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gilt: f'(x)=g'(x)+k'(x) z. B. f(x)=x+x² -> f'(x)=6x²+2x n-1 Produktregel: Die Produktregel benötigt man, wenn eine Funktion abgeleitet werden soll, die aus einem Produkt besteht. Die Funktion f-u•v ist differenzierbar, wenn u und v ebenso differenzierbar sind: f(x)= u(x)•v(x). Es gilt: f'(x)= u¹(x)•v(x)+v'(x)•u(x) z.B. f(x)= (x+4) e u'(x) = 2x v'(x)=e* also: f'(x)=2x*e*+ (x²+4) • e* = e^(2x+x²+4) Kettenregel: Wenn eine Funktion mit einer anderen Funktion zusammengesetzt ist, muss die Kettenregel angewendet werden. Ist f=uᵒv eine Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen mit f(x)= u(v(x)), so ist auch f differenzierbar und es gilt f'(x)= u'(v(x))• vʻ(x). z.B. f(x)= (7-2x) u V'(x)=-2 u²(x) = 3x² also: f'(x)= 3(7-2x)²-(-2) = -6(7-2x)² Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 1.1.3 spezielle Ableitungsregeln Ableitung einer Wurzel: f(x)=√x f"(x) = 72 Ableitung Sinus und Cosinus: f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) f(x) = cos(x) Ableitung Tangens: f'(x) = cos(x) f(x)= tan (x) Ableitung e-Funktionen und Logarithmus: flx)= e(x) f'(x) = e(x) f(x) = (n (x) Weitere hilfreiche Regeln: f(x) = f(x) = f'(x) = sin(x) f(x) = ex f(x)=e=²x f(x) = ²x = x f'(x) = -n - -0-1 f'(x)= -nx f'(x) = -x" f'(x)= ex f'(x)= -2e-²x f'(x) = 2e² Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 1.2.1 Nullstellen berechnen Um die Nullstelle einer Funktion f zu berechnen, müssen die x-Werte gefunden werden, bei denen f(x)=0 ist. Dazu setzt man den Funktionsterm gleich Null und löst die Gleichung nach x auf. 1.2.2 Symmetrie 1.Achsensymmetrie Wenn es eine Gerade gibt, an der sich der Graph spiegeln kann, ist die Funktion achsensymmetrisch. Meistens soll sich der Graph an der y-Achse spiegeln. Das Rechenverfahren zur Bestimmung der Symmetrie lautet hierbei: f(x)=f(-x). Man setzt in die Funktion für x -x ein (es wird also f(-x) berechnet). Erhält man als Ergebnis die Funktion f(x), so is die Achsensymmetrie nachgewiesen. 2. Punktsymmetrie Eine Funktion, die an einem bestimmten Punkt gespiegelt werden kann, ist punktsymmetrisch. Meistens soll der Graph im Ursprung punktsymmetrisch sein. Das Rechenverfahren zur Bestimmung der Symmetrie lautet hierbei: f(-x)= -f(x). Man setzt in die Funktion für x -x ein (es wird also f(-x) berechnet). Erhält man als Ergebnis die Funktion -f(x), so ist die Punktsymmetrie nachgewiesen. 1.2.3 Extrempunkte berechnen Um die Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion zu berechnen, muss man schrittweise vorgehen. Notwendige Bedingung: 1. Die erste Ableitung berechnen und gleich Null setzten: f'(x)=0 -> man erhält mögliche Extremstellen und schaut, ob es ein vorgegebenes Intervall gibt. Wenn ein Punkt außerhalb diesem Intervall liegt, so muss dieser nicht beachtet werden. Hinreichende Bedingung: 2. In die zweite Ableitung wird für x 0 eingesetzt. f'(x)#0 f'(x) <0- ) —> es liegt ein Hochpunkt vor f'(x)>0—> es liegt ein Tiefpunkt vor 3. Die Ergebnisse von f'(x)=0 werden in f(x) eingesetzt um den y-Wert zu berechnen 4. Der Extrempunkt liegt in P(x | f(x)) Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 1.2.4 Wendestellen berechnen Um die Wendestellen einer differenzierbaren Funktion zu berechnen, muss man schrittweise vorgehen Notwendige Bedingung: 1. Die zweite Ableitung berechnen und gleich Null setzten: f'(x)=0 -> man erhält mögliche Wendestellen und schaut, ob es ein vorgegebenes Intervall gibt. Wenn ein Punkt außerhalb diesem Intervall liegt, so muss dieser nicht beachtet werden. Hinreichende Bedingung: 2. In die