Lokale und globale Änderungsraten
Die Analyse von Änderungsraten ist entscheidend für das Verständnis des Verhaltens von Funktionen. Wir unterscheiden zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate:
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Mittlere Änderungsrate: Sie beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem Intervall [a,b] und wird durch den Differenzenquotienten berechnet:
(f(b) - f(a)) / (b - a)
Dies entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)).
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Momentane Änderungsrate: Sie gibt die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt x₀ an und wird durch den Differentialquotienten (Ableitung) berechnet:
f'(x₀) = lim (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) x→x₀
Dies entspricht der Steigung der Tangente am Punkt (x₀, f(x₀)).
Beispiel: Für f(x) = x² beträgt die mittlere Änderungsrate im Intervall [0,2]: (4 - 0) / (2 - 0) = 2.
Die lokale Änderungsrate kann graphisch durch die Tangentensteigung bestimmt werden. Die Tangente an einem Punkt (x₀, f(x₀)) hat die Gleichung:
y = f'(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)
Highlight: Die h-Methode ist eine praktische Technik zur Berechnung von Ableitungen, bei der man h → 0 gehen lässt: f'(x₀) = lim (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h h→0
Die Normale zu einer Kurve steht senkrecht zur Tangente. Für die Steigungen m₁ der Tangente und m₂ der Normale gilt: m₁ · m₂ = -1
Vocabulary: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einem Punkt der Kurve verläuft.
Durch die Betrachtung von lokalen und globalen Änderungsraten können wir das Verhalten von Funktionen präzise analysieren und wichtige Eigenschaften wie Monotonie und Extrema untersuchen.
