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Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik
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Abitur 2021 Mathe Themenübersicht 1. Analysis 2. 3. 1.1. Funktionen 1.2. Gleichungen 1.3. Ableiten 1.4. Integrieren 1.5. Kurven untersuchen Analytische Geometrie 2.1. Vektoren 2.2. Geraden 2.3. Ebenen 2.4. Abstandsberechnung 2.5. Berechnung von Schnittwinkeln 2.6. Spiegelung 2.7. Zeichnerische Darstellung von Objekten im Raum Lineare Gleichungssysteme 2.8. 2.9. Vektorbeweise 2.10. Modellieren von geradlinigen Bewegungen Stochastik 3.1. Wahrscheinlichkeiten berechnen 3.2. Binomialverteilung 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. Testen von Hypothesen mit hilfe der Binomialverteilung Stetige Zufallsgrößen Normalverteilung Zusammenhang zwischen Binomial- und Normalverteilung Exponentialverteilung 1 --+- 1 4 4 6 8 13 13 14 15 16 18 18 19 19 20 22 22 22 23 23 24 25 25 25 1. Analysis Funktionen Ganzrationale Funktionen • f(x) = ax² + a αχ + + a₁x¹ n → ganzrationale Funktionen heißen auch Polynome ➜a heißt Koeffizient ● Gebrochen-rationale Funktionen • f(x) g(x) h(x) (Grad h(x) ≥ 1) → Bruch zweier ganzrationaler Funktionen (g(x) heißt Zählerfunktion, h(x) heißt Nennerfunktion) eine Stelle x = a ist Nullstelle der Funktion f, falls g(a) = 0 und gleichzeitig h(a) # 0 ist h(a) → gilt h(a) → gilt h(a) = → die größte Hochzahl n heißt Grad der ganzrationalen Funktion → die Funktion hat höchstens n Nullstellen, n 1 Extremstellen und n 2 Wendestellen ● • f(x) a · cos(b (x = a a" Potenzfunktionen Trigonometrische Funktionen • ƒ(x) = a · sin(b (x y (a) ³ = → Nullstellen: kл mit ke Z = α Potenzgesetze • a* a² = 0 = a n-1 x-y n-1 = a X = α 0, so ist x = 0 und g(a) 0 und g(a) = • f(x) • f(x) = (u(x))" → als Hochzahlen sind alle rationalen Zahlen zugelassen Hochzahl führt zu Wurzelfunktionen x.y + x+y + a,x + 1 a eine Definitionslücke von f = 0, so handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke 0, so ist die Definitionslücke x a eine Polstelle von f c) + d 0 + a xº; neN c) + d r + ax n 1 0 ---/-- 775 sin(x) ㅜㅠ π 4" cos(x) 5 77 1 471 2πT x Natürliche Exponentialfunktion • f(x) = et е → "Basis e": e...
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= 2,71828... ➜ f'(x) et es gilt: f(x) → für x → + ∞ gilt e X → für x → ● ● = ● = → f'(x) Natürliche Logarithmusfunktion • f(x) f(x) x > 0 für alle Werte von x (→ die Exponentialfunktion X e hat keine Nullstelle) = In(x) Logarithmusgesetze = = T = - ∞ gilt e* → 0 1 In(u • v) = In(u) + In(v) In() In(u) In(v) In (uk) k. In(u) V = X Wachstumsfunktionen = • ƒ(t) = f(0) · akt mit k gegeben ist ein Bestand t → Wachstumsfaktor a f(t) beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t f(0) is Anfangsbestand = • f(t) = S C. e f(t+1) f(t) → der Bestand vermehrt sich pro Zeiteinheit um denselben Faktor ➜k is Wachstumskonstante → Schranke S (Grenzwert) → beschränktes Wachstum + ∞ -kt Verdopplungszeit T V In(2) k = = In(a) In(2) In(a) → Zunahme, wenn a > 1, bzw. k > 0 In(e) = x ein(x) = x mit c = S f(0) Halbwertszeit t h t. In(1) = = 0 In(e) = 1 h = -2 XX 2 In(2) In(a) ex -2 5 1 1. Winkel halbierende yax → Abnahme, wenn 0 < a < 1, bzw. k < 0 Definitions- und Wertebereich ● Definitionsbereich = die Menge der reellen Zahlen, die für die Variable x verwendet werden darf 2 -5 2 -ex X M(z) - Inz ● Wertebereich = die Menge der reellen Zahlen, die als Funktionswerte