dritte Ableitung wird für x 0 eingesetzt. f''(x)#0 f''(x) #0 - f(x)=0- -> es liegt ein Wendepunkt vor -> es liegt kein Wendepunkt vor 3. Die Ergebnisse von f'(x)=0 werden in f(x) eingesetzt um den y-Wert zu berechnen 4. Der Wendepunkt liegt in P(x | f(x)) 1.2.5 Tangenten Eine Tangente ist eine Gerade, die die selbe Steigung und den selben Funktionswert f an einer bestimmten Stelle x hat. Sie berührt den Punkt, schneidet ihn aber nicht. Berechnung der Tangente: 1. Die erste Ableitung muss berechnet werden 2. Der x-Wert wir in f'(x) eingesetzt, man erhält die Steigung m der Tangente. 3. Um den y-Wert zu berechnen, muss x in f(x) eingesetzt werden. 4. Die Tangentengleichung lautet f(x)=m•x+n. Es werden y, mu und x eingesetzt und die Gleichung muss nach n aufgelöst werden. 5. m und n werden in die Tangentengleichung eingesetzt. 1.2.6 Monotonie Mit dem Monotonieverhalten kann man herausfinden, wie sich ein Graph in einem bestimmten Bereich verhält. Wenn für x,>x₂, f(x₁) > f(x₂) gilt, dann ist die Funktion dort monoton steigend. Wenn für x,>x₂, f(x,) < f(x₂) gilt, dann ist die Funktion dort monoton fallend. Berechnen kann man das Montonieverhalten, indem man die Extremstellen bestimmt und dann auf das Monotonieverhalten schließt. Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 1.2.7 Grenzwerte Um herauszufinden, wie sich der Graph außerhalb des Koordinatensystem verhält, muss man folgendes berechnen: Um den Grenzwert für x gegen + ∞ zu bestimmen, setzt man in die Funktionsgleichung immer größer werdende Zahlen ein. Wenn das Ergebnis ebenso größer wird, weiß man, dass x gegen + ∞ verläuft. Man schreibt: lim f(x) = + ∞ X-8 Wenn die y-Werte bei immer größer werdenden Zahlen, sich einer bestimmten Zahl k (z.B. 0) annähern zu scheinen, dann schreibt man: lim f(x)=k x →∞0 Um den Grenzwert für x gegen ∞ zu bestimmen, setzt man in die Funktionsgleichung immer kleiner werdende Zahlen ein. Wenn das Ergebnis ebenso kleiner wird, weiß man, dass x gegen - ∞ verläuft. Man schreibt: lim f(x) x1-80 ==∞ Wenn die y-Werte bei immer kleiner werdenden Zahlen, sich einer bestimmten Zahl k (z.B. 0) annähern zu scheinen, dann schreibt man: lim f(x)=k X-80 1.2.8 Funktionenschar Die Funktionenschar hängt nicht nur von einem variablen x ab, sondern auch von einem Parameter (z.B. a). Für diesen Parameter kann man eine frei gewählte Zahl festlegen. Mit einsetzten jeder anderen Zahl erhält man sowohl einen neuen Funktionsterm, als auch einen anderen Funktionsgraphen. Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphens einer Funktionenschar hängen häufig von dem Parameter ab. So kann sich z. B. ein Tiefpunkt für zunehmende Werte des Parameters a, immer weiter nach unten rechts verschieben. Für die Berechnung der Punkte werden die Parameter wie eine Zahl behandelt. Ortskurve: Durchläuft der Parameter alle zugelassenen Werte, so liegen alle Hoch- bzw. Tiefpunkte auf einer Kurve, die sogenannte Ortskurve. Die Ortskurve kann man folgendermaßen berechnen. 1. Die x-Koordinate des Hoch- bzw. Tiefpunktes nach dem Parameter umformen (aus x=4a erhält man beispielsweise a=) 2. a in die y-Koordinate des Hoch- bzw. Tiefpunktes einsetzen. 