Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen: Praktische Anwendung

Diese Seite bietet eine detaillierte Anleitung zur Lösung von Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen. Am Beispiel eines Rechtecks, das aus einem Draht geformt werden soll, wird der Lösungsprozess Schritt für Schritt erläutert.

Beispiel: Aus einem 50 cm langen Draht soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt gebogen werden.

Der Lösungsweg gliedert sich in sechs Hauptschritte:

1. Identifikation der Zielgröße: In diesem Fall ist es der Flächeninhalt A = a * b, wobei a und b die Seitenlängen des Rechtecks sind.

2. Erfassung der bekannten Informationen: Die Nebenbedingung lautet 2a + 2b = 50, was sich aus der Gesamtlänge des Drahtes ergibt.

3. Auflösung der Nebenbedingung: Durch Umformung erhält man a = 25 - b.

4. Aufstellung der Zielfunktion: Durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielgröße ergibt sich A(b) = (25 - b) * b = 25b - b².

5. Untersuchung der Zielfunktion auf Extremstellen:

   • Notwendige Bedingung: A'(b) = 25 - 2b = 0

   • Hinreichende Bedingung: A''(b) = -2 < 0 (Hochpunkt)

   Highlight: Die Berechnung ergibt b = 12,5 cm als optimale Breite.

6. Berechnung des fehlenden Wertes und Formulierung des Ergebnisses: a = 25 - 12,5 = 12,5 cm

Vocabulary:

• Extremwertproblem: Eine Aufgabe, bei der der größte oder kleinste Wert einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht wird.
• Nebenbedingung: Eine zusätzliche Einschränkung oder Voraussetzung, die bei der Lösung eines Problems berücksichtigt werden muss.

Definition: Ein Hochpunkt (HP) liegt vor, wenn die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ ist, was auf ein lokales Maximum hindeutet.

Abschließend lässt sich festhalten, dass für den maximalen Flächeninhalt ein quadratisches Rechteck mit Seitenlängen von 12,5 cm optimal ist. Diese Aufgabe demonstriert eindrucksvoll die praktische Anwendung von Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen und bietet eine hervorragende Übung für Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Aufgaben pdf.