Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

Potenzfunktionen haben die Form f(x) = a · xⁿ und verhalten sich je nach Exponenten unterschiedlich. Bei geradem Exponenten sind sie achsensymmetrisch, bei ungeradem Exponenten punktsymmetrisch zur y-Achse.

Exponentialfunktionen $f(x) = a · bˣ$ sind besonders wichtig für Wachstums- und Zerfallsprozesse. Ist b > 1, hast du Wachstum, ist 0 < b < 1, dann Zerfall. Die natürliche Exponentialfunktion mit der e-Funktion kommt in fast jeder Klausur vor.

Die mittlere Änderungsrate berechnest du mit dem Differenzquotienten: m = $f(b) - f(a)$/$b - a$. Das ist super wichtig für Textaufgaben! Bei den Ableitungsregeln brauchst du die Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel - die kommen garantiert dran.

Merke: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade = punktsymmetrisch!

Vektoren und Geraden im Raum

Die Dreiecksregel für Vektoren ist dein Grundwerkzeug: Vektoren werden "Spitze an Fuß" aneinandergelegt. Eine Linearkombination ist einfach eine gewichtete Summe von Vektoren: r₁ · a₁ + r₂ · a₂ + ... + rₙ · aₙ.

Geraden im Raum haben die Parameterdarstellung: x = a + r · m. Dabei ist a der Stützvektor und m der Richtungsvektor. Für die Punktprobe setzt du einfach den Punkt in die Geradengleichung ein - gibt es eine Lösung für r, liegt der Punkt auf der Gerade.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen. Du setzt eine Koordinate gleich null und löst nach r auf. Die Zweipunktegleichung brauchst du, wenn du eine Gerade durch zwei gegebene Punkte bestimmen willst.

Tipp: Bei Punktproben immer alle drei Gleichungen prüfen - nur wenn alle stimmen, liegt der Punkt wirklich auf der Gerade!

Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Geraden können parallel, identisch, schneidend oder windschief sein. Zuerst prüfst du die Richtungsvektoren: Sind sie linear abhängig (einer ist ein Vielfaches des anderen), dann sind die Geraden parallel oder identisch.

Bei parallelen Geraden haben die Richtungsvektoren das gleiche Verhältnis, aber die Punktprobe zeigt, dass sie nicht identisch sind. Schneidende Geraden erkennst du daran, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat - das ist dann der Schnittpunkt.

Windschiefe Geraden gibt es nur im Raum! Sie sind weder parallel noch schneiden sie sich. Das erkennst du daran, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, obwohl die Richtungsvektoren linear unabhängig sind.

Ebenen stellst du in Parameterform dar: E: x = a + r · v + s · w. Für die Normalenform brauchst du das Kreuzprodukt der Spannvektoren, um den Normalenvektor zu finden.

Merksatz: Windschief = kein Schnittpunkt trotz linear unabhängiger Richtungsvektoren!

Ebenen und ihre Darstellungsformen

Du kannst zwischen Parameterform, Normalenform und Koordinatenform hin und her rechnen. Von der Koordinatenform zur Parameterform: Setze zwei Koordinaten gleich null und finde drei Punkte, dann bilde Spannvektoren.

Von Parameterform zur Koordinatenform: Berechne den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren. Das Kreuzprodukt a × b = $a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁$ musst du auswendig können!

Für Lagebeziehungen zwischen Punkt und Ebene setzt du den Punkt in die Koordinatengleichung ein. Stimmt die Gleichung, liegt er in der Ebene. Bei Gerade und Ebene unterscheidest du: parallel (keine Lösung), identisch (unendlich viele Lösungen) oder schneidend (eine Lösung).

Praxis-Tipp: Das Kreuzprodukt immer systematisch berechnen - Fehler passieren hier besonders oft!

