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Lokales und Globales Differenzieren
20.2.2021
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Differenzierbarkeit: Wenn eine Funktion & an der Stelle xo den Differentialquatienter mx = um X-7X0 differenzierbar. besitzt, so heißt f an der Stelle Die Ableitungsfuation: f(x) = lim · f(x)-f(x) X-X f(x) = x² ; gesucht: 8(2), 8/4),.. f(x) = lim • Wellenregel: $(x)= a (f(x) . Polenzregel: f(x)= x^ Y-7% x-xo xxx-x = Lim (x-x)(xox) - Lim X+X x-7% = 2% 82-2)=-4 32-1)=-2 f(0) = 0 Die Ableitung der Funktion X": f(x) = x² (n € ZZ) →> Ableitung f'(x)= n = x^~^² Ableitungsregeln: • Fahtarregel: f(x) = c+g(x) = f'(x)= c² gi(x) · Summeregel: $(x) = g(x) + f(s) 18/6)= g(x) + f(x) h(x) f'(x) Differenzregel: f(x)= g(x) = f(x) - Produktregel: $(x) = g(x) h(x) · Quotientenregel: $(x) = g(x) = f(a) = f'(x)= gi(x) = f'(x) Die Stammfunktion: Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn F und of denselben Definitionsbereich besitzen und gilt: F(x) = g(x). Die Stammfunktion ist nicht eindeutig bestimmbar.. → eindeuing, bis auf Abschiebung in y-Richtung Zu einer Funktion f(x) heißt die Funktion f(x) de Ableitungsfunktion. ade kurz die Ableitung con f(x). f(x) = g² (2) 760 + g(x)=f(x) f(x) = f(x)-gi(x) = g(x). f(x) [x]² $(x)= gi(h(w).. ti'(x). $(x) = -x^²-4 f(x)-flxx) X-X *** ( f(x) = x² +C f'(d= 2x Lokales und 3 2 Selantersteigung, Differenzen quotient and mittere Änderungsrate: f(x)= x² sy f(b)-fla) Steigung ₁b-a - mittere Anderingsrate im Intervall [a; b] Steigung f(b)-fla) ✓ Joy = $(6) - fila) → Steigung der Schante durch P₁ (a/fila)) und P₂ (b/ f(b)) Ax=b-a und globales Differenzieren хо -> х X-7X0 Targentensteigung, Differentialquatient und Lokale Änderungsrate: Wenn für eine Funktion f...
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Alternativer Bildtext:
an der Stelle xo der Grenzwert lim mittleren Ändringsrate existiert (d.h won won Links und rechts der rauskommt), dan heißt dieser Grenzwert Differerhalquotient (oder (ohale. Anderungsrate) von f an der Stelle xo und wird mit mx bezeichnet. Die Gerade durch den Punkt (xo/ f(x;)) mit Steigung mxo ist Graphen mit Tangensterging my.. H-Methode: (in f(x) statt x xo verwendet man gegen Null) also kurz: lim h-20 X₁ MT Lim 4-70 = b oth AX berechnen. Normale: Die Normale steht stets senkrecht zur gilt: m₂ = - MN Xoth - Xo (d.h. Abstand h geht 8(x)=2x²)_ Xo = 4 Tangente f(x)-f(xs) x-xo Tangente der gleiche Wert =lim 16+2h = 16 h->0 Tangenhe De momentane ((dhove) Anderungsrate in einem Punkt P(x/yo) gibt die Steigung des Grapher in diesem Pennt an. Daraus lässt sich die Tangente (y=mx++) an dem (im 8(xo+h)-f(x) (im 8(4+h)-f(4) h-0 h =h-xo - lim 2116+8+1²)-2-4² h =lim 224+h) ²2/47 h = Cim 32-16h+2h²-32 h-70 h h-70 n-20 h =lim 16h +2h² h in einem Punkt. Für ihre Steigung m