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Ebenengleichungen
Parametergleichung
ER=a+r+siv
L> in Normalengleichung umwandeln
Beispiel E: x²= ( 3 ) + √² ( ² ) + ₁ - ( 1 )
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Q3 Ebenengleichungen Parametergleichung ER=a+r+siv L> in Normalengleichung umwandeln Beispiel E: x²= ( 3 ) + √² ( ² ) + ₁ - ( 1 ) V. 1. Bilden des Kreuz produkter: @)X(!)- 4-2-1-1 1-5-22 2.1-5.4 = = 5-4 12-20 2 Formel aufstellen und in einsetzen. € = [x² - 1)]- (i) = 0 Koordinatengleichung E: ax+bx+cx=d in Normalengleichung umwandeln Beispiel: E:2x+3y-2=6 a=2 b=3 <= -1 → sind R 3. Normalengleichung aufstellen. E = [ P² - (8)]- ( ²³ ) = 0 31, 1. Stützpunkt ermitteln, indem man Skalarprodukt bildet (*) ( ³ ) = 6 -> z. B. A (31010) 2 Koeffizienten ablesen Mathe-Klausur 21.09.2020 Normalengleichung E: [x-α] ·ñ³=0 L> in Parametergleichung umwandeln Beispiel E: [-(3)])-o 1. Richtungsvektoren , ermitteln ↳ Skalarprodukt bilden ñ^² - ² = 0 -> ( ³ ) · ( 4 ) = 0 L₁₁₁² = (²x) ñ³² - ✓ = ( ² ) - ( ²³ ) = 0 ↳> ✓ = ( ² ) 2. a übernehmen und in Param-formel einsetzen E₁X³²= 2² +²²³² +5√² Ex²= ( 13 ) + r = ( ²1 ) + 5² (²²³) Der Abstand von Punkt u. Ebene Hesse'sche Normalform E: (x²-a²) ·ño=0 Beispiel: E= = (3) tv (1) ts (3) tr. 1 in Normalform umwandeln 6 Kreuz produkt bilden: 2. Normal form aufstellen E: [P-())-(1) 3. Betrag von in ermitteln 1³² = ( ₁² ) => (5³²) = √√0² +2²4 + 9² 3. Normaleneinheitsvektor bilden 10/140 3/√50 19/150, no=1³²| = 4. Hesse'sche Normalform aufstellen. 0/110 [R - ( ²³ ) ] ( 3 / +₂0) = 0 1/150/ €³: S. Abstand...

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zu 5 berechnen Abstand se = | 2. Schnittpunkt von g und E ermitteln. x,y,z aufstellen . 10/190 OHGO - [[ (3) - (1) (+ 25 €. (1)-(2) + 20+20+20+2. SLE 3/√70 3/ 190 2,5LE 2,5LE 3. V in g einsetzen 9:P = (J)+(-2)-(3) Das Lotfußverfahren Unter einem Punkt P der Ebene & versteht man die länge d der Cotstrecke PF, die senkrecht auf der Ebene steht. P Punkt F heißt Lotfußpunkt. Beispiel: Ex+y+ 2z=6 P(41415) 1. Bilden der (otgeraden g g₁x²³²=a²+r·m² = ( ) + x - (2) ? x= 4+v y= 4+v z = 5+2√ = ( ) + ( ² ) = (²) = √90' ● 3.1-3.1 (-1)-(-3)-1-0 0-3-(-3)-3 S(21213) 3)-(-)-(;) 0 0- → F(21211)>(otfußpunkt 4. Abstand von Pund F d=1PF1 = √ (2-4)²+(2-4)² + (1-5)² = √24 = 4,90 LE Koordinaten in E einsetzen: E: (4+r)+(4+r) +2. (5+2r) 18+6 = 6 Ebene 6r = -12 1:6 V = -2 Id F Überblick Skalarprodukt: Rechenregeln für das Skalarprodukt: Betrag eines Vektors: Winkel zwischen Vektoren: Orthogonale