3. Das Ergebnis ist die Funktion der Ortskurve: g(x)=y(x) Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 1.3.1 Exponentialfunktionen Exponentiale Funktionen spielen bei der Beschreibung von Wachstumsvorgängen eine wichtige Rolle. Allgemein kann man exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall mit der Funktion f(x)=a.b* beschreiben. Der Parameter a beschreibt den Anfangswert, während die Basis b zeigt, wie steil die Kurve verläuft. a kann jeden Wert außer 0 annehmen. b muss größer Null sein (a‡0,ь¤®* ). Bei a>1 handelt es sich um eine exponentielle Zunahme, bei a<1 handelt es sich um eine exponentielle Abnahme. Die Lösung der Exponentialgleichung a=b bezeichnet man als log (b) Für die Ableitung von Exponentialfunktionen der Art f(x)=a* (a>0) gilt: f'(x)=f'(0)•a* Für die Exponentialfunktion f(x)=e* (die natürliche Exponentialfunktion) gilt: f'(x)=e*, sowie F(x)=e* 1.3.2 Logarithmus Um die Ableitung von Exponantialfunktionen mit beliebiger Basis zu bestimmen, benötigt man den natürlichen Logarithmus. Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialgleichung e =b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt x=In(b). in (6) =b und In(e)=c 1.3.3 Beschränktes Wachstum Es gilt: e Bei dem beschränktes Wachstum wird, wie bei allen Wachstumsprozessen eine zeitliche Entwicklung einer Population beschreiben. Beschränktes Wachstum hat eine Schranke S, die solch eine Population nach oben oder unten beschränken kann. Beschränktes Wachstum liegt also dann vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand zum Zeitpunkt t exponentiell abnehmen. Mit Hilfe einer Funktion f(t)= S-c•a* (0<a<1) bzw. f(t)=S-c•ekt (K<0) kann der Bestand zum Zeitpunkt t ermittelt werden. Dabei ist c=S-f(0) und k= In(a) Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 1.4.1 Stammfunktionen Stammfunktionen zu bilden ist ein zentrales Thema der Integralrechnung. Eine Stammfunktion wird als F(x) geschrieben. F'(x) ist = f(x) Die sogenannte Aufleitung muss mit Hilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung bestimmt werden. Man muss dafür quasi die Ableitung rückgängig machen. Dazu muss man die Ableitungsregeln beachten. Soll z. B. die Stammfunktion von f(x)=3x² bestimmt werden, so ist diese: F(x)=x³, denn das ist abgeleitet wiederum F'(x)=3x² 1.4.2 Bestimmte Integrale U eine bestimmte Fläche in einem Intervall zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zu berechnen, verwendet man das Integral. Wenn f eine Funktion auf dem Intervall [a;b] ist, n die Anzahl der Teilintervalle ist und U bzw. O eine Unter- bzw. Obersumme von orientierten Rechtecksflächen, dann heißt der Grenzwert lim U₂= lim On Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b. n8 n18 Es wird geschrieben: f(x) dx Um ein Integral zu berechnen, muss man zunächst die Stammfunktion bilden. f(x)dx= [F(x)] Danach rechnet man: F(b)-F(a) a Wenn das Integral aus mehreren Teilintervallen besteht, z.B. so: - Dann muss man wie folgt vorgehen: 1. Man bestimmt die Nullstellen der Funktion f auf [a;b]. 2. Man untersucht welches Vorzeichen f in den verschiedenen Teilintervallen besitzt. 3. Man bestimmt die Teilintervalle und addiert sie. 1.4.3 Unbestimmte Integrale Wenn ein Integral statt zwei festgelegten Grenzen, eine festgelegte und eine Variable hat, spricht man von unbestimmten oder uneigentlichen Integralen. Man untersucht das Integral dann auf einen Grenzwert für z-> ± ~ bzw. Für z —> c, falls f für x=c eine Definitionslücke hat. Wenn die Grenzwerte existieren, schreibt man: Z-80 ∞ limf(x)dx=f(x)dx_ bzw. lim f(x)dx=f(x)dx 2-80 Y Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 1.4.4 Rotationskörper Mit dem Integral können neben Flächeninhalten auch Rauminhalte bestimmt werden. Wenn eine Funktion f in dem Intervall [a;b] gegeben ist, die um die X-Achse rotiert, so entsteht ein Rotationskörper. Das Volumen beträgt V= π•*(f(x))* dx 1.4.5 Rechenregeln bei Integralen Wenn die obere und die untere Grenze gleich sind: f(x)dx = 0 Wenn die Grenzen vertauscht