lösungen PDF zeigen typische Beispiele.

Vokabular: Wichtige Eigenschaften für Steckbriefaufgaben:

  • Durchgang durch bestimmte Punkte
  • Nullstellen
  • Steigungen an bestimmten Stellen
  • Parallelität zu anderen Funktionen

Die Extrem und Wendepunkte berechnen Aufgaben mit Lösungen erfordern systematisches Vorgehen:

  1. Funktionsansatz aufstellen
  2. Bedingungen in Gleichungen übersetzen
  3. Gleichungssystem lösen
  4. Lösung überprüfen
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Extremstellen und Wendepunkte in der Funktionsanalyse

Die Analyse von Funktionen durch ihre charakteristischen Punkte ist ein fundamentales Konzept der Analysis. Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung spielt dabei eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten.

Bei der Untersuchung einer Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d müssen verschiedene Bedingungen berücksichtigt werden. Wenn beispielsweise der Graph die y-Achse bei y = 8 schneidet, bedeutet dies f(0) = 8. Daraus folgt unmittelbar d = 8, da alle anderen Terme bei x = 0 verschwinden. Die Monotonie der Funktion lässt sich durch die erste Ableitung bestimmen.

Definition: Ein Extrempunkt liegt vor, wenn die erste Ableitung f'(x) = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Die hinreichende Bedingung für Extremstellen erfordert zusätzlich die Untersuchung der zweiten Ableitung.

Für Wendepunkte ist die zweite Ableitung entscheidend. Ein Wendepunkt bei x = -5 bedeutet, dass f''(-5) = 0 sein muss. Dies führt zur Gleichung 6a(-5) + 2b = 0, woraus sich weitere Bedingungen für die Koeffizienten ergeben. Die Bedeutung der 2. Ableitung zeigt sich hier besonders deutlich.

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Mathe

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2. Aug. 2025

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Zusammenhang zwischen Funktionen, Ableitungen und Stammfunktionen – Einfache Erklärungen und Beispiele

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katharinaa

@kathiii.brn

Die mathematische Analyse von Funktionen und deren Ableitungen bildet einen zentralen Aspekt der höheren Mathematik.

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung lässt sich sowohl graphischals auch analytisch darstellen. Bei der ersten Ableitung einer Funktion werden die Steigungen der Ursprungsfunktion... Mehr anzeigen

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Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung ist ein fundamentales Konzept der Analysis. Die Ableitung einer Funktion f'(x) beschreibt die Steigung der Tangente an jedem Punkt der ursprünglichen Funktion f(x).

Definition: Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P(x₀,f(x₀)) wird als Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ bezeichnet.

Der graphische Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion zeigt sich besonders deutlich bei der Betrachtung von Extrempunkten. An Extremstellen ist die Tangente waagerecht, was bedeutet, dass die Ableitung an diesen Stellen null ist. Dies verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren.

Merksatz:

  • Wo f(x) einen Hochpunkt oder Tiefpunkt hat, hat f'(x) eine Nullstelle
  • Wo f(x) steigt, ist f'(x) positiv
  • Wo f(x) fällt, ist f'(x) negativ
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Monotonie und Extremstellen

Die Monotonie Funktion ist eng mit der ersten Ableitung verbunden. Der Monotoniesatz besagt, dass eine Funktion streng monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist, und streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.

Beispiel: Eine monoton steigende Funktion liegt vor, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂). Bei einer monoton fallenden Funktion gilt entsprechend: f(x₁) > f(x₂).

Die Monotonie berechnen erfolgt durch:

  1. Bestimmung der ersten Ableitung
  2. Nullstellen der Ableitung finden
  3. Vorzeichenwechsel untersuchen
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Extremstellen und Wendepunkte

Für das Extrempunkte berechnen ist die Kenntnis der hinreichenden Bedingung Extremstellen essentiell.

Highlight: Zur Bestimmung von Extremstellen:

  1. Erste Ableitung bilden und nullsetzen (notwendige Bedingung)
  2. Vorzeichenwechsel untersuchen oder zweite Ableitung verwenden (hinreichende Bedingung)

Die 2. Ableitung Bedeutung liegt in der Bestimmung der Krümmung und der Verifizierung von Extremstellen. Ein positiver Wert der zweiten Ableitung zeigt einen Tiefpunkt, ein negativer Wert einen Hochpunkt an.

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Krümmungsverhalten und zweite Ableitung

Der Zusammenhang 1. und 2. Ableitung zeigt sich besonders beim Krümmungsverhalten einer Funktion. Die zweite Ableitung gibt Auskunft über Links- und Rechtskrümmung des Graphen.

Definition: Eine Funktion ist in einem Intervall I linksgekrümmt, wenn f' dort streng monoton steigend ist (f'' > 0). Sie ist rechtsgekrümmt, wenn f' streng monoton fallend ist (f'' < 0).

Diese Zusammenhänge sind fundamental für die Kurvendiskussion Extrempunkte berechnen und das Verständnis des Funktionsverhaltens.

