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Mathe GK Zusammenfassung

26.9.2021

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Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
Klammern auflösen
Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
Bsp
Rechengesetze
Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
Klammern auflösen
Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
Klammern auflösen
Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
Bsp
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Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
Bsp
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Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
Bsp
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Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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a+b=b+a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
Bsp
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a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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Kommutativgesetz
a+b=b+a
a.b=b.a
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Plusklammer
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Kommutativgesetz
a+b=b+a
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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Plusklammer
→ Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen.
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Plusklammer
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Plusklammer
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Rechengesetze Kommutativgesetz a+b=b+a a.b=b.a Klammern auflösen Plusklammer → Steht ein "+" vor der Klammer, so kann man sie weglassen. Bsp.: a + (b-c-d) = a +b-c.d Minusklammer (a + b) (c+d) = a.c+ad+b.c+b.d → Steht ein "-" vor der Klammer, kann man Klammer weglassen und alle Vorzeichen in der Klammer umkehren. 1 Bsp.: a (b c d) = a - b + c d Faktor mal Klammer → Jedes Glied der Summe/Differenz in der Klammer muss mit Faktor vor der Klammer multipliziert werden Klammer mal Klammer ^ Produkt in der Klammer → Wenn in der Klammer ein Produkt steht (statt Summe/Differenz) darf man nicht jeden Faktor des Produkts in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren, sondern nur einen (egal welchen) Bsp.: a (b + c d) = a b + a c.d Binomische Formeln 1. Binomische Formel 2. Binomische Formel 3. Binomische Formel Das Pascal'sche Dreieck 1 (am)n 6 ^ 5 = am-n 1 1 1 2 1 3 4 o) Potenzgesetze a = 1 (a - b) = an bn an-maman-m+m 1 Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a (b.c)=(a b) c = a b c 15 20 3 1 6 ५ 1 10 5 15 (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)²=a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) =a²b² 6 a = a ax-1 BASISWISSEN 1 1 ar as arts ar-s= a: as / = ax a Distributivgesetz (a+b) c= a.c+b.c (a - b) c= a.c-b.c (a + b): c = a: c +...

