Lokale und globale Änderungsraten

Die Analyse von Änderungsraten ist entscheidend für das Verständnis des Verhaltens von Funktionen. Wir unterscheiden zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate:

1. Mittlere Änderungsrate: Sie beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem Intervall [a,b] und wird durch den Differenzenquotienten berechnet:

   (f(b) - f(a)) / (b - a)

   Dies entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)).

2. Momentane Änderungsrate: Sie gibt die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt x₀ an und wird durch den Differentialquotienten (Ableitung) berechnet:

   f'(x₀) = lim (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) x→x₀

   Dies entspricht der Steigung der Tangente am Punkt (x₀, f(x₀)).

Beispiel: Für f(x) = x² beträgt die mittlere Änderungsrate im Intervall [0,2]: (4 - 0) / (2 - 0) = 2.

Die lokale Änderungsrate kann graphisch durch die Tangentensteigung bestimmt werden. Die Tangente an einem Punkt (x₀, f(x₀)) hat die Gleichung:

y = f'(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

Highlight: Die h-Methode ist eine praktische Technik zur Berechnung von Ableitungen, bei der man h → 0 gehen lässt: f'(x₀) = lim (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h h→0

Die Normale zu einer Kurve steht senkrecht zur Tangente. Für die Steigungen m₁ der Tangente und m₂ der Normale gilt: m₁ · m₂ = -1

Vocabulary: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einem Punkt der Kurve verläuft.

Durch die Betrachtung von lokalen und globalen Änderungsraten können wir das Verhalten von Funktionen präzise analysieren und wichtige Eigenschaften wie Monotonie und Extrema untersuchen.

Differenzierbarkeit und Ableitungen

Die Differenzierbarkeit ist ein fundamentales Konzept in der Analysis, das die lokale Veränderung einer Funktion beschreibt. Eine Funktion f ist an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:

f'(x₀) = lim (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) x→x₀

Dieser Grenzwert wird als Ableitung bezeichnet und gibt die Steigung der Tangente am Punkt (x₀, f(x₀)) an.

Definition: Eine Funktion heißt differenzierbar an einer Stelle x₀, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert und endlich ist.

Die Ableitungsfunktion f'(x) ordnet jeder Stelle x die Ableitung zu. Für die Funktion f(x) = x² ergibt sich beispielsweise f'(x) = 2x.

Beispiel: Für f(x) = x² gilt f'(2) = 4 und f'(4) = 8.

Wichtige Ableitungsregeln umfassen:

1. Faktorregel: (c · f(x))' = c · f'(x)
2. Summenregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
3. Produktregel: (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
4. Quotientenregel: (f(x) / g(x))' = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / (g(x))²

Highlight: Die Potenzregel besagt, dass für f(x) = xⁿ (n ∈ ℤ) die Ableitung f'(x) = n · xⁿ⁻¹ ist.

Die Stammfunktion F(x) ist die Umkehrung der Ableitung und erfüllt F'(x) = f(x). Sie ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Vocabulary: Die Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral bezeichnet.