Wann ist eine Funktion differenzierbar? Differenzierbarkeit einfach erklärt

Nele 🌻

20.2.2021

Mathe

Lokales und Globales Differenzieren

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Differentialrechnung

165

•

20. Feb. 2021

•

2 Seiten

Wann ist eine Funktion differenzierbar? Differenzierbarkeit einfach erklärt

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Nele 🌻

@nele_a41c85

Die Differenzierbarkeit von Funktionen ist ein zentrales Konzept der Analysis,... Mehr anzeigen

Differenzierbarkeit:
Wenn eine Funktion & an der Stelle xo den Differentialquatienter mx = um
X-7X0
differenzierbar.
besitzt, so heißt f an

Lokale und globale Änderungsraten

Die Analyse von Änderungsraten ist entscheidend für das Verständnis des Verhaltens von Funktionen. Wir unterscheiden zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate:

Mittlere Änderungsrate: Sie beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem Intervall $a,b$ und wird durch den Differenzenquotienten berechnet:

$f(b$ - f $a$ ) / $b - a$

Dies entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)).
Momentane Änderungsrate: Sie gibt die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt x₀ an und wird durch den Differentialquotienten (Ableitung) berechnet:

f' $x₀$ = lim $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$ x→x₀

Dies entspricht der Steigung der Tangente am Punkt (x₀, f(x₀)).

Beispiel: Für f $x$ = x² beträgt die mittlere Änderungsrate im Intervall $0,2$ : $4 - 0$ / $2 - 0$ = 2.

Die lokale Änderungsrate kann graphisch durch die Tangentensteigung bestimmt werden. Die Tangente an einem Punkt (x₀, f(x₀)) hat die Gleichung:

y = f' $x₀$ · $x - x₀$ + f(x₀)

Highlight: Die h-Methode ist eine praktische Technik zur Berechnung von Ableitungen, bei der man h → 0 gehen lässt: f' $x₀$ = lim $f(x₀ + h$ - f(x₀)) / h h→0

Die Normale zu einer Kurve steht senkrecht zur Tangente. Für die Steigungen m₁ der Tangente und m₂ der Normale gilt: m₁ · m₂ = -1

Vocabulary: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einem Punkt der Kurve verläuft.

Durch die Betrachtung von lokalen und globalen Änderungsraten können wir das Verhalten von Funktionen präzise analysieren und wichtige Eigenschaften wie Monotonie und Extrema untersuchen.

Differenzierbarkeit und Ableitungen

Die Differenzierbarkeit ist ein fundamentales Konzept in der Analysis, das die lokale Veränderung einer Funktion beschreibt. Eine Funktion f ist an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:

f' $x₀$ = lim $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$ x→x₀

Dieser Grenzwert wird als Ableitung bezeichnet und gibt die Steigung der Tangente am Punkt (x₀, f(x₀)) an.

Definition: Eine Funktion heißt differenzierbar an einer Stelle x₀, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert und endlich ist.

Die Ableitungsfunktion f' $x$ ordnet jeder Stelle x die Ableitung zu. Für die Funktion f $x$ = x² ergibt sich beispielsweise f' $x$ = 2x.

Beispiel: Für f $x$ = x² gilt f' $2$ = 4 und f' $4$ = 8.

Wichtige Ableitungsregeln umfassen:

Faktorregel: $c · f(x$ )' = c · f'(x)
Summenregel: $f(x$ + g $x$ )' = f' $x$ + g'(x)
Produktregel: $f(x$ · g $x$ )' = f' $x$ · g $x$ + f(x) · g'(x)
Quotientenregel: $f(x$ / g $x$ )' = $f'(x$ · g $x$ - f(x) · g'(x)) / (g(x))²

Highlight: Die Potenzregel besagt, dass für f $x$ = xⁿ $n ∈ ℤ$ die Ableitung f' $x$ = n · xⁿ⁻¹ ist.

Die Stammfunktion F $x$ ist die Umkehrung der Ableitung und erfüllt F' $x$ = f(x). Sie ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Vocabulary: Die Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral bezeichnet.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

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Marcus B

iOS user

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die Differenzierbarkeit von Funktionen ist ein zentrales Konzept der Analysis, das die lokale Änderungsrate und Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt beschreibt. Wichtige Aspekte sind:

Differenzierbarkeit Definition und Bedingungen
Ableitungsfunktion und Ableitungsregeln
Mittlere und momentane Änderungsrate
Tangenten und Normalen... Mehr anzeigen

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Lokale und globale Änderungsraten

Die Analyse von Änderungsraten ist entscheidend für das Verständnis des Verhaltens von Funktionen. Wir unterscheiden zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate:

Mittlere Änderungsrate: Sie beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem Intervall $a,b$ und wird durch den Differenzenquotienten berechnet:

$f(b$ - f $a$ ) / $b - a$

Dies entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)).
Momentane Änderungsrate: Sie gibt die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt x₀ an und wird durch den Differentialquotienten (Ableitung) berechnet:

f' $x₀$ = lim $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$ x→x₀

Dies entspricht der Steigung der Tangente am Punkt (x₀, f(x₀)).

Beispiel: Für f $x$ = x² beträgt die mittlere Änderungsrate im Intervall $0,2$ : $4 - 0$ / $2 - 0$ = 2.

Die lokale Änderungsrate kann graphisch durch die Tangentensteigung bestimmt werden. Die Tangente an einem Punkt (x₀, f(x₀)) hat die Gleichung:

y = f' $x₀$ · $x - x₀$ + f(x₀)

Highlight: Die h-Methode ist eine praktische Technik zur Berechnung von Ableitungen, bei der man h → 0 gehen lässt: f' $x₀$ = lim $f(x₀ + h$ - f(x₀)) / h h→0

Die Normale zu einer Kurve steht senkrecht zur Tangente. Für die Steigungen m₁ der Tangente und m₂ der Normale gilt: m₁ · m₂ = -1

Vocabulary: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einem Punkt der Kurve verläuft.

Durch die Betrachtung von lokalen und globalen Änderungsraten können wir das Verhalten von Funktionen präzise analysieren und wichtige Eigenschaften wie Monotonie und Extrema untersuchen.

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Differenzierbarkeit und Ableitungen

f' $x₀$ = lim $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$ x→x₀

Dieser Grenzwert wird als Ableitung bezeichnet und gibt die Steigung der Tangente am Punkt (x₀, f(x₀)) an.

Definition: Eine Funktion heißt differenzierbar an einer Stelle x₀, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert und endlich ist.

Die Ableitungsfunktion f' $x$ ordnet jeder Stelle x die Ableitung zu. Für die Funktion f $x$ = x² ergibt sich beispielsweise f' $x$ = 2x.

Beispiel: Für f $x$ = x² gilt f' $2$ = 4 und f' $4$ = 8.

Wichtige Ableitungsregeln umfassen:

Faktorregel: $c · f(x$ )' = c · f'(x)
Summenregel: $f(x$ + g $x$ )' = f' $x$ + g'(x)
Produktregel: $f(x$ · g $x$ )' = f' $x$ · g $x$ + f(x) · g'(x)
Quotientenregel: $f(x$ / g $x$ )' = $f'(x$ · g $x$ - f(x) · g'(x)) / (g(x))²

Highlight: Die Potenzregel besagt, dass für f $x$ = xⁿ $n ∈ ℤ$ die Ableitung f' $x$ = n · xⁿ⁻¹ ist.

Die Stammfunktion F $x$ ist die Umkehrung der Ableitung und erfüllt F' $x$ = f(x). Sie ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

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