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b: c (a - b): c = a: c- b: c arts = ar as a M-n am an (a+b)² = 1a² + 2ab + 16² (a+b)³ = 1a³ + 3 a ² b + 3ab² + 6³ (a+b) ² = 1 a² + 4a³b + 6a² b ² + 4 a5 ²³ +6² (a+b)³ = 19² + 5a²b + 10 a ³ b ² + 10 a²b³ + 5 a 6 ² + 165 (a+5)= 1a + 6a³b + 15 a ² b ² + 20 a ³b ³² + 15 a ²6" + 6ab³ + 156 c. (a + b) = ca+c.b c. (a - b) =c-a-c.b c: (a + b) = c:a+c: b c: (a - b) = c: a-c: b 2a = an+an an= an (=) * = flal-4-4-x-1 filal=-4.x² - 4 a b* a = a^²=(√)" Definitionsbereich der Funktion f Es muss die Menge der Zahlen angegeben werden, die für x in f(x) eingesetzt werden kann, so dass die Funktion f für diese Zahl definiert ist. ,,Was darf ich für x einsetzen?" D = R D = R = 0 D=R\{03 > Alle Reellen Zahlen 2.8. f(x)=2x-2 f(x)= x² - 4x +4 f(x) - 4x³-2x²+x+10 f(x) = 2* Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient f(x0+h)-f(x0) h Der Differenzenquotient Punlte P (xol f(x)) und Q (xo+h I f(xo+h)) an. f'(x)= lim. x → Xo f'(x) = lim h→0 Momentane Änderungsrate Der Grenzwert des Differenzenquotienten bei Annäherung der beiden Punkte heißt Differenzialquotient und gibt die Steigung der Tangente im Punkt P an den Graphen von f(x) bzw. die Ableitung der Funktion an der Stelle xo an. Strebt der zwischen den Stellen xo und xo+h für h→0 gegen einen Grenzwert, dann heißt dieser Ableitung von f an der Stelle xo. (momentane Änderungsrate) bzw. f(x)=2x² > Alle Reelen Zahlen, ader über 0. gleich 0 2.B. f(x)=√x f(x)-f(x) X-Xo f(x)=x" f(xo+h)-f(xo) h Eigenschaften von Potenzfunktionen a positiv n gerade > Alle Reelen Zahlen außer 0 2.B. f(x) - a positiv n ungerade gibt die Steigung der Sekante durch die f(x)=0,2x² f(x)=3x² f(x) = ax f(x)=-3x a negativ n gerade f(x) = -0,125x² a negativ n ungerade f(x) = -4x AY f(x) = -0,2x² 0 th xo Tangente h f(x+h)-f(x) 0 X FR1 f(xo+h)-f(x) Xo+h Fig. 2 Prozentrechnung Prozentrechnung p.. 100 P. .100 // Grundwert (6) Daw bante auf das sich Protestanten beziehen. 2.B. Alle Peopren W P%.. G -Prozentzall Prozentwert (W) W- p.6 100 W= 12€; p%= 50%; 6 = ? G. W.100 12-100 1200 P 30 30 w.px.G Ein Anteil an etwas bantern 7.B. 100 Pes. Im Raum 6.100 Pes; W.60 Pes. W = P.G 6. W/6-W.100 p% P Beispiel 1: Anna let 12 € im Monat ausgegeben. Das sind 30% iwer gesamten beldes. Wie viel Geld bekommt sie jeden Monat? 15.500 7500 € 75€ 100 100 W. 6.p% 15.50 - 7,50€ 100 100 Prozentsatz (pr.) Got Anteil an Grundwert an 40€ Beispiel 2: De Tashe hosted 500€. Wiel vie kastet six mit 15% Rebatt? 6= 500€ p% = 15%; W₁? z. B. Produlet houtet 100€ und 40% reduziert 6.100%; P%. = 40% Bespiel 3: Der Pulli hostet 15€. We viel hastet es mit 50% Radaff? 