werden sollen: f(x)dx = -f(x)dx Integrale addieren: {f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx Faktorregel: k-f(x) dx = k• f(x)dx Summenregel: f(x)+g(x)dx = f(x) dx + g(x)dx Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 2.1.1 Punkte im Raum Punkte im Raum werden in ein 3-Dimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Die drei Ach- sen werden X₁, X₂ und x3 benannt. Die x₂- und X- Achse stehen senkrecht zueinander. Die x,-Ach- se wird in einem 135° Winkel zu den Achsen ge- zeichnet, so dass diese nach vorne zeigt. Die Einheiten auf der x -Achse sind um den Faktor √√2 gekürzt. 3 2 Um einen Punkt einzuzeichen, geht man vom Ursprung aus zunächst nach vorne, dann nach rechts und zuletzt nach oben. z.B (2|3|4) 2.1.2 Abstand zweier Punkte Um den Abstand von zwei Punkten A (a₁|a₂|a) und B (b₁|b₂|b.) im Koordinatensystem zu bestimmen, verwendet man den Satz des Pythagoras quasi doppelt, also die Formel: AB= (b₁- a)³+ (b₂- a₂)²+ (b²- a)² 2.1.3 Vektoren Rechnet man: QP= -P₁), 9₁- 92- (2|3|4) Verschiebungen im Koordinatensystem können durch Vektoren beschrieben werden. Diese werden häufig durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet, über denen ein Pfeil liegt. Außerdem kann ein Vektor durch die Angabe eines Ausgangs- und Zielpunktes angegeben werden, der ebenfalls durch einen Pfeil markiert wird. Um so einen Vektor zu bestimmen, subtrahiert man den Zielpunkt von dem P₁ Ausgangspunkt, z.B: PQ= (9²-²p₂²) = a ist das der Gegenvektor -a. Mathe Abitur Lernzettel von Maxima Wird ein Vektor im Ursprung (010) angesetzt, so heißt dieser Ortsvektor eines bestimmten Punktes: OT=(+8)=(1) Die Länge des Pfeils, der den Vektor a darstellt, nennt man Betrag des Vektors à und schreibt hierfür lal. Der Betrag des Vektors entsprich dem Abstand von einem Ausgangspunkt zu einem Zielpunkt des Vektors. 2.1.4 Rechnen mit Vektoren Um zwei Vektoren a und b zu addieren bzw. subtrahieren, müssen die einzelnen Koordinaten der Vektoren addiert bzw. subtrahiert werden: a₁)+/b₁\= (a₁+ b₁\ a+b= = a₂ + b₂=a₂+ b₂ a3 + b3|=\a3+ b3 Um einen Vektor a mit einer Zahl r ER zu multiplizieren, muss jede Koordinate von a mit r multipliziert werden: /a,= (ra, ra=ra₂=\r•a₂ a3=(ra) 2.1.5 Skalarprodukt Um zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht/orthogonal zueinander sind, verwendet man das Skalarprodukt. Für das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b schreibt man aᵒb, setzt man diese Vektoren nun gleich null, so kann man herausfinden, ob die Orthogonalität zutrifft. Man rechnet: b₂ = a₁b₂+ a₂b₂+ a₂b² aᵒb=a₂ a3 2.2.1 Parameterform der Gerade Eine Gerade wird beschrieben durch die Parameterfrom beschrieben. Die Gleichung lautet: g:x = a + r. u a ist hierbei der Stützvektor der Geraden und u der Richtungsvektor. Besteht die Gerade aus zwei Punkten, dann lautet die Gleichung: g:x = a + r AB 2.2.2 Gegenseitige Lage von Geraden Geraden können parallel, identisch, windschief zueinander sein, oder sich schneiden. Um herauszufinden, welche dieser Möglichkeiten auf die Geraden zutrifft, kann man wie folgt vorgehen: Sind die Richtungsvektoren kollinear? /Ja Nein Liegt der Ortsvektor der einen Geraden auf der Geraden h? ✓Ja identisch Nein parallel Gleichsetzung der Geraden und schauen ob es ein Ergebnis bringt ✓Ja schneiden sich Mathe Abitur Lernzettel von Maxima Nein windschief 2.3.1 Gaußverfahren Ein lineares Gleichungssystem (LGS) löst man mit dem Gaußverfahren. Dabei muss man das Gleichungssystem in eine Stufenform bringen, so dass in der ersten Zeile noch drei Variablen vorhanden sind, in der zweiten