f(x) wirklich vorkommen N - natürliche Zahlen → positive, ganze Zahlen mit O Q - rationale Zahlen alle Brüche Schreibweise gehört dazu: [ ] ● gehört nicht dazu: ( ) ● Graphen Ganzrationale Funktion f(x) • f(x) ist um a gestreckt, wenn a > 1 • f(x) ist um a gestaucht, wenn a < 1 b verschiebt f(x) in x-Richtung c verschiebt f(x) in y-Richtung → immer verwenden bei ± 00 Definitionslücke: {a} → ohne / außer a ● Funktionen aufstellen 1) gesuchte Funktion in allgemeiner Art aufstellen → z.B. ganzrationale Funktion 2. Grades: f(x) 2) notwendige Ableitungen vom allgemeinen Ansatz bestimmen 3) angegebene Eigenschaften einsetzen 4) Lösen des LGS 5) fertige Funktion aufschreiben Trigonometrische Funktion f(x) a ändert die Amplitude |a| b ändert die Periode p = b 2π • • ● Z - ganze Zahlen → alle ganzen Zahlen, auch negativ c verschiebt f(x) in x-Richtung d verschiebt f(x) in y-Richtung R - reelle Zahlen → alle Zahlen = a • (x - b) + c = Natürliche Exponentialfunktion f(x) = α · e x-b f(x) ist um a gestreckt, wenn a > 1 f(x) ist um a gestaucht, wenn a < 1 b verschiebt f(x) in x-Richtung c verschiebt f(x) in y-Richtung Beispiele: R* (0; +00) = α · sin(b(x − c)) + d alle positiven reellen Zahlen 0,00...01 bis +∞o (-∞0:0] →→∞ bis 0 (0 gehört dazu) R\ {0} alle reellen Zahlen, außer 0 (z. B. bei f(x) == 2 a₂x² + a₁x + a₂ + c - 3
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Abitur 2021 Mathe Themenübersicht 1. Analysis 2. 3. 1.1. Funktionen 1.2. Gleichungen 1.3. Ableiten 1.4. Integrieren 1.5. Kurven untersuchen Analytische Geometrie 2.1. Vektoren 2.2. Geraden 2.3. Ebenen 2.4. Abstandsberechnung 2.5. Berechnung von Schnittwinkeln 2.6. Spiegelung 2.7. Zeichnerische Darstellung von Objekten im Raum Lineare Gleichungssysteme 2.8. 2.9. Vektorbeweise 2.10. Modellieren von geradlinigen Bewegungen Stochastik 3.1. Wahrscheinlichkeiten berechnen 3.2. Binomialverteilung 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. Testen von Hypothesen mit hilfe der Binomialverteilung Stetige Zufallsgrößen Normalverteilung Zusammenhang zwischen Binomial- und Normalverteilung Exponentialverteilung 1 --+- 1 4 4 6 8 13 13 14 15 16 18 18 19 19 20 22 22 22 23 23 24 25 25 25 1. Analysis Funktionen Ganzrationale Funktionen • f(x) = ax² + a αχ + + a₁x¹ n → ganzrationale Funktionen heißen auch Polynome ➜a heißt Koeffizient ● Gebrochen-rationale Funktionen • f(x) g(x) h(x) (Grad h(x) ≥ 1) → Bruch zweier ganzrationaler Funktionen (g(x) heißt Zählerfunktion, h(x) heißt Nennerfunktion) eine Stelle x = a ist Nullstelle der Funktion f, falls g(a) = 0 und gleichzeitig h(a) # 0 ist h(a) → gilt h(a) → gilt h(a) = → die größte Hochzahl n heißt Grad der ganzrationalen Funktion → die Funktion hat höchstens n Nullstellen, n 1 Extremstellen und n 2 Wendestellen ● • f(x) a · cos(b (x = a a" Potenzfunktionen Trigonometrische Funktionen • ƒ(x) = a · sin(b (x y (a) ³ = → Nullstellen: kл mit ke Z = α Potenzgesetze • a* a² = 0 = a n-1 x-y n-1 = a X = α 0, so ist x = 0 und g(a) 0 und g(a) = • f(x) • f(x) = (u(x))" → als Hochzahlen sind alle rationalen Zahlen zugelassen Hochzahl führt zu Wurzelfunktionen x.y + x+y + a,x + 1 a eine Definitionslücke von f = 0, so handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke 0, so ist die Definitionslücke x a eine Polstelle von f c) + d 0 + a xº; neN c) + d r + ax n 1 0 ---/-- 775 sin(x) ㅜㅠ π 4" cos(x) 5 77 1 471 2πT x Natürliche Exponentialfunktion • f(x) = et е → "Basis e": e...