Vektoren: Normalenvektor: Kosinusform: a-bab-cosy Koordinatenform: a b = (32) · (b) = a₁b₁ + a²b₂ a₁ a-b=a2 (6) b₂ Flächeninhalt eines Dreiecks: a-b=b-a (r.a) b=r (a-b), TER (a+b) c=ã c+b.c |a| = √a² = √a·a Kosinusformel: cosy = alb ⇒ a b=0 Winkel zwischen Geraden: Für den Schnittwinkel y von zwei Geraden gilt: 0°≤ y ≤90°. Man bestimmt y mithilfe der Kosinusformel, die auf die Richtungsvektoren der Geraden angewandt wird. a-b Ein Normalenvektor n steht senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren a, b. Man errechnet seine Koordi- naten x, y und z als Lösungen des linearen Gleichungssystems I a₁x + a₂y+a3 z = 0, II b₁ x + b₂y+b3z=0. Das von a und b aufgespannte Dreieck hat den Flächeninhalt A=¹/√a².6²-(a - b)² (0°≤ y ≤180°) = a₁b₁ + a₂b2+a3b3 3/ 640 Y a#0 h X Schnittwinkel Schnittwinkel von zwei Ebenen Schneiden sich zwei Ebenen E₁ und E2 mit den Normalenvektoren n' und ', so gilt für ihren Schnitt winkel je 90⁰ cos x² = 15²³²₁₂-5³²₂²1 Il fal Beispiel: E₁²4x+3x+2z=1 1. Normalenvektoren bestimmen durch m₂ = ( ² ) 141 7²³²₁₂₁ = (1/²/² 2. Schnittwinkel bestimmen 15²³²₁1 = √√√4²2² +3² +2²² = √29 15²³²₂1=√√0² +3² +2² =√13 Im²·ñ'l sin ge = Tm³²1-1ñ³²1 Schnittwinkel von Gerade und Ebene Beispiel g=8² = ( ³ ) + r. (1) 15²³²1 = √√√3² + 1²2² +2²² = √TY | m₁²³² ²³² | = 2·3+1·1+ (-2)2=3 15³²³1 = √√√2² +1²ª² + (-21²¹ =√9 a bo €₁· [x² - (8)] ( ³ ) = O ablesen: 15²³²₁₂52²₂²₂1=4·0+3-3+2·2=13 13 Cosje= √29-√73 cos1 (0/6695) = 47,97° *²=47,97⁰ L₂ cos je = 12²1-161 -|(²1)-(31)| | ( ²12₂) [(G)) Beispiel: a² = (²) b²-(9) cos ye= नाप डि = 6,4781 (05-1 (0,4781) = 61.44* Schnittwinkel bei Spaltenvektoren ¤^ [x² - ( ²³ ) ] -( ³3 ) - 0 3 √9+√14 je ≤ 90° = 0,6695 ≈ 0₁267 -> sin^ (01267) = 15, 49° |a²|= √3² +2²² +²² = √√14² 16²³1 = √0² + 1²¹² +2²² = √5 ²·²b² = 3·0+2-1+1²2=4 Schnittwinkel von Gerade und Gerade Im² m²l cas je = 1m³²₂1-1m³²₂1 (immer der kleinere Winkel) Berspiet=_g₁&² = (i) + r. (1), h.x = (i) + s ( 1 ) cosgez. (1) (1) [()) ((3)) C05 ^ (0,68) = 47, 16° Schatten D = 5 √√6 Beispiel: Schattenwurf Im 1. Oktanden des Koordinatensys- tems steht die senkrechte Strecke PQ mit P(4|3|0) und Q(4|3|6). In Richtung des Vektors (₁ fällt paralleles Licht auf die Strecke. Konstruieren Sie rechnerisch ein Schat- tenbild der Strecke auf den Randflä- chen des 1. Oktanden. 