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Wendepunkte und Sattelpunkte in der Analysis

Die Zusammenhang Funktion und Ableitung spielt eine zentrale Rolle beim Verständnis von Wendepunkten und Sattelpunkten. Ein Wendepunkt markiert die Stelle, an der eine Funktion von einer Links- in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt. Der Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren wird hier besonders deutlich.

Definition: Ein Wendepunkt W(x₀|f(x₀)) ist ein Punkt, an dem der Graph einer Funktion f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt. Die zugehörige x-Koordinate x₀ nennt man Wendestelle.

Für die Bestimmung von Wendepunkten gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen. Die 2. Ableitung Bedeutung zeigt sich hier deutlich: An Wendestellen muss die zweite Ableitung f''(x) = 0 sein (notwendige Bedingung) und einen Vorzeichenwechsel aufweisen (hinreichende Bedingung).

Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit horizontaler Tangente (f'(x) = 0). Dies macht ihn zu einem besonderen Fall, der sich von gewöhnlichen Extrempunkten unterscheidet. Der Graphischer Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion lässt sich hier gut beobachten.

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Wendetangenten und ihre Berechnung

Die Wendetangente ist eine wichtige geometrische Konstruktion an Wendepunkten. Sie berührt den Graphen im Wendepunkt und hat dort die Steigung m = f'(x₀).

Beispiel: Für einen Wendepunkt W(1|0) mit der Steigung m = -1 lautet die Gleichung der Wendetangente: y = -x + 1

Die Berechnung der Wendetangente erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Bestimmung der Steigung durch Einsetzen der x-Koordinate in f'(x)
  2. Aufstellen der Tangentengleichung y = mx + b
  3. Berechnung des y-Achsenabschnitts b mithilfe des Wendepunkts

Der Zusammenhang Funktion und Ableitung graphisch wird hier besonders anschaulich.

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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen sucht man Maxima oder Minima unter bestimmten Einschränkungen. Die Extrempunkte berechnen erfolgt hier nach einem systematischen Verfahren.

Highlight: Vorgehensweise bei Extremwertproblemen:

  1. Extrembedingung aufstellen
  2. Nebenbedingung identifizieren
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  • Durchgang durch bestimmte Punkte
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  • Steigungen an bestimmten Stellen
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Die Extrem und Wendepunkte berechnen Aufgaben mit Lösungen erfordern systematisches Vorgehen:

  1. Funktionsansatz aufstellen
  2. Bedingungen in Gleichungen übersetzen
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Extremstellen und Wendepunkte in der Funktionsanalyse

Die Analyse von Funktionen durch ihre charakteristischen Punkte ist ein fundamentales Konzept der Analysis. Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung spielt dabei eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten.

Bei der Untersuchung einer Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d müssen verschiedene Bedingungen berücksichtigt werden. Wenn beispielsweise der Graph die y-Achse bei y = 8 schneidet, bedeutet dies f(0) = 8. Daraus folgt unmittelbar d = 8, da alle anderen Terme bei x = 0 verschwinden. Die Monotonie der Funktion lässt sich durch die erste Ableitung bestimmen.

Definition: Ein Extrempunkt liegt vor, wenn die erste Ableitung f'(x) = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Die hinreichende Bedingung für Extremstellen erfordert zusätzlich die Untersuchung der zweiten Ableitung.

Für Wendepunkte ist die zweite Ableitung entscheidend. Ein Wendepunkt bei x = -5 bedeutet, dass f''(-5) = 0 sein muss. Dies führt zur Gleichung 6a(-5) + 2b = 0, woraus sich weitere Bedingungen für die Koeffizienten ergeben. Die Bedeutung der 2. Ableitung zeigt sich hier besonders deutlich.

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Graphische Interpretation und praktische Anwendung

Der graphische Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion wird besonders deutlich bei der Analyse von Berührpunkten mit der x-Achse. Wenn der Graph die x-Achse bei x = 5 berührt, muss nicht nur f(5) = 0 gelten, sondern auch f'(5) = 0, was zu einem System von Gleichungen führt.

Beispiel: Bei einer kubischen Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d mit Wendepunkt bei (-5,4) ergeben sich folgende Bedingungen:

  • f(-5) = 4
  • f''(-5) = 0
  • Überprüfung der Symmetrie falls gefordert

Die Monotonie Funktion spielt eine wichtige Rolle bei der Charakterisierung des Funktionsverhaltens. Eine monoton steigende Funktion hat eine durchgehend positive erste Ableitung, während eine monoton fallende Funktion eine durchgehend negative erste Ableitung aufweist.

Hinweis: Bei der Lösung von Aufgaben zur Kurvendiskussion ist es wichtig, systematisch vorzugehen:

  1. Nullstellen bestimmen
  2. Extremstellen durch f'(x) = 0 ermitteln
  3. Wendepunkte durch f''(x) = 0 finden
  4. Hinreichende Bedingungen überprüfen

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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