Mathe /

Lineare Algebra 2.0

Lineare Algebra 2.0

user profile picture

Shirin Keivani

268 Followers
 

Mathe

 

11

Lernzettel

Lineare Algebra 2.0

 12. Matrizen Grundlagen.
• Matrix Begriffe:
→ Matrix: Eine Anordnung von Zahlen
Format (Matrix)= (Anzahl Zeilen x Anzahl Spalten)
→ Vektor

Kommentare (1)

Teilen

Speichern

5

- Mateitzen (Grundlagen, Rechenregeln, Abbildungen,Fixpunkte etc.)

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

12. Matrizen Grundlagen. • Matrix Begriffe: → Matrix: Eine Anordnung von Zahlen Format (Matrix)= (Anzahl Zeilen x Anzahl Spalten) → Vektor Eine Matrix, die nur eine Zeile oder eine spalle besitzt. Ein veutor wird mit einem kleinen Buchstaben und einem Pfeil bezeichnet. → Quadratische Matrix: Eine Matrix, die gleich viele Zeilen wie Spalten besitzt. → Einheitsmatrix: Eine quadratische Matrix, deren Diagonalelemente den Wert 1 und deren andere Elemente den Wert 0 haben. • 234 A- (-²3:-) A= 0 2 04 B = 036 12 20 7-6 E= 2- (²) 7- (12-3) ; 22 c² (2²) (2x3Matrix) (4x2 Matrix) 52 13. Rechnen mit Matrizen Addition und Subtraction: →> Ist nur bei Matrizen vom gleichen Format möglich! Hierbei muss sowohl die Zeilenzahl, als auch die Spaltenzahl gleich sein, damit die zwei Matrizen A und B elementarweise addiert und subtrahiert werden können. BSP: (2x2-Matrix) baw. E= 2 (49)-(3:4)-(839) (85)-(1-9)-(3) + 1 0 0 1 0 42 - Skalare Multiplikation (, Zahl - Matrix"): → Wird eine Matrix mehrfach mit sich selbst addiert, so kommt es zu einer Vervielfachung der Matrix. Somit spricht man auch von einer Multiplikation der Matrix mit einem Skalar. Skalar ist eine reelle Zahl (beliebig). → Man multipliziert eine Matrix A mit einem Sualar, indem man jedes Matrixelement mit r multipliziert. BSP a -> Q Bsp: C 1-24 205 -2 A = Multiplikation von Matrizen: (Matrix Matrix Nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich Zeilenanzahl der zweiten Matrix gilt. Formatbeispiel (2x3) (3x2)→ (2x2) (mxn). (nxk) → (mxk) 8.16 8 0 20 → Es gilt: (1 A.E=E·A=A. Wenn man die Matrix A mit der Einheitsmatrix E multipliziert (Reihenfolge epal), erhält...

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Alternativer Bildtext:

