Grundlagen linearer Funktionen

Lineare Funktionen beschreiben ein lineares Verhältnis zwischen zwei Variablen und werden graphisch als Gerade dargestellt. Die Lineare Funktionen Formel lautet f(x) = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

Definition: Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = mx + b, wobei m und b reelle Zahlen sind und m ≠ 0.

Eigenschaften linearer Funktionen:

• Die Steigung m bestimmt, ob die Gerade steigt (m > 0), fällt (m < 0) oder horizontal verläuft (m = 0).
• Der y-Achsenabschnitt b gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
• Wenn b > 0, ist die Gerade nach oben verschoben; wenn b < 0, nach unten.
• Bei b = 0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = 4x + 2 ist die Steigung m = 4 und der y-Achsenabschnitt b = 2.

Highlight: Die graphische Darstellung einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, was sie von anderen Funktionstypen unterscheidet.

Lineare Funktionen zeichnen

Um lineare Funktionen zu zeichnen, gibt es zwei Hauptmethoden:

1. Berechnung von zwei Punkten:

   • Wähle zwei x-Werte und berechne die entsprechenden y-Werte.
   • Trage die Punkte im Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einer Geraden.

2. Verwendung von y-Achsenabschnitt und Steigungsdreieck:

   • Trage den y-Achsenabschnitt ab.
   • Zeichne das Steigungsdreieck ausgehend vom y-Achsenabschnitt.
   • Verbinde die Punkte zu einer Geraden.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = 2x + 3 können wir die Punkte P₁(1,5) und P₂(-2,-1) berechnen und einzeichnen.

Die Punktprobe ist eine Methode, um zu überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer linearen Funktion liegt:

1. Setze die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein.
2. Prüfe, ob das Ergebnis mit der y-Koordinate des Punktes übereinstimmt.

Highlight: Die Punktprobe ist ein wichtiges Werkzeug zur Überprüfung von Lösungen und zum Verständnis der Funktion.