noch zwei und in der letzten nur noch eine Variable. Vorgehensweise: 1. Alle Terme mit Variablen auf eine Seite bringen, sodass auf der anderen Seite nur Zahlen sind. 2. Die gleichen Variablen sollten untereinander stehen 3. Durch Addition oder Subtraktion der Gleichung, wird ein Faktor der zweiten Gleichung entfernt Beispiel: 3x,+ 6x₂- 2x₂= -4 3x,+ 2x₂ + x3 = 0 1,5X,+ 5X,-5X = -9 || ||| 4. Bei der dritten Gleichung das selbe 5. Einsetzten um alle verbleibenden Variablen berechnen | 3x₁+ 6x₂- 2x,= -4 || 3x₁+ 2x₂+ x3 = 0 ||| 1,5x,+ 5x₂-5x3= -9 || | 3x₁+ 6x₂- 2x₂= -4 4x₂ 3x3 = -4 || ||| 1,5x,+ 5X,-5X= -9 3x₁+ 6x₂- 2x3 = -4 4x₂-3x3 = -4 -4x₂+ 8x3= 14 3x,+ 6x₂- 2x₂= -4 4x₂-3x3 = -4 5x3= 10 || (-1) + | III (-2) + | ||| + || 5X,= 10 − X 2 x₂ einsetzen in ||: x₂= 0,5 X3 und X₂ einsetzten in |: x₁= 1 Lösungsmenge L= {(1|0,512)} Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 2.2.3 Parameterform, Normalen und Koordinatenform Parameterform der Ebene: Eine Ebene kann durch eine Gleichung der Form E: x=p+r•ủ+s• V beschrieben werden, wobei x der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene ist. Die Vektoren u und v dürfen nicht zueinander parallel sein. Der Vektor p heißt Stützvektor und die beiden Vektoren u und ✓ heißen Spannvektoren. Wenn man die einzelnen Koordinaten der Ebene betrachtet, ergeben sich die Eigenschaften der Ebene: x₁x₂-Ebene: x3=0 x₁x₂-Ebene: x₂=0 Normalenform: Eine Ebene kann durch eine Gleichung der Form E: (x-p) • n = 0 Der Vektor n ist der Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht Koordinatenform: Eine Ebene kann durch eine Gleichung der Form E: ax,+ bx₂+ cx₂= d beschrieben werden. x₂x₂-Ebene: x₁=0 /a Der Vektor bist ein Normalenvektor der Ebene. C Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 2.3.4 Ebenenformen umwandeln Parameterform in die Koordinatenform: 1. Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren u und v, muss gebildet werden /u₁₁\ V₂₁ (U₂ V3) - (V₂ U₂) Kreuzprodukt berechnen: n = U₂ X V₂ = (U₂• V₁ ) - ( V₁• U₂) U3 V3/ ( U₁₂• V₂) - ( V₂• U₂) 2. Den erhaltenen Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzten und den Stützvektor für die x-Koordinaten einsetzen, damit man d erhält 3. d in die Koordinatenform einsetzen Parameterform in die Normalenform: 1. Berechnung des Kreuzproduktes 2. Stützvektor ablesen 3. Normalen- und Stützvektor in die Normalenform einsetzen Koordinatenform in die Normalenform: 1. Man kann den Normalenvektor der Koordinatenform ablesen 2. Berechnung des Stützvektors durch das gleichsetzten von zwei x-Werten gleich 0 3. Normalen- und Stützvektor in die Normalenform einsetzten Koordinatenform in die Parameterform: 1. Es müssen drei Punkte bestimmt werden, die in der Ebene liegen (diese Punkte dürfen aber nicht auf einer Geraden liegen). Dafür kann man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen verwenden. Man muss zwei der Koordinaten gleich Null setzten und so die dritte bestimmen 2. Bestimmung der Spannvektoren durch die Ortsvektoren der Schnittpunkte aus Schritt eins 3. Ein Ortsvektor und die Spannvektoren werden in die Parameterform eingesetzt Normalenform in die Koordinatenform: 1. Die Normalenform muss ausmultipliziert werden, um zur Koordinatenform zu kommen 2. Das Ausmulitpilzieren funktioniert genau so, wie das normale Ausmultipilizieren Normalenform in die Parameterform: 1. Die Normalenform zur Koordinatenform umwandeln 2. Koordinatenform zur Parameterform umwandeln 2.4.1 Abstand Gerade-Ebene Mathe Abitur Lernzettel von Maxima Eine Gerade kann zu einer Ebene parallel verlaufen, sie kann die Ebene in einem