6- 15 € p%= 50%; W=? Zinsrechnung Zinsrechnung Z Zinsen K• Startlapital vor Verzinsung P. Zinstall Ke Endlespital nah Verzinsung Zinsrechnung für 1 Jahr Geld wird fair di Jahr migstept und erhalt wach water end capital! 1₂-K-P K 2+K •Sollte Kapital, und saplint bustabele genuditshin K. 2.100 P. 2.100 HP Bap Fam hat ssook jospart beld wird of Jahr 264.RX anyage ? wie viele Wavier I beld child form nach d) furish? • Anfangs haphal K: 3500 € bal 2- KIP 3500€ TOO to dese 147€ and K·2+K• 197€ + 3500€ +5647 € A. Fam. hat nach & Jahr Kapital von 3647€ für Tage *' anfallende tren "K verwendete Kapital Itnakel of animal (alt - Ansalul der Tape HILTILILL 2.K.P.E K 2+K 111 300-360 pekarel den site or K-2.100 360 P 2 (00-360 Kie Endlinpitel 42.100 360 K-P Bsp Am 01.05. 2000€ The Beast doct 2.51 - Wie vidle Zinsen in chiesta pa weudet oxfelpt bild +P.25, K.2500 16 30 thn Hal + 30 (7. Sun) + 49 (1-0)-- little h 2. K-p-2300€ 2,5-76-475000€ 130 I Troove Ton Steve M 100 310 100.360 360001144 A. In den genannten Jemewien falle 13.19€ Zuden an. Z P%. K Zinseszins Beine tured But geht & dares das auf - Ananything and for sen hinta kon Iwan sik in hellingt auf die insluft then transienfalls withi kutyust Kin's ken Kapitel nach Vertising (Euathupa) P dastaklege Companyshap n = Angalil der Jalist TRICKIG +Myll Forms were prepel Hi Ar mishap Filed aptes un 35000 word reach ist das en elefaral? u.3 -- K 3500€, P. K 35000 (1) -3500€ 1,04² 124864 $35,028 für Monate Zanfallenden Zeven K enfeer Geld (kapital) Phalal m² Antall der Monate, de angelet wird --------▬▬▬▬▬ 2.kpin KZ-K 100-12THE • Ungestellte Formal nach Kapital, Swak Mohare K-Z100 12 w $7-100.12 - P KP p-Z 0012 Kim Bep. 55000 te ndan Birssatz von R.GV. für we viele Bufala desen filowata Monste •K. 3500€, P:26, M-8 2: K. Puum 3300PR 2,6868640€ 57.26 100.12 1 100.12 (200 Knee 2+K: 52,20€ + 3500 €• 835? 20€ A Endkapitel besigt oss) 20. 3357, 20€ Definition Unter einer ganzrationalen Funktion vom Grad n versteht man eine reelle Funktion der Form: f: xanxn+an-1Xn-1+...+a₁x+ao mit ne N, an, an-1, ..., a₁, ao R und an #0 Definitionsbereich: Df = R Die Werte an, an-1,..., a₁, ao heißen Koeffizienten. Spezialfälle Lineare Funktion f(x) = mx +t, m #0 (Grad 1) z. B.: f(x)=x+1 f(x) -3 -2 2 0 -1 1 2 f 3 X lim f(x)=; X-00 X-100 EIGENSCHAFTEN GANZRATIONALER FUNKTIONEN lim f(x)=-00 Parabel f(x) = ax2+bx+c, a #0 (Grad 2) z. B.: f(x)=x2-1 f(x) 4 f(x)4 -3 lim f(x)=-00 f(-x) 3 Grenzverhalten ganzrationaler Funktionen Das Grenzverhalten ist festgelegt durch den Koeffizienten an und den Grad der Funktion. an>0: Bsp.: n gerade: lim f(x)=∞0; lim f(x)=00 X-18 n ungerade: an<0: n gerade: -2 -1 0 -2 -2 f(x) 2 1 2 1 lim f(x)=-00; X→-00 n ungerade: lim f(x)=-; lim f(x)=00 Mit dem GTR kann das Grenzverhalten durch Zeichnen des Graphens geprüft werden. Symmetrie 0 }> f Achsensymmetrisch (bezüglich der y-Achse) f(-x) = f(x) 2 Bestimmen Sie das Grenzwertverhalten der Funktion