Stochastik

Hey, willkommen in der Welt der Wahrscheinlichkeiten! Stochastik ist eigentlich überall um uns herum - von Wettervorhersagen bis hin zu Spielen.

In diesem Thema lernst du die wichtigsten Werkzeuge kennen, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und zu verstehen. Du wirst sehen, dass Mathe dabei helfen kann, die Unsicherheit des Alltags mathematisch zu erfassen.

Tipp: Stochastik ist sehr praktisch - die Konzepte begegnen dir später im Studium und Beruf immer wieder!

Baumdiagramm & Vier-Felder-Tafel

Baumdiagramme sind deine besten Freunde bei mehrstufigen Zufallsexperimenten! Mit ihnen visualisierst du komplexe Wahrscheinlichkeiten super einfach.

Die drei Pfadregeln sind dein Grundwerkzeug:

• 1. Pfadregel: P(A∩B) = P(A) · P(B) - multipliziere entlang der Pfade
• 2. Pfadregel: P(B) = P(A∩B) + P(A̅∩B) - addiere gleichnamige Ereignisse
• 3. Pfadregel: P_A(B) = P(A∩B) : P(A) - so berechnest du bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet: Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist? Das schreibst du als P_A(B). Bei Schnittmengen fragst du: Wie wahrscheinlich ist es, dass A und B beide eintreten?

Merkhilfe: "Unter der Bedingung" = bedingte Wahrscheinlichkeit, "und" = Schnittmenge!

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das eine das andere nicht beeinflusst. Das ist ein mega wichtiges Konzept!

Mathematisch bedeutet das: P_A(B) = P(B) = P_A̅(B). Anders gesagt: Egal ob A eintritt oder nicht, die Wahrscheinlichkeit für B bleibt gleich. Daraus folgt die praktische Formel: P(A∩B) = P(A) · P(B).

Um Unabhängigkeit zu prüfen, hast du zwei Optionen: Entweder checkst du, ob P_A(B) = P(B) ist, oder ob P(A∩B) = P(A) · P(B) gilt. Beide Wege führen zum Ziel.

Im Alltag bedeutet stochastische Abhängigkeit oft Diskriminierung oder Korrelation. Wenn "weiblich" und "befördert" abhängig sind, gibt es ein Problem mit der Chancengleichheit!

Real-World-Check: Stochastische Unabhängigkeit hilft dir, Fairness und Gleichberechtigung mathematisch zu überprüfen.

Sensitivität & Spezifität

Bei medizinischen Tests sind Sensitivität und Spezifität entscheidend für die Aussagekraft. Diese Begriffe begegnen dir auch in anderen Testverfahren!

Sensitivität = P_k(p): Wie gut erkennt der Test kranke Personen? Eine Sensitivität von 95% bedeutet: 95% der Kranken werden als krank erkannt, aber 5% werden fälschlicherweise als gesund eingestuft.

Spezifität = P_k̅(n): Wie gut erkennt der Test gesunde Personen? Eine Spezifität von 85% bedeutet: 85% der Gesunden werden korrekt als gesund erkannt, aber 15% werden fälschlicherweise als krank diagnostiziert.

Diese Werte helfen dir zu verstehen, wie verlässlich ein Test wirklich ist. Perfekte Tests (100% Sensitivität und Spezifität) gibt es in der Realität praktisch nie.

Praxis-Tipp: Bei Schwangerschaftstests, Corona-Tests oder anderen medizinischen Verfahren kannst du jetzt die Qualität besser einschätzen!

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Zufallsgröße

Zufallsgrößen ordnen jedem Ereignis eine Zahl zu - das macht Wahrscheinlichkeiten berechenbar! Stell dir vor, du spielst ein Spiel und gewinnst oder verlierst Geld.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir alle möglichen Werte deiner Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Bei einem Kugelspiel könnte deine Zufallsgröße X der Gewinn in Euro sein: -1€ (Verlust) oder +1,20€ (Gewinn).

Der Erwartungswert E(X) sagt dir, was du langfristig erwartest. Ist E(X) = -0,12€, verlierst du im Schnitt 12 Cent pro Spiel. Ein fairer Spiel hat E(X) = 0 - du machst weder Gewinn noch Verlust.

Um ein Spiel fair zu machen, kannst du die Auszahlung anpassen. Wenn du weißt, welche Auszahlung E(X) = 0 ergibt, hast du die perfekte Balance gefunden!

Money-Tipp: Mit Erwartungswerten kannst du bewerten, ob sich Glücksspiele oder Versicherungen für dich lohnen!

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert μ(X) ist der Durchschnitt, den du bei häufiger Wiederholung erwarten kannst. Du berechnest ihn mit: μ(X) = x₁·P$X=x₁$ + x₂·P$X=x₂$ + ... + xₙ·P$X=xₙ$.