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= 2,71828... ➜ f'(x) et es gilt: f(x) → für x → + ∞ gilt e X → für x → ● ● = ● = → f'(x) Natürliche Logarithmusfunktion • f(x) f(x) x > 0 für alle Werte von x (→ die Exponentialfunktion X e hat keine Nullstelle) = In(x) Logarithmusgesetze = = T = - ∞ gilt e* → 0 1 In(u • v) = In(u) + In(v) In() In(u) In(v) In (uk) k. In(u) V = X Wachstumsfunktionen = • ƒ(t) = f(0) · akt mit k gegeben ist ein Bestand t → Wachstumsfaktor a f(t) beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t f(0) is Anfangsbestand = • f(t) = S C. e f(t+1) f(t) → der Bestand vermehrt sich pro Zeiteinheit um denselben Faktor ➜k is Wachstumskonstante → Schranke S (Grenzwert) → beschränktes Wachstum + ∞ -kt Verdopplungszeit T V In(2) k = = In(a) In(2) In(a) → Zunahme, wenn a > 1, bzw. k > 0 In(e) = x ein(x) = x mit c = S f(0) Halbwertszeit t h t. In(1) = = 0 In(e) = 1 h = -2 XX 2 In(2) In(a) ex -2 5 1 1. Winkel halbierende yax → Abnahme, wenn 0 < a < 1, bzw. k < 0 Definitions- und Wertebereich ● Definitionsbereich = die Menge der reellen Zahlen, die für die Variable x verwendet werden darf 2 -5 2 -ex X M(z) - Inz ● Wertebereich = die Menge der reellen Zahlen, die als Funktionswerte f(x) wirklich vorkommen N - natürliche Zahlen → positive, ganze Zahlen mit O Q - rationale Zahlen alle Brüche Schreibweise gehört dazu: [ ] ● gehört nicht dazu: ( ) ● Graphen Ganzrationale Funktion f(x) • f(x) ist um a gestreckt, wenn a > 1 • f(x) ist um a gestaucht, wenn a < 1 b verschiebt f(x) in x-Richtung c verschiebt f(x) in y-Richtung → immer verwenden bei ± 00 Definitionslücke: {a} → ohne / außer a ● Funktionen aufstellen 1) gesuchte Funktion in allgemeiner Art aufstellen → z.B. ganzrationale Funktion 2. Grades: f(x) 2) notwendige Ableitungen vom allgemeinen Ansatz bestimmen 3) angegebene Eigenschaften einsetzen 4) Lösen des LGS 5) fertige Funktion aufschreiben Trigonometrische Funktion f(x) a ändert die Amplitude |a| b ändert die Periode p = b 2π • • ● Z - ganze Zahlen → alle ganzen Zahlen, auch negativ c verschiebt f(x) in x-Richtung d verschiebt f(x) in y-Richtung R - reelle Zahlen → alle Zahlen = a • (x - b) + c = Natürliche Exponentialfunktion f(x) = α · e x-b f(x) ist um a gestreckt, wenn a > 1 f(x) ist um a gestaucht, wenn a < 1 b verschiebt f(x) in x-Richtung c verschiebt f(x) in y-Richtung Beispiele: R* (0; +00) = α · sin(b(x − c)) + d alle positiven reellen Zahlen 0,00...01 bis +∞o (-∞0:0] →→∞ bis 0 (0 gehört dazu) R\ {0} alle reellen Zahlen, außer 0 (z. B. bei f(x) == 2 a₂x² + a₁x + a₂ + c - 3
So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!