f(x)=-3x4-2x. a=-3<0 n=4n gerade lim (-3x4-2x) = -0 x → too Punktsymmetrisch (bezüglich des Ursprungs) f(-x) = -f(x) Symmetrieuntersuchung der Funktion f(x) = - = x²(x²9): f(-x) = -√(-x)²((-x)²-9) = - + x²(x²-9) = f(x) → Der Graph von fist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse. f(-x) -2 f(x)4 -f(x) 1:2 Rechnerisch überprüft man eine Funktion auf Symmetrie, indem man (-x) statt x in den Funktionsterm einsetzt. Bsp.: f(x) Entwicklung von Funktionen Verschiebung des Graphen in y-Richtung f(x) + d d> 0 ➜ Verschiebung nach oben d<0 ➜ Verschiebung nach unten f(x) 4 6 5- 3- 1+ -2 -1 0 -2 -2 g(x)=f(x)+2 /f(x)=x² -1 1/2 x Streckung/Stauchung in y-Richtung a. f(x) h(x)=f(x)-3. a f(x) mit a > 0: a > 1 Streckung 0 < a < 1 Stauchung -a f(x) mit a > 0: zusätzliche Spiegelung an der x-Achse f(x)=x³-2x² f(x)4 10 1. f(x)=x4 2. h(x)===x-1 3 Ableitungsregeln h(x)=-0,5-f(x) Verschiebung des Graphen in x-Richtung f(x + c) g(x)-2-f(x) Ableitungen der Grundfunktion Es gilt die Potenzregel: f(x)=x mit reR⇒ f'(x)=r-xr-1 Bsp.: c> 0 → Verschiebung nach links c<0 ➜ Verschiebung nach rechts g(x)=f(x+2) Faktorregel f(x)= a u(x) mit ae R⇒ f'(x)=a-u'(x) Summenregel f(x)= u(x)+v(x) = f'(x)=u'(x)+v'(x) -4 ⇒f'(x)=4-x4-1-4.x3 -5 -3 ⇒h'(x)=(-1)-x-¹-1=-x-²=-2 -2 +1 Produktregel f(x) = u(x).v(x) = f'(x)=u'(x). v(x)+u(x)- v'(x) Kettenregel f(x)= u(v(x)) = f'(x)=u'(v(x)). V'(x) f(x)4 4 -3 3 2 14 0 f(x)=x² -2 1 Streckung/Stauchung f(b.x) mit b > 0: b> 1 → Stauchung 0 < b < 1 Streckung f(-b x) mit b > 0: zusätzliche Spiegelung an der y-Achse f(x)4 g(x)=f(2-x) h(x)=f(-0,5-x) 2 -1 3 in x-Richtung f(b.x) 3. Produktregel f(x)=x² 4 1 h(x)=f(x-4) 10 5 6 b f(x)=x³-2x² 1. Faktorregel f(x)=5.x² = f'(x)=5.2.x = 10x 2. Summenregel f(x)=x³ +ex f'(x)=3x² +ex X f'(x)=2x-ex+x2.ex=x-ex (2+x) f(x)=e¹+1=(ex+1)-x-1 ⇒ f'(x) = ex-x-¹+ (ex + 1) (-1)-x-2=-ex+¹ 4. Kettenregel f(x)=ex²-1 f'(x) = ex² -1.2x=2x-ex²-1 Monotonieverhalten, Extrempunkte, Sattelpunkte f'(x) < 0 → Graph von f fällt streng monoton f'(x) > 0 → Graph von f steigt streng monoton f'(x) = 0 VZW "+" → VZW -" Kein VZW: Sattelpunkt Extremum bei f'(x) Wendepunkt bei Graph von f MAX f(x)/ WP MIN N 2 / f'(x) MIN 3 7 -": Hochpunkt +": Tiefpunkt Berechnung von Extremstellen Notw. Bed.: f'(x) = 0 → Nullstellen ausrechnen und in f'(x) einsetzen f"(x) < 0 → f'(x) fällt streng monoton → fist rechtsgekrümmt Berechnung der Wendetangente 1. Wendepunkt berechnen 2. t(x) = mx + b f"(x) > 0 → f'(x) streigt streng monoton → fist linksgerümmt f"(x) = 0 → Wendepunkt bei f Hinr. Bed.: f'(x) = 0 u. f'(x) = 0 oder f'(x) = 0 u. VZW von f'(x)bei x0 → x > 0: TP → VZW „+" →→,-": Hochpunkt → x < 0: HP → VZW ,-" → „+" : Tiefpunkt Funktionswert: Nullstellen von f'(x) in f(x) einsetzen Berechnung von Wendestellen Notw. Bed.: f'(x) = 0 →f hat an der Nullstelle keine Krümmung = möglicher