Punkt scheiden oder vollständig in der Ebene liegen. Um herauszufinden, welcher Fall zutrifft, ist es sinnvoll, die Gerade und die Ebene gleichzusetzen. Bei der Gleichsetzung ist es wichtig, dass man die Parameter auf eine Seite bringt, damit ein LGS entsteht, welches per Hand oder mit dem GTR gelöst werden kann. Wird eine eindeutige Lösung festgestellt, so gibt es einen Schnittpunkt, der ggf. noch ermittelt werden muss. Dafür muss eine beliebige Variable in die Funktion eingesetzt werden, so dass die Koordinaten bestimmt werden können. Gibt es keine Lösung, so hat die Gerade keinen Schnittpunkt mit der Ebene und verläuft somit parallel zu ihr. Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, dann hat die Gerade unendlich viele Schnittpunkte mit der Ebene und liegt somit in g 2.4.2 Abstand Gerade-Punkt Damit der Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g berechnet werden kann, sollte zunächst eine Hilfsebe E aufgestellt werden, die orthogonal zu g verläuft und durch den Punkt P geht. 1. Der Richtungsvektor von g wird als Normalenvektor für E verwendet Dann setzt man den Punkt P in die Koordinatenform der Ebene ein und rechnet d der Koordinatenform aus. 2. Der sogenannte Lotfußpunkt L (Schnittpunkt von g und E) muss berechnet werden. Dafür muss g in E eingesetzt werden. 3. Der Vektor PL gibt den Abstand der Gerade und des Punktes an. Der Betrag muss berechnet werden und gibt somit den Abstand an. 2.4.3 Abstand Punkt-Ebene Wenn ein Punkt P nicht in der Ebene E liegt, kann man den geringsten Abstand berechnen. Es gibt zwei verschiedene Wege, diesen Abstand zu berechnen. 1.Möglichkeit: Lotfußpunkt berechnen: Man stellt zunächst die Lotgerade g auf, die orthogonal zu E verläuft und durch P geht. Dafür verwendet man den Ortsvektor von P als Stützvektor und den Normalenvektor der Ebenengleichung als Richtungsvektor. Danach setzt man g in E ein und erhält den Lotfußpunkt. Als letztes stellt man den Vektor PL auf, der den Abstand der Ebene und des Punktes angibt. 2.Möglichkeit: Hess'sche Normalform (HNF) Sollten die Koordinaten des Lotfußpunktes. Nicht gefordert sein, so kann man die Hess'sche Normalform verwenden um den Abstand d des Punktes P und der Ebene E zu berechnen. | p₂n₂+ p₂n₂+ p₂n₂-b| √n²+ n₂²+ n₂ 2.4.4 Abstand windschiefer Geraden Die HNF lautet d = Wenn zwei windschiefe Geraden g und h gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten, deren Abstand zu berechnen. 1.Möglichkeit: Hilfsebene Man stellt eine Hilfsebene E, aus g und dem Richtungsvektor von h auf und wandelt diese in dei Koordinatenform um. Nun kann der Abstand des Stützvektors von h und der Ebene E mit der Hess'schen Normalform berechnet werden. 2.Möglichkeit: Orthogonalität Man stellt zunächst einen allgemeinen Verbindungsvektor v zwischen g und h auf. Mithilfe des Skalarprodukts überprüft man ob ✓ zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist. Mathe Abitur Lernzettel von Maxima Danach stellt man ein lineares Gleichungssystem auf, mit dem man die Punkte s und r bestimmten kann. Wenn man diese erhalten hat, setzt man sie in die Punkte G und H ein. Zuletzt muss der Betrag des Vektors GH berechnet werden, damit man den Abstand erhält 2.4.5 Schnittwinkel Wenn die Geraden g, und g₂ die Richtungsvektoren u, und u₂ und die Ebenen E, und E₂ die Normalenvektoren ñ, und ñ haben, dann gilt für den Schnittwinkel x: Geraden g, und 9₂: Ebenen E, und E₂: cas (α) = ₁₂0°<α ≤ 90° Innal cas (α) = 1₁: 1₂1.1₂1 Gerade g und Ebene E: cos (90-x) = } 0°< α ≤90° 10₁.721 Tul Inal bzw. sin(x)= 17421, 0°<α=80⁰ Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 3.1.1 Erwartungswert und Standardabweichung Der Erwartungswert gibt an, welcher Wert bei einem Zufallsexperiment, bei einer großen Anzahl von Durchführungen durchschnittlich zu erwarten ist. Man berechnet den Erwartungswert wie folgt: Erwartungswert von X: µ: x, P(X=x,) + x₂• P(X=x₂) +...