Die Standardabweichung σ(X) zeigt dir, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet wenig Überraschungen, eine große bedeutet hohe Schwankungen.

Beim Vergleich von Spielautomaten schaust du auf beide Werte: Automat A hat vielleicht einen niedrigeren Erwartungswert, aber auch weniger Risiko. Automat B bietet höhere Gewinnchancen, aber mit größeren Schwankungen.

Für risikofreudige Spieler ist ein Automat mit hoher Standardabweichung interessant - die Chance auf große Gewinne ist höher. Sicherheitsorientierte Spieler bevorzugen niedrige Standardabweichungen.

GTR-Hack: Mit STAT → Edit und 1-Var Stats berechnest du Erwartungswert und Standardabweichung blitzschnell!

Berechnung mit dem GTR

Hier siehst du die praktische Umsetzung der Berechnungen! Für Automat A ergibt sich μ₁ = 0,125€ und für Automat B μ₂ = 0,425€ - Automat B ist also profitabler.

Bei der Standardabweichung kannst du zwischen Formel und GTR wählen. Der GTR-Weg ist deutlich schneller: STAT → Edit → Werte in L₁, Wahrscheinlichkeiten in L₂ → STAT → Calc → 1-Var Stats.

Das Ergebnis: σ_A ≈ 0,348 und σ_B ≈ 0,288. Automat A hat mehr Schwankung, Automat B ist berechenbarer. Je nach deinem Risikotyp wählst du anders!

Die Interpretation ist entscheidend für Klausuren: Automat B bietet höhere Gewinnerwartung bei geringerem Risiko. Automat A ist für Adrenalinjunkies, die auf den großen Coup hoffen.

Klausur-Tipp: Vergiss nicht die Interpretation - reine Zahlen reichen meist nicht für volle Punktzahl!

Bernoulli-Versuche und die Binomialverteilung

Bernoulli-Experimente haben nur zwei Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg. Denk an Münzwurf, Elfmeter oder Geschlecht von Neugeborenen - alles Ja/Nein-Situationen.

Eine Bernoulli-Kette entsteht, wenn du das Experiment n-mal wiederholst. Die Formel von Bernoulli gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge: P$X=k$ = (n über k) · p^k · $1-p$^$n-k$.

Der Binomialkoeffizient (n über k) zeigt, auf wie viele Arten k Erfolge bei n Versuchen auftreten können. Mit dem GTR berechnest du das über Math → PRB → nCr.

Für die Bernoulli-Formel nutzt du binompdf im GTR: 2nd → Vars → binompdf(n,p,k). Das spart Zeit und verhindert Rechenfehler in Klausuren!

Praxis-Check: Von Basketballwürfen bis Medikamentenwirkung - Bernoulli ist überall in der Realität!

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten sind Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten. P(X≤4) bedeutet "höchstens 4 Treffer" und ist die Summe von P$X=0$ + P$X=1$ + P$X=2$ + P$X=3$ + P$X=4$.

Mit binomcdf berechnest du diese Summen direkt: 2nd → Vars → binomcdf(n,p,k). Das ist viel schneller als alle Einzelwahrscheinlichkeiten zu addieren!

Für "mindestens"-Aufgaben nutzt du den Trick: P(X≥3) = 1 - P(X≤2). Das Gegenereignis ist oft einfacher zu berechnen.

Bei komplexeren Bedingungen wie "X≤1 oder X≥5" addierst du die Wahrscheinlichkeiten. Bei "X≥1 und X≤5" berechnest du P(X≤5) - P$X=0$.

Zeit-Spar-Tipp: Lerne die GTR-Befehle auswendig - in Klausuren zählt jede Minute!

Auslastungsmodell

Auslastungsmodelle helfen bei realen Planungsproblemen. Wie viele Bankautomaten brauchst du, damit nicht zu viele Kunden warten müssen?

Das Modell: 120 Kunden pro Stunde, aufgeteilt in 60 Zeiteinheiten zu je einer Minute. Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/60 für jeden Zeitabschnitt. Mit binomcdf berechnest du P(X≤k) für k Automaten.

Ergebnis: 2 Automaten reichen mit 68% Wahrscheinlichkeit, 4 Automaten mit 95%. Die Bank muss zwischen Kosten und Kundenservice abwägen.

Bei Mindestanzahl-Problemen wie dem Passwort-Beispiel löst du Ungleichungen: 1 - $1-p$^n ≥ 0,95 führt zu n ≥ 74 Konten für 95% Erfolgschance.

Die Realität ist komplexer: Kunden kommen nicht gleichmäßig, Nutzungsdauer variiert, es gibt Stoßzeiten. Trotzdem liefert das Modell brauchbare Näherungen für die Praxis.

Real-World-Connection: Von Servern bis Kassen - Auslastungsmodelle sind in der Wirtschaft unverzichtbar!