Das Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Das Gauß-Verfahren, auch bekannt als Gauß-Algorithmus, ist eine systematische Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS). Diese Technik ist besonders effektiv bei der Bearbeitung von Systemen mit mehreren Gleichungen und Variablen.

Beschreibung des Vorgangs

1. Aufstellung des Gleichungssystems: Schreiben Sie die Gleichungen untereinander auf, üblicherweise mit drei Gleichungen und drei Variablen.

2. Schrittweise Elimination:

   • Beginnen Sie mit der ersten Gleichung (I) und eliminieren Sie eine Variable in der zweiten Gleichung (II). Dies ergibt die neue Gleichung IIa.
   • Wiederholen Sie den Vorgang mit der ersten Gleichung (I) für die dritte Gleichung (III), um IIIa zu erhalten.
   • Nutzen Sie die zweite Gleichung, um eine weitere Variable in der dritten Gleichung zu eliminieren, was zu IIIb führt.

3. Rückwärtssubstitution:

   • Lösen Sie die letzte Gleichung nach einer Variablen auf.
   • Setzen Sie diesen Wert in die vorherige Gleichung ein und lösen Sie nach der nächsten Variablen auf.
   • Wiederholen Sie diesen Prozess, bis alle Variablen bestimmt sind.

4. Notation der Lösung: Geben Sie die Lösung in der Form (x; y; z) an.

Highlight: Das Gauß-Verfahren kann zu drei möglichen Ergebnissen führen: einer eindeutigen Lösung, keiner Lösung oder unendlich vielen Lösungen.

Beispiele und verschiedene Fälle

1. Fall: Das LGS hat eine eindeutige Lösung Ein detailliertes Beispiel zeigt, wie man Schritt für Schritt vorgeht, um die Lösung (0; 1; 2) zu erhalten.

2. Fall: Das LGS hat keine Lösung Wenn während der Berechnung eine Gleichung der Form 0 = [Zahl ≠ 0] auftritt, hat das System keine Lösung.

3. Fall: Das LGS hat unendlich viele Lösungen Wenn eine Gleichung der Form 0 = 0 erscheint, deutet dies auf unendlich viele Lösungen hin.

Vocabulary: LGS lösen bedeutet, die Werte für die Variablen zu finden, die alle Gleichungen im System gleichzeitig erfüllen.

Example: Bei einem Gauß-Verfahren mit unendlich vielen Lösungen könnte man auf eine Gleichung wie 0x + 0y = 0 stoßen, was bedeutet, dass eine Variable frei wählbar ist.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Gleichungen mit denselben Variablen.

Das Gauß-Verfahren ist ein mächtiges Werkzeug in der linearen Algebra und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften. Es ermöglicht die effiziente Lösung komplexer Gleichungssysteme und bietet Einblicke in die Struktur und Eigenschaften dieser Systeme.