1. Geradengleichung aufstellen ²x = (Y) + ( 2 ) 2. X-Koordinate nullsetzen s so erhält man Q', also den SP von д X=0 →> 4-2r=0 V= v in g einsetzen: 9:2² = (32) + 2 (-3) - (†) 3. Fußspunkt bestimmen: = 0,68 B. Orthogonale Vektoren Zwei Vektoren a und b (a, b 0) werden als zueinander orthogonale Vektoren be- zeichnet, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Man verwendet hierfür die symbo- lische Schreibweise ab. Mithilfe des Skalarproduktes kann man besonders einfach überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind. Das Skalarpro- dukt der Vektoren ist dann nämlich gleich null, weil für y = 90° gilt: a∙b= |a|-|b-cos 90° = |a|-|b|-0=0. Beispiel: Orthogonale Vektoren Prüfen Sie, ob zwei der drei Vektoren orthogonal sind. *-(:). 6-(-9)-²-(9) a= | 5³²₁1 = ( ² ) = √ √₁² + 2² +2²³ = -√7² | m³²₂² | = |( ² ) | + √(-1)² + 2 ² + ₁ ² = √6 [m³²₂₁ mil = [ ( 1 ) - ( ² ) - ₁ ( ²²₁ ) ) = ₁² (²-1) +2·2+2·1= 5 mit der z Koordinate muss null sein um Fußpunkt zu erhalten also: Q"(01510) Orthogonalitätskriterium a c=0 6-c=15 Q 6 y-z → Q'(01512) Orthogonalitätskriterium Zwei Vektoren a und b (a, b 0) sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist. ab ab=0 094-1 Lösung: a∙b=1 ➡a, b sind nicht orthogonal. a, e sind orthogonal. b, c sind nicht orthogonal. Q" Q' Ebene

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Q3 Ebenengleichungen Parametergleichung ER=a+r+siv L> in Normalengleichung umwandeln Beispiel E: x²= ( 3 ) + √² ( ² ) + ₁ - ( 1 ) V. 1. Bilden des Kreuz produkter: @)X(!)- 4-2-1-1 1-5-22 2.1-5.4 = = 5-4 12-20 2 Formel aufstellen und in einsetzen. € = [x² - 1)]- (i) = 0 Koordinatengleichung E: ax+bx+cx=d in Normalengleichung umwandeln Beispiel: E:2x+3y-2=6 a=2 b=3 <= -1 → sind R 3. Normalengleichung aufstellen. E = [ P² - (8)]- ( ²³ ) = 0 31, 1. Stützpunkt ermitteln, indem man Skalarprodukt bildet (*) ( ³ ) = 6 -> z. B. A (31010) 2 Koeffizienten ablesen Mathe-Klausur 21.09.2020 Normalengleichung E: [x-α] ·ñ³=0 L> in Parametergleichung umwandeln Beispiel E: [-(3)])-o 1. Richtungsvektoren , ermitteln ↳ Skalarprodukt bilden ñ^² - ² = 0 -> ( ³ ) · ( 4 ) = 0 L₁₁₁² = (²x) ñ³² - ✓ = ( ² ) - ( ²³ ) = 0 ↳> ✓ = ( ² ) 2. a übernehmen und in Param-formel einsetzen E₁X³²= 2² +²²³² +5√² Ex²= ( 13 ) + r = ( ²1 ) + 5² (²²³) Der Abstand von Punkt u. Ebene Hesse'sche Normalform E: (x²-a²) ·ño=0 Beispiel: E= = (3) tv (1) ts (3) tr. 1 in Normalform umwandeln 6 Kreuz produkt bilden: 2. Normal form aufstellen E: [P-())-(1) 3. Betrag von in ermitteln 1³² = ( ₁² ) => (5³²) = √√0² +2²4 + 9² 3. Normaleneinheitsvektor bilden 10/140 3/√50 19/150, no=1³²| = 4. Hesse'sche Normalform aufstellen. 0/110 [R - ( ²³ ) ] ( 3 / +₂0) = 0 1/150/ €³: S. Abstand...

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