+ x, P(X=xn) Die Standardabweichung gibt an, wie groß die durchschnittliche Entfernung der Werte vom Mittelwert ist. Man berechnet die Standardabweichung wie folgt: Standardabweichung von X: o:√√(x-µ)²• P(X=x,) +...+ (x,-µ)³• P(X=x₂) 3.1.2 Bernoulli-Experimente Bernoulli-Experimente sind Zufallsversuche, bei denen es nur die Möglichkeit Erfolg und Misserfolg gibt. Wiederholt man so ein Experiment n Male, so hängen die Durchführungen voneinander ab. Wenn X die Anzahl der Treffer beschreibt und p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit für r Treffer mit folgender Bernoulli-Formel: B₁₁p(r) = P(X=r) = () • p² • (1-p)"¯r; r=0,...,n. Die dazu gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung Bip heißt Binomialverteilung. Die Zufallsgröße X heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p. 3.1.3 Vierfeldertafel Eine Vierfeldertafel kann verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen A und B zu berechnen. A Ā P(An B) P(AB) P(B) P(An B) P(AB) P(B) P(A) P(A) 1 Die Randwerte ergeben sich durch das Zusammenrechnen der Zeile/ Spalte. B Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 3.1.4 Baumdiagramm Ein Baumdiagramm kann verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten zu berechnen. Dabei gibt es mehrere Regeln: 1. Verzweigungsregel: Die Summe aller Äste in einem Baumdiagramm, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, muss 1 sein. 2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit von einem einzigen Ergebnis ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten des kompletten Pfades. 3. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die von diesem Ereignis ausgehen. 3.2.1 Zweiseitiger Signifikanztest Wenn bei einem Zufallsexperiment, die Trefferwarscheinlichkeit p unbekannt ist, aber eine Hypothese zu p vorliegt, überprüft man die Gültigkeit dieser Hypothese. Die Hypothese wir verworfen, wenn man bei einer Stichprobe äußerst seltene Ergebnisse erzielt. Dabei geht man wie folgt vor: 1. Man legt einen Stichprobenumfang n fest und das Signifikanzniveau (z.B. x = 5%) 2. Als Testgröße X verwendet man die Trefferzahl für die Parameter n und p 3. Man legt einen Annahmebereich [a;b] der Nullhypothese fest. Dafür bestimmt man aus der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten von X die kleinsten Zahlen a und b, sodass P(X<a) > 2,5% und P(X<b) > 97,5%. Die Irrturmswarscheinlichkeit beträgt dann höchstens <= 5%. 4. Man führt eine Stichprobe vom Umfang n durch. H, Wir angenommen, wenn das Stichprobenergebnis im Annahmebereich liegt, sonst wird H. verworfen. Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 3.2.2 Einseitiger Signifikanztest Wenn man bei einem Zufallsexperiment von vorne rein weiß, dass p höchstens größer oder kleiner geworden sein kann, testet man die Hypothese nur einseitig. 