Differenzierbarkeit und Ableitungen
Die Differenzierbarkeit ist ein fundamentales Konzept in der Analysis, das die lokale Veränderung einer Funktion beschreibt. Eine Funktion f ist an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:
f'x0 = lim f(x - fx0) / x−x0
x→x₀
Dieser Grenzwert wird als Ableitung bezeichnet und gibt die Steigung der Tangente am Punkt x0,f(x0) an.
Definition: Eine Funktion heißt differenzierbar an einer Stelle x₀, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert und endlich ist.
Die Ableitungsfunktion f'x ordnet jeder Stelle x die Ableitung zu. Für die Funktion fx = x² ergibt sich beispielsweise f'x = 2x.
Beispiel: Für fx = x² gilt f'2 = 4 und f'4 = 8.
Wichtige Ableitungsregeln umfassen:
- Faktorregel: c⋅f(x)' = c · f'x
- Summenregel: f(x + gx)' = f'x + g'x
- Produktregel: f(x · gx)' = f'x · gx + fx · g'x
- Quotientenregel: f(x / gx)' = f′(x · gx - fx · g'x) / g(x)²
Highlight: Die Potenzregel besagt, dass für fx = xⁿ n∈Z die Ableitung f'x = n · xⁿ⁻¹ ist.
Die Stammfunktion Fx ist die Umkehrung der Ableitung und erfüllt F'x = fx. Sie ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.
Vocabulary: Die Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral bezeichnet.