WP bei f → Nullstellen ausrechnen und in f''(x) einsetzen Hinr. Bed.: f'(x) = 0 u. f'(x) = 0 → x > 0: linksgekrümmt → x < 0: rechtsgekrümmt Funktionswert: Nullstellen von f'(x) in f(x) einsetzen oder f'(x) = 0 u. VZW von f'(x)bei x0 → VZW,+" →-": Links-rechts-Krümmung → VZW ,-"→ +" : Rechts-links-Krümmung x-Wert des Wendepunkts in f'(x) einsetzen und anschließend für ,,m" in die Tangentengleichung t(x) →y-Wert des WPs; x →x-Wert des WPs Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Wenn man durch eine Modellbildung aus mehreren Bedingungen eine Funktion bestimmen kann, die ein Maximum oder ein Minimum erreichen soll, spricht man von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. → Extremstellen können auch am Rand des Definitionsbereichs liegen. Vorgehensweise: 1. Zielgröße durch Formel beschreiben → soll maximiert oder minimiert werden? → kann mehrere Variablen enthalten 2. Nebenbedingungen aufsuchen, die Abhängigkeiten zwischen den Variablen enthalten 3. Nebenbedingungen nach einer Variablen umformen 4. Nebenbedingungen in Zielgröße einsetzen → Zielfunktion 5. Berechnung der Extrema & Funktionswert der Zielfunktion 6. Randwertbetrachtung Beispiele: a) Wie and a und zu wählen, damit der Flächeninhalt maximet werden kann? 1. Pielgroße A. a.6 → maximiert 2 Nebenbed U-2a+26-16 3. Unfomen 2a+26-16-26 2a-16-262 a.8-6 4. Zielfunktion: A(6)· (8-6). 6-b²+86 S. Extrema: A'().-26+8 A (6) --2 Notw Bed A'(6).0 6:4 Hin Bed A'(6)-01 (6)10 A(4)-2 0 HP Funktionswert: A(4)-16 6. Randwerth a; 620 Nebenbedingung: 2.8-620 1+6 826 6€ [08] → die b-Wete müssen zwischen 0 und & liegen Oin A(x) einsetzen: A(0)-0 Extremstellen in Alx) einsetzen: A (4) 16 & in Alleinsetzen: A(8)-0 ⇒ A=16 ist der größte Flächeninhalt 6) Finde des Rechtech mit maximalen FE, welches von der Parabel f(x). ²x75 unter der x-Achse begrenzt wird. Shizze: (-x.1-x²15) D -c(x₁1-x²+5) B(X 10) 1. Zielgroße A(x)= a·b → Maximiet 2 Nebenbed: a: x-(-x)=2x 6₁-x² +5-0 =-x²+5 3. telfunktion: Alx)=2x-(-x²+5) - 2x³ + 10x 4. Extrema: A'(x)= -6x² + 10 A"(x).-12x Notw. Bed. A'(x)-0 Hinr. Bed. A'(x)=0^A"(x) +0 A (√) -15,492-0→ HP Funktionswert A () 15,697 ⇒ A= 15,697 ist der größte Flächeninhalt C) Gegeben sind die Funktionen fl). 4x et und klx).-4. et*. Die Punlite A (010), 8 (+ 14 (4) and C(+(f(+)) sind die Eclipurkite eines Dreiecdes Bestimmen Sie recherch +10 se dass der Filial des Dresu maximal wind Shitte A Wichtige Formlen: FE Rechtech A= a.b Umfang U-2a + 2b V= a·b·c Volumen FE Dreiecle Aa.b FE Trapez A₁ = (a+c) ·h umm 29 210 1. Zelgrife: Aghmanimiert 2. Nebenbed hot gif(t)-k(t) 3. Pelfunktion: Alt). £.t.