Lernzettel Vektoren

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= | [ (3) - (²3)]-( | [ (3)-(3)]-(25LE - (11) ( 2 ) + + ·1· ₁0+ 2.790 + 3/170 x= 9+v уз чу z= 5+2r 3-1-3-1 (-1)-(-3)-1-0 0-3-(-3)-3 =√√90² ● Das Lotfußverfahren Unter einem Punkt P der Ebene & versteht man die länge d der Cotstrecke PF, die senkrecht auf der Ebene steht. Punkt F heißt Lotfußpunkt. P Beispiel: Ex+y+ 2z=6 P(41415) 1. Bilden der lotgeraden g g₁x²³= a +r.m³² "= = () +- (2) S(21213) 3 -3 4)-(-)-(;) 3 0 0- = (y ) + ( ² ) = (*) 4. Abstand von Pund F d=1PF1 = √ (2-4)²+(2-4)² + (1-51²₁² ¹² = √24 = 4,90 LE → F(21211)>(otfußpunkt Koordinaten in E einsetzen: E: (4+r)+(4+r)+2-(5+21) Ebene 18761 = 6 6r=-12 16 r= -2 Id +2.7/90 + 2. 7/1410| + 2,5LE F Überblick Skalarprodukt: Rechenregeln für das Skalarprodukt: Betrag eines Vektors: Winkel zwischen Vektoren: Orthogonale Vektoren: Normalenvektor: Kosinusform: a-bab-cosy Koordinatenform: a b = (a) · (b) = a₁b₁ + a₂b₂ Flächeninhalt eines Dreiecks: a-b=b-a (r.a) b=r (a-b), TER (a+b)-c=ã c+b.č |a| = √a² = √a·a a∙b=a2 Kosinusformel: cos y=- a¹6 ⇒ a b=0 Winkel zwischen Geraden: Für den Schnittwinkel y von zwei Geraden gilt: 0°≤ y ≤90°. Man bestimmt y mithilfe der Kosinusformel, die auf die Richtungsvektoren der Geraden angewandt wird. aj a-b Ein Normalenvektor n steht senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren a, b. I a₁x + a₂y+a3 z = 0, II b₁x + b₂y + b3 z = 0. Man errechnet seine Koordi- naten x, y und z als Lösungen des linearen Gleichungssystems Das von a und b aufgespannte Dreieck hat den Flächeninhalt A = √²-6²-(a-b)² b₂ (0°≤ y ≤180°) = a₁b₁ + a₂b₂+ a3b3 640 Y a#0 h b Schnittwinkel Schnittwinkel von zwei Ebenen Schneiden sich zwei Ebenen E₁ und E2 mit den Normalenvektoren und W₂, so gilt für ihren cos Schnittwinkel 90° - Beispiel: E₁³4x+3x+22=1 1. Normalenvektoren bestimmen durch √²³₁= (2²) √2₂²=(²³) 2. Schnittwinkel bestimmen 15²³²₁1 = √√4²³² +3² +22²² = √29 15³²₂1=√√√² +3² +2² =√13 Im²-ñ'²1 sin ge = 1m³²1-1ñ³²1 15²³²1 = √√3² + 1² +2²² = √14 دا | ₁³² ·ñ³² | = 2·3+1·1+ (-2)2=3 152²³1 = √√√2² +1²^² +6~-21²¹ =√9 a bo Schnittwinkel von Gerade und Ebene Beispiel: 9²8² = (²3) + r. (1) cos je = 12²1-161 = E₁₂₁² [x² - (9)]-) = 0 Beispiel: a² = (²) b² = (2) cos X= नाय. वड = 0,4781 (05-1 (0,4781) = 61.44* 1²-²₂1 Ina thal = [(-3) -(1)| | ( ²₂ ) [(D)] 16²³²₁₂-52²2₂²1=4-0+3-3+2-2=13 13 Cosje= √29-√73 cos1 (016695) = 47,97° Je=47,97° abksen! Schnittwinkel bei Spaltenvektoren € [x - ( ² )]-( ³ ) = 0 3 √9+√14 je ≤ 90° = 0,6695 ~0,267 →> sin´¹ (01267) = _(5, 49° |a²|= √3² +2²² +²² = √√TY² 16²1 = √0² + 1²¹ +2²2² = √5 a² · 6² = 3·0+2-1+1·2=4 Schnittwinkel von Gerade und Gerade Im² m²l cos je = 1m³²₂1-1m³²₂1 (immer der kleinere Winkel) Berspiet=_g: <² = (i)+r. (1), h=8²= (1) +s ( ²1 ) 10-031 cosge= T(E)) ((~3)] cos" ^ (0,68 ) = 47,16° Schatten D 5 何论 Beispiel: Schattenwurf Im 1. Oktanden des Koordinatensys- tems steht die senkrechte Strecke PQ mit P(4|3|0) und Q(4|3|6). In Richtung des Vektors paralleles Licht auf die Strecke. Konstruieren Sie rechnerisch ein Schat- tenbild der Strecke auf den Randflä- chen des 1. Oktanden. (1) fällt 1. Geradengleichung aufstellen g= P = ( ? ) + ₁ ( Z ) 2, X-Koordinate nullsetzen 6 so erhält man Q', also den SP von g -= 0168 B. Orthogonale Vektoren Zwei Vektoren a und b (a, b 0) werden als zueinander orthogonale Vektoren be- zeichnet, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Man verwendet hierfür die symbo- lische Schreibweise ab. Mithilfe des Skalarproduktes kann man besonders einfach überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind. Das Skalarpro- dukt der Vektoren ist dann nämlich gleich null, weil für y = 90° gilt: a∙b= |a|-|b-cos 90° = |a|-|6-0=0. Beispiel: Orthogonale Vektoren Prüfen Sie, ob zwei der drei Vektoren orthogonal sind. *- ().