1. Man legt den Stichprobenumfang n fest und das Signifikanzniveau (z.B. <= 5%) 2. Als Testgröße X verwendet man die Trefferzahl 3. Nullhypothese: Alternative: Vorgehen: linksseitiger Test H₁: p = p oder pzp. H₁: p<p Man bestimmt den Annahmebereich [a;n] der Nullhypothese. Dazu sucht man aus der Tabelle der kumulierten Wahr- scheinlichkeiten von X die kleinste Zahl a heraus, sodass P(X<a)> 5% rechtsseitiger Test H₁: pp, oder p≤p. H₂:p> Po Man bestimmt den Annahmebereich [0;b] der Nullhypothese. Dazu sucht man aus der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten von X die kleinste Zahl b heraus, sodass P(X<b) >95% 4. Man erhebt oder zieht eine Stichprobe vom Umfang n. H wird beibehalten, wenn die Trefferzahl X im Annahmebereich liegt, sonst wird H verworfen 3.2.3 Fehler beim Hypothesentesten Beim Hypothesentesten wird die Nullhypothese akzeptiert oder verworfen. Dabei können Fehlentscheidungen getroffen werden. Wenn die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie richtig ist, liegt ein Fehler 1.Art vor. Wenn sie akzeptiert wird, obwohl sie eigentlich falsch ist, so liegt ein Fehler 2.Art vor. Nullhypothese wird... verworfen akzeptiert Nullhypothese wahr Fehler 1.Art richtige Entscheidung Fehler 1.Art berechnen: Die Trefferwahrscheinlichkeit der Nullhypothese muss berechnet werden, um die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung der Nullhypothese zu berechnen. Die Binomialverteilung der Treffer im Ablehnungsbereich muss berechnet werden. Nullhypothese falsch richtige Entscheidung Fehler 2.Art Fehler 2.Art berechnen: Man kann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.Art nur berechnen, wenn die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit bekannt ist. Damit wird die Wahrscheinlichkeit wie für den Fehler 1. Art berechnet. Man nimmt die Trefferwahrscheinlichkeit der Gegenhypothese und die Trefferanzahl, mit der man sich für die Nullhypothese entscheidet. 3.3.1 Stetige Zufallsgrößen Bei den stetigen Zufallsgrößen, handelt es sich um reellwertige Zufallsgrößen, bei denen es beliebig viele Nachkommastellen geben kann. Damit solche Zufallsgrößen durch Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden können, greift man auf Integrale zurück. (1) f(x) > 0 für alle x aus I und (2) f(x)dx=1 a Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) über einem Intervall I, z.B. I = [a;b] oder I = (a;b), wenn gilt: Eine reellwertige Zufallsgröße X mit Werten im Intervall I heißt stetig verteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f, wenn für alle r, s aus I gilt P(r<X<s)= f(x)dx b Eine Zufallsgröße X mit Werten zwischen a und b und der Wahrscheinlichkeitsdichte f besitzt den Erwartungswert µ= √x • f(x)dx und die Standardabweichung σ=- =(x-μ)*• f(x)dx Mathe Abitur Lernzettel von Maxima 3.3.2 Gauß'sche Glockenfunktion Wahrscheinlichkeiten zufälliger Messfehler können durch die Gauß'sche Glockenfunktion beschreiben werden. Die Gauß'sche Glockenfunktion mit 4μ₁0 (x) = Maximalstelle bei x=μ und je eine Wendestelle bei x= μ± ~ Ihr Graph ist achsensymmetrisch zu x=μ Weiterhin gilt: (x)dx = 1 und √(x)dx= [(x)dx. -80 3.3.3 Normalverteilung _(x-μ)² e 20² Eine stetige Zufallsgröße kann als nor eilt angesehen werden den Parameter μ und, wenn sie eine Gauß'sche Glockenfunktionals Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt. Bei μ handelt es sich um den Erwartungswert. ist die Standardabweichung. besitzt eine Wenn mit der Gauß'schen Glockenfunktion ganzzahlige Zufallsgrößen beschrieben werden sollen, verwendet man die Stetigkeitskorrektur, bei der die Integrationsintervalle vergrößert werden. Es gilt: Für binomialverteilte Zufallsgrößen X mit u=nop und •p(1-p) gilt: 6+0,5 (a) P(X=k)= B₁,p(k) ≈ (k) und (b) P(a≤x≤b)=√(x)dx. a-0,5 3.3.4 Sigmaregeln Mathe Abitur Lernzettel von Maxima Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungswert µ=nop und der Standardabweichung ơ= n°p(1-p) erhält man folgende Näherungen: 1 0,2 0,30 -Regel 1. P(μ-o<X<μ+o)~68,3% 2. P(μ-20≤x≤μ+20)~95,4% 3. P(μ-30 ≤X<μ+30) 99,7%