Winkel und erweiterte Lagebeziehungen

Winkel zwischen Geraden berechnest du mit: cos α = |v · w|/(|v| · |w|). Wichtig: Betrag des Skalarprodukts verwenden, weil du den spitzen Winkel suchst!

Für den Winkel zwischen Gerade und Ebene gilt: sin α = |v · n|/(|v| · |n|). Hier verwendest du den Sinus, weil du den Winkel zwischen Gerade und Ebene (nicht zum Normalenvektor) suchst.

Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwischen ihren Normalenvektoren: cos α = |n₁ · n₂|/(|n₁| · |n₂|). Bei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren linear abhängig, bei identischen Ebenen zusätzlich der gleiche d-Wert.

Beim Schnitt zweier Ebenen erhältst du eine Gerade. Setze eine Ebene in die andere ein und löse das entstehende Gleichungssystem.

Achtung: Bei Gerade-Ebene-Winkel verwendest du Sinus statt Kosinus!

Lineare Gleichungssysteme und Stochastik-Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme löst du mit dem Gauß-Verfahren. Führe Zeilentransformationen durch, bis du Dreiecksform hast. Nullzeilen bedeuten unterbestimmte Systeme mit unendlich vielen Lösungen - dann hast du freie Parameter.

In der Stochastik ist der Ergebnisraum Ω die Menge aller möglichen Ergebnisse. Ein Ereignis E ist eine Teilmenge davon. Das Gegenereignis Ē tritt ein, wenn E nicht eintritt: P(Ē) = 1 - P(E).

Bei Laplace-Experimenten haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit: P(E) = |E|/|Ω| (günstige durch alle möglichen). Vereinigung (E₁ ∪ E₂) bedeutet "mindestens eines", Schnitt (E₁ ∩ E₂) bedeutet "beide gleichzeitig".

Die relative Häufigkeit hn(E) = k/n nähert sich bei großen n der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

Grundregel: P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ ∩ E₂) - vergiss die Schnittmenge nicht!

Kombinatorik und bedingte Wahrscheinlichkeit

Ziehen mit Zurücklegen: N = nᵏ Möglichkeiten (n Kugeln, k Ziehungen). Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge: N = n!/$n-k$! Möglichkeiten. Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge: N = (n über k) = n!/$k!(n-k)!$ - das ist der Binomialkoeffizient.

Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) ist die Wahrscheinlichkeit für B, wenn A bereits eingetreten ist. Der Multiplikationssatz: P(A ∩ B) = P(A) · PA(B). Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: PA(B) = P(B).

Die Vierfeldertafel hilft bei komplexeren Aufgaben - trage alle Wahrscheinlichkeiten systematisch ein. Totale Wahrscheinlichkeit: P(A) = P(B) · PB(A) + P(B̄) · PB̄(A).

Der Satz von Bayes dreht bedingte Wahrscheinlichkeiten um: PA(B) = P(B) · PB(A) / P(A).

Merkregel: "Mit Zurücklegen" = Potenzen, "ohne Zurücklegen" = Fakultäten und Binomialkoeffizienten!

Hypothesentests

Bei Hypothesentests legst du einen Verwerfungsbereich fest, um zu entscheiden, ob du eine Hypothese ablehnst. Das Signifikanzniveau $meist α = 0,05$ gibt die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit an.

Der Verwerfungsbereich V = {8; 9; 10} bedeutet: Du verwirfst die Nullhypothese, wenn mindestens 8 von 10 Ergebnissen eintreten. Die Wahrscheinlichkeit dafür sollte unter dem Signifikanzniveau liegen.

Du berechnest P(X ≥ k) = 1 - P(X < k) und vergleichst mit α. Ist der Wert kleiner als 0,05, ist das Ergebnis signifikant - die Nullhypothese wird verworfen.

Prüfungstipp: Hypothesentests sind sehr beliebt in Klausuren - übe das Schema: Hypothesen aufstellen, Signifikanzniveau festlegen, Verwerfungsbereich bestimmen, entscheiden!