- ()-²-(1) | 5²³²₁1 = ( ² ) = √ √₁² + 1² +2²³ = -√19² 1m²₂²₂ | = |( ₂² ) | = √(- ₁1³² +2²+ ₁² = √²6² |m³²₁ - ³²²- | ( ² ) - ( ²3 ) | ² ₁1- (-1) + 2-2 +21=5 = mit der x=0-> 4-2r=0 V=2 v in g einsetzen: g²R² = (31)+ 2 (2) - (3) 3. Fußpunkt bestimmen: z Koordinate muss null sein um Fußpunkt zu erhalten also: Q"(01510) Orthogonalitätskriterium Q 6 yz → Q'(01512) Orthogonalitätskriterium Zwei Vektoren a und b (a,b0) sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist. ab ab=0 094-1 Lösung: a b=1 ➡a, b sind nicht orthogonal. a-c=0 ➡a, e sind orthogonal. 6-c=15 b, c sind nicht orthogonal. Q" O' Ebene Relative Lage von Gerade und Ebene: Lagebeziehungen E E₁ g Relative Lage von zwei Ebenen: E₁ E, E₂ Ein Gerade g im Raum kann parallel zu einer Ebene E verlaufen, in der Ebene liegen oder sie in genau einem Punkt schneiden. x= 3r+3s Y = 2v z=3-r-s Parallelität erkennt man daran, dass der Richtungsvektor der Ge- raden und der Normalenvektor der Ebene orthogonal sind oder dass der Richtungsvektor der Geraden und die Richtungsvektoren der Ebene komplanar sind. Die Gerade liegt in der Ebene, wenn sie parallel zur Ebene ist und zusätzlich ihr Stützpunkt in der Ebene liegt. Den Schnittpunkt von g und E errechnet man am einfachsten. indem man die Ebene in Koordinatenform oder Normalenform darstellt und dann die allgemeinen Koordinaten der Geraden in die Gleichung der Ebene einsetzt (Punktprobe). (s. Seite 121) Zwei Ebenen E, und E₂ können echt parallel oder sogar identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden g schneiden. Parallelität erkennt man daran, dass die Normalenvektoren der beiden Ebenen kollinear sind oder dass der Normalenvektor der ersten Ebene orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der zwei- ten Ebene ist. Identische Ebenen sind daran zu erkennen, dass sie parallel sind und zusätzlich der Stützpunkt der ersten Ebene auch auf der zwei- ten Ebene liegt (Punktprobe). Die Schnittgerade zweier Ebenen errechnet man am einfachsten, indem man eine Ebene in Parameterform und die zweite Ebene in Koordinatenform oder Normalenform darstellt und dann die all- gemeinen Koordinaten der ersten Ebene in die Gleichung der zweiten Ebene einsetzt. (s. Seite 130) Die Lage von zwei Ebenen Beispiel: Koordinatenform/Parameterform 3 E₁4x+3y +62=36 F: R² = (3) ++(2).. (3) tr. S 1. Koordinaten von F aufstellen 2. Ginsetzen in die Koordinatengleichung 4. (3r+35) +3.2r+6-(3-v-s) = 36 12r + 125 +Gr + 18-6r-6s=36 6s = 18-12r Schnittpunkt, also Schnittgerade ermitteln 3. nach s auflösen 6s = 18-12r 1:6 S = 3-2r 2. Lagebeziehungen Echt parallele oder identische Ebenen erkennt man mit dem Berechnungsverfahren aus dem vorhergehenden Beispiel ebenfalls leicht. Beispiel: Parallele und identische Ebenen Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E: 2x +2y+z=6 mit den Ebenen (0)-(1)-(0) +r F: X= 1 bzw. G: X= Lage von E und F: Wir setzen wieder die Koordinaten von F in die Gleichung von E ein: 2(1-3r+s)+2(1+r+s)+(8+4r-4s)=6 2-6r+2s+2+2r+2s+8+4r-4s=6 12=6 Widerspruch (Schnitt punkt) - ()-()-() +r 2 Lösung: Wir nehmen zunächst an, dass sich die Ebenen schneiden, und versuchen, die Schnittgerade zu bestimmen. Nach entsprechender Vereinfachung durch Klammerauflösung und Zusammenfassung ergibt sich ein Widerspruch. Kein Punkt von F erfüllt die Gleichung von E. > Die Ebenen E und F sind echt parallel. 131 Lage von E und G: Wir setzen auch hier die Koordinaten von G in die Gleichung von E ein: 2(2-3r-s)+2(4+2r-2s)+(-6+2r+6s)=6 4-6r-2s+8+4r-4s-6+2r+6s=6 6 6 wahre Aussage Auch hier fallen alle Parameter nach Ver- einfachung heraus, und übrig bleibt eine wahre Aussage. Alle Punkte von G erfül- len die Gleichung von F. Die Ebenen E und G sind daher identisch. 131-1 4. Schnittgerade aufstellen g₁R²=a² + v⋅ m² + s· m² =( 8 ) + V - ( ²3₁ ) + (13-2₁)-( 1³1 ) 3 = (8) +* · (2₂) + ( 3 ) + ( 61 ) fr. 21 9:5² = (8) + r - (3³) -> Schritt gerade Schnittgerade