man die Matrix A als Ergebnis. Die Einheitsmatrix entspricht also der normalen Zahl"1. - Achtung: Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ. Die Reihenfolge macht also einen Unterschied! (A. B & B·A) → Die Division von Matrizen ist nicht definiert! (33) - (6.2.65) /(1+2+ (-2)⋅0 +1.1) (1-0 + (-2)-(-1) +1-0)| ((0-2 + (-1)-0 + (-1)-1) ( 0·0 + (-1)· (-A) + (-1)0) = (-10), ) + ^·0) ) (32) Matrix-Vektor-Multiplikation Man kann eine Matrix A und einen Vektor Spallenanzahl von A = Zeilenanzahl von ✓ → Das Ergebnis der Multiplikation ist wieder ein Spaltenvektor. Bsp UN A ; (-1²³3) - (-²) = (²-4) 300. 18 7 400 (950) = (530 Ansate: (23₁) · ( 2 ) = (18) A A^^ = E nur dann multiplizieren, wenn gilt: 8-400+ 14.950 + 11.550) 6 400+ 9.950 + 18.530 11-400+ 12.950 + 7-550, A P = Die inverse Matrix: Diejenige Matrix, welche im Produkt mit A die Einheitsmatrix E ergibt : A.A-^=E₁ nennt man inverse Matrix A-^ 22 550 20850 19650/ →Bsp 1. Methode 1) Ansatz für inverse Matrix A-^ mit den vier Variablen a, b,c,dals Elemente. 2) Durch Multiplikation entstehen 4 Gleichungen: I: 2a+30=1 I a+c=0 I 2b + 3d=0 I: b+d=1 3) Nun Gleichungen lösen: 2a + 3c = } 2 = ²^ 2 a=-1 C a + c =0 4) Elemente in das Grundgerüst der inversen Matrix einsetzen: A-^- (-1-3) Bsp: 2 Methode ax (a) · () - (x + y) Abbilduno A bx ↓ d ad-bc -b ad-bc a ad-bc ad-bc 1 ad-bc adx + cdy - bcx-cdy -abx-bcy + abx +ady, kurz: A-1 Achtung: 2b + 3d = 02 b = 3 b+d=1 d=2 -(1) → Faktenlage: Jede Matrix besitzt eine sogenannte Determinante. Diese kenngröße lånt sich bei 2x2 Matrizen berechnen, indem man die Differenz aus dem Produlit der beiden Hauptdiagonal elemente und dem Produkt der beiden Nebendiagonal- elemente bildet det. (axc ) = ad-bc ax + cy - (+dy) = ( x) Umkehrabbildung A-1 bx • (-+-c). (2x+y) ax cy -b det (A) d-c -b ^ ad-bc Es gilt det (A)=0 (dh. ad=bc) < A-^ existiert nicht! : ; →> Die Hauptdiagonaleintrage (a und d) werden vertauscht, die beiden anderen (bund c) negiert und jeder Eintrag durch det (A) geteilt). → Die Matrix A = (8C) ist nur dann umkehrbar, wenn ad bc gilt (und umgekehrt) → Projektionen sind nicht umkehrbar! Nichtquadratische Matriten haben niemals eine Zugehörige Inverse. 14. Abbildungen und Matrizen →> Affine Abbildung ar: ² = A· X+b •x: Originalpunkt .: Bildpunkt -: (ev.) Verschieloung A: Abbildungsmatrix a) Spiegelung an der x-Achse Bsp. A = (1-9) 6) Spiegelung an der y-Achse: A= (-10) Im Dreidimensionalen Spiegelung an der X-Y-Ebene M = 0 (388) 0 1 0 0 0-1 A = BSP. - (-1-0) A= c) Spiegelung am Ursprung: Bsp →P' (21-1) P(211) *- (-18)·(3)-(-3) →P' (-211) ->>> cos (ar) -sin (ar) Sin (a) cos (a) Spiegelung an der X-Z-Ebene M = *'- (-^-^) · (3)-(-3) → P² (-21-1) d) zentrische Streckung (Faktor k) am Ursprung. A = (80) Bsp.: k=1₁5 100 0-1 0 0 0 1 e) Drehung mit Winkel of um den Ursprung Bsp or = 90° 7²= (^5 05) - (²) = (₁³₁) X': 1,50 →P'(311,5) X² = (s →P'(-112) cos (90°) - Si M= Sin (90°) Cos (90°) P + ^ P' Spiegelung an der Y-Z-Ebene M = -100 0 1 0 004 پہلے => im Dreidimensionalen (99)-(1)-(2) ко o ko LOOK + 2 3 X Im Dreidimensionalen: Drehung um die x-Achse M= 8) Projektionen: X-Achse A = (^0) M = 100 0 Castor) -sin(on) O Sin(a) cos(a)/ ^ 0 0 A O 0 - ma In 3 - m2 m 3 Im Dreidimensionalen: MA m m2 → Die Projektionsrichtung set durch den Vektor i = ( ) gegeben, dann gilt: M3/ X-Y-Ebene X-Z-Ebene => M= X-Achse - (89) A= 9:* - ( 1 ) + 9= = 근 tr.l m3 MA m₂ ( 3) Abbildungsgleichung aufstellen. 0 1 0 0 0 - m2 m3 m3 ma 10 m3 M = => Parallelprojektion und Schattenwurf: Bsp: Parallel projektion auf x-y-Ebene in Richtung im - 2²=0 = 2 +r-m3 = 0 ⇒ r = -² M3 X' m^ m₂ m3 Drehung um die y-Achse M= 1 my m2 m3 1) Geradengleichung für g aufstellen, die durch den Punkt P geht und den Richtingsvektor m besitzt. = 0 0 X (cas (0) : -56 (1) sin sin (α) 0 cos 0 - m₁ -2 -1 -1+ -24 2) Durch Nullsetzen der 2-Achre/Koordinate der Geradengleichury soll ermittelt werden, wo g die x-y-Ebene schneidet. m 3 0 m3 m2 ^P₁2 0 m^ m3 m². Z m3 Y-Z-Ebene M = O 0 m2 0 m1 - m3 0 1 m₁ O Drehung um die 2-Achse (cos (or) -sin (a) o' Sin (or) cos (ar) o M =

Mathe /

Lineare Algebra 2.0

Lineare Algebra 2.0

user profile picture

Shirin Keivani

268 Followers
 

Mathe

 

11

Lernzettel

Lineare Algebra 2.0

Dieser Inhalt ist nur in der Knowunity App verfügbar.

 12. Matrizen Grundlagen.
• Matrix Begriffe:
→ Matrix: Eine Anordnung von Zahlen
Format (Matrix)= (Anzahl Zeilen x Anzahl Spalten)
→ Vektor

App öffnen

Teilen

Speichern

5

Kommentare (1)

D

Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

- Mateitzen (Grundlagen, Rechenregeln, Abbildungen,Fixpunkte etc.)

Ähnliche Knows

19

Mathe Abitur 2022

Know Mathe Abitur 2022 thumbnail

8151

 

12

Sinusfunktion

Know Sinusfunktion thumbnail

4062

 

11/10

user profile picture

23

Analytische Geometrie Abi 2022

Know Analytische Geometrie Abi 2022 thumbnail

4022

 

11/12/13

4

Trigonometrie

Know Trigonometrie thumbnail

3020

 

9/10

Mehr

12. Matrizen Grundlagen. • Matrix Begriffe: → Matrix: Eine Anordnung von Zahlen Format (Matrix)= (Anzahl Zeilen x Anzahl Spalten) → Vektor Eine Matrix, die nur eine Zeile oder eine spalle besitzt. Ein veutor wird mit einem kleinen Buchstaben und einem Pfeil bezeichnet. → Quadratische Matrix: Eine Matrix, die gleich viele Zeilen wie Spalten besitzt. → Einheitsmatrix: Eine quadratische Matrix, deren Diagonalelemente den Wert 1 und deren andere Elemente den Wert 0 haben. • 234 A- (-²3:-) A= 0 2 04 B = 036 12 20 7-6 E= 2- (²) 7- (12-3) ; 22 c² (2²) (2x3Matrix) (4x2 Matrix) 52 13. Rechnen mit Matrizen Addition und Subtraction: →> Ist nur bei Matrizen vom gleichen Format möglich! Hierbei muss sowohl die Zeilenzahl, als auch die Spaltenzahl gleich sein, damit die zwei Matrizen A und B elementarweise addiert und subtrahiert werden können. BSP: (2x2-Matrix) baw. E= 2 (49)-(3:4)-(839) (85)-(1-9)-(3) + 1 0 0 1 0 42 - Skalare Multiplikation (, Zahl - Matrix"): → Wird eine Matrix mehrfach mit sich selbst addiert, so kommt es zu einer Vervielfachung der Matrix. Somit spricht man auch von einer Multiplikation der Matrix mit einem Skalar. Skalar ist eine reelle Zahl (beliebig). → Man multipliziert eine Matrix A mit einem Sualar, indem man jedes Matrixelement mit r multipliziert. BSP a -> Q Bsp: C 1-24 205 -2 A = Multiplikation von Matrizen: (Matrix Matrix Nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich Zeilenanzahl der zweiten Matrix gilt. Formatbeispiel (2x3) (3x2)→ (2x2) (mxn). (nxk) → (mxk) 8.16 8 0 20 → Es gilt: (1 A.E=E·A=A. Wenn man die Matrix A mit der Einheitsmatrix E multipliziert (Reihenfolge epal), erhält...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Knowunity

Schule. Endlich Einfach.

App öffnen

Alternativer Bildtext:

man die Matrix A als Ergebnis. Die Einheitsmatrix entspricht also der normalen Zahl"1. - Achtung: Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ. Die Reihenfolge macht also einen Unterschied! (A. B & B·A) → Die Division von Matrizen ist nicht definiert! (33) - (6.2.65) /(1+2+ (-2)⋅0 +1.1) (1-0 + (-2)-(-1) +1-0)| ((0-2 + (-1)-0 + (-1)-1) ( 0·0 + (-1)· (-A) + (-1)0) = (-10), ) + ^·0) ) (32) Matrix-Vektor-Multiplikation Man kann eine Matrix A und einen Vektor Spallenanzahl von A = Zeilenanzahl von ✓ → Das Ergebnis der Multiplikation ist wieder ein Spaltenvektor. Bsp UN A ; (-1²³3) - (-²) = (²-4) 300. 18 7 400 (950) = (530 Ansate: (23₁) · ( 2 ) = (18) A A^^ = E nur dann multiplizieren, wenn gilt: 8-400+ 14.950 + 11.550) 6 400+ 9.950 + 18.530 11-400+ 12.950 + 7-550, A P = Die inverse Matrix: Diejenige Matrix, welche im Produkt mit A die Einheitsmatrix E ergibt : A.A-^=E₁ nennt man inverse Matrix A-^ 22 550 20850 19650/ →Bsp 1. Methode 1) Ansatz für inverse Matrix A-^ mit den vier Variablen a, b,c,dals Elemente. 2) Durch Multiplikation entstehen 4 Gleichungen: I: 2a+30=1 I a+c=0 I 2b + 3d=0 I: b+d=1 3) Nun Gleichungen lösen: 2a + 3c = } 2 = ²^ 2 a=-1 C a + c =0 4) Elemente in das Grundgerüst der inversen Matrix einsetzen: A-^- (-1-3) Bsp: 2 Methode ax (a) · () - (x + y) Abbilduno A bx ↓ d ad-bc -b ad-bc a ad-bc ad-bc 1 ad-bc adx + cdy - bcx-cdy -abx-bcy + abx +ady, kurz: A-1 Achtung: 2b + 3d = 02 b = 3 b+d=1 d=2 -(1) → Faktenlage: Jede Matrix besitzt eine sogenannte Determinante. Diese kenngröße lånt sich bei 2x2 Matrizen berechnen, indem man die Differenz aus dem Produlit der beiden Hauptdiagonal elemente und dem Produkt der beiden Nebendiagonal- elemente bildet det. (axc ) = ad-bc ax + cy - (+dy) = ( x) Umkehrabbildung A-1 bx • (-+-c). (2x+y) ax cy -b det (A) d-c -b ^ ad-bc Es gilt det (A)=0 (dh. ad=bc) < A-^ existiert nicht! : ; →> Die Hauptdiagonaleintrage (a und d) werden vertauscht, die beiden anderen (bund c) negiert und jeder Eintrag durch det (A) geteilt). → Die Matrix A = (8C) ist nur dann umkehrbar, wenn ad bc gilt (und umgekehrt) → Projektionen sind nicht umkehrbar! Nichtquadratische Matriten haben niemals eine Zugehörige Inverse. 14. Abbildungen und Matrizen →> Affine Abbildung ar: ² = A· X+b •x: Originalpunkt .: Bildpunkt -: (ev.) Verschieloung A: Abbildungsmatrix a) Spiegelung an der x-Achse Bsp. A = (1-9) 6) Spiegelung an der y-Achse: A= (-10) Im Dreidimensionalen Spiegelung an der X-Y-Ebene M = 0 (388) 0 1 0 0 0-1 A = BSP. - (-1-0) A= c) Spiegelung am Ursprung: Bsp →P' (21-1) P(211) *- (-18)·(3)-(-3) →P' (-211) ->>> cos (ar) -sin (ar) Sin (a) cos (a) Spiegelung an der X-Z-Ebene M = *'- (-^-^) · (3)-(-3) → P² (-21-1) d) zentrische Streckung (Faktor k) am Ursprung. A = (80) Bsp.: k=1₁5 100 0-1 0 0 0 1 e) Drehung mit Winkel of um den Ursprung Bsp or = 90° 7²= (^5 05) - (²) = (₁³₁) X': 1,50 →P'(311,5) X² = (s →P'(-112) cos (90°) - Si M= Sin (90°) Cos (90°) P + ^ P' Spiegelung an der Y-Z-Ebene M = -100 0 1 0 004 پہلے => im Dreidimensionalen (99)-(1)-(2) ко o ko LOOK + 2 3 X Im Dreidimensionalen: Drehung um die x-Achse M= 8) Projektionen: X-Achse A = (^0) M = 100 0 Castor) -sin(on) O Sin(a) cos(a)/ ^ 0 0 A O 0 - ma In 3 - m2 m 3 Im Dreidimensionalen: MA m m2 → Die Projektionsrichtung set durch den Vektor i = ( ) gegeben, dann gilt: M3/ X-Y-Ebene X-Z-Ebene => M= X-Achse - (89) A= 9:* - ( 1 ) + 9= = 근 tr.l m3 MA m₂ ( 3) Abbildungsgleichung aufstellen. 0 1 0 0 0 - m2 m3 m3 ma 10 m3 M = => Parallelprojektion und Schattenwurf: Bsp: Parallel projektion auf x-y-Ebene in Richtung im - 2²=0 = 2 +r-m3 = 0 ⇒ r = -² M3 X' m^ m₂ m3 Drehung um die y-Achse M= 1 my m2 m3 1) Geradengleichung für g aufstellen, die durch den Punkt P geht und den Richtingsvektor m besitzt. = 0 0 X (cas (0) : -56 (1) sin sin (α) 0 cos 0 - m₁ -2 -1 -1+ -24 2) Durch Nullsetzen der 2-Achre/Koordinate der Geradengleichury soll ermittelt werden, wo g die x-y-Ebene schneidet. m 3 0 m3 m2 ^P₁2 0 m^ m3 m². Z m3 Y-Z-Ebene M = O 0 m2 0 m1 - m3 0 1 m₁ O Drehung um die 2-Achse (cos (or) -sin (a) o' Sin (or) cos (ar) o M =