(f(t)-((1)) ···(4te Yes) 2124²4 4 Extrema: Kettengel: fla). de 0,31 44) 2e ula) de v(a)-0,5t v(a)-0,5 ('(x)-v²(₁): (vc.)) •-0.5.2€²0.54 Produlibal: A(+)-26 0.5+ (+²44) u(x)=des u²(x)= -0,526 4²7 V(x)= +²++ √²(a) dt+d A'(a) u'(a). V(x) (a). v²(a) -0,5-2e5+ (4²) + 2€ 85+ (2+1) =-e-0, (+²++) + 4te 0,st, 2e-0.54 =-es (+²+-4+-2) -e-9,5 (4²-34-2) Notw. Bed A'(x) 0 -e-9,³% 0 D:+²0 (sehe Vagabe) -€0,5² (+².34-21-0 1 Satz des Nellpoodulits 4²-34-2-0 19-Formel +156+1-√² = -0,56 Hinr. Best A'(a)-01 1'(-) 40 A(3,36) = →HP Funktionswert A(32) 05,48 S. Randwote: A (0) 0 lim A(+)-0 1-00 Für wind der Flächeninhalt des Dreiech: maximal. Steckbriefaufgaben (Modellierung von Funktionen) Eigenschaft der Funktion ...verläuft durch den Punkt (114) ... geht durch den Ursprung. ... schneidet die x-Achse bei x=5. ... hat an der Stelle x=3 die Steigung -2. ...schneidet die y-Achse bei y=8. ... hat einen Extrempunkt bei P(21-7). ... berührt die x-Achse an der Stelle x=-4. ... hat bei x=2 einen Wendepunkt. ...hat Wendepunkt (012). .... besitzt eine Sattelstelle bei x=² ... schneidet die Gerade mit y = 3x-7 auf der y-Achse. y-Achsenbahnitt ... besitzt im Punkt (31-3) die Steigung 4. die Tangente an P (-115) ist parallel zur Geraden g(x) = 6x. müssen de glache Steigung haben. ... besitzt an der Stelle x=9 eine Wendetangente mit Steigung 1. soll knickfrei in Punkt A(-211,5) an die Gerade f(x) = 0,5kx + 0,5 anschließen. ↳ Tangentem-f'(x), also the Steigung Z. B. Viren befallen einen f(x) Anzahl der Viren Organismus (x in Stunden) 2.B. f'(10) - 1130 Nach 10 Std. nimmt die Anfall. der Viren um 1130 pro stel. zu 2. B. Umsatz in Abhängigkeit von der Zeit (x in f(x) f'(x) Umsatz Um wieviel & der Umsatz + pro Jahr zunimmt. Beschreibende Gleichung(en) f(11=4 2.B. f(2)= 15000 Nach 2 Jahren nimmt der Umsatz um 15000-€74. f(0)=0 f(5)=0 f(3) = -2 ↑ f'ist the Stajuny f(0) = 8 f(27=-7 |f(2)=0 f" (2)=0 |f" (0)=0 / f(0) = 2 f'( ²³ ) = 0 f" ( ² ) = 0 f(0) = -7 f(-4)=0 f'(-4)=0 → f'(x) f"(x) • Um wieviel die Anzahl → Wann die Anzahl schneller/ der Viren pro Std. zunimmt langsamer zunimmt f(3) =-3 f'(3)=4 f(-1)=5 f'(-1)=6 (3)=1 f" (9)=0 f(-2)=1,5 |f'(-2)=-0,5 Jahren) J"(x) Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem kann entweder genau eine Lösung haben, unlösbar sein oder unendlich viele Lösungen haben. Genau eine Lösung gilt, wenn man für alle Variablen eindeutige Werte berechnen kann. a) I x₂ + 2x₁+x₁.9 1.2 I-2x,- x₁ +5x, . 5 Ix-x, 5x, 4 I 2x₂ + 4x + 2x,-18]. I-2x, x, 5x₁.5 II-2x₂ + 2x₂ - 6x₂ -8 I 2x, 4x + 2x, 18 I 3x, +7x, 23 II-2x, + 2x₂ - 6x₂ -8 I 2x₂ + 4x + 2x, 18 3x, +7x, -23 6x₁4x₁10 1:(-2) I II I 2x, +4x₂+2x, -18 I II I 2x, +4x + 2x, -18 3x,7%, -23 3x, +7x25]. -3x₂+2x₂--5 III 1-(-2) II I 2x, +4x,+ 2x, 18 II 3x, +7x, -23 9x₂ -18 119 Setze x,-2 in Ian 3x₂ + 7-2-23 1-14 3,9 1:3 x₂.3 Setze x₁-3 und K, '2 in III ein: 2x₂4.3-2.2-18 1-16 2x₁-2 1:2 x₂.1 →x,-1, x₂-3x₂.2 Daraus folyt: L-{(1; 3; 2)} 6) I-X₁ + X₁-2x, 3 J. II x. + x₂ + 2x, 8 2x₁-x-x, -2 Bsp.: I. x₁ + x₂ =1 II. x₁ + x₂ = 2 III x₁ + x₂ = 3 I-X, X₁-2x, -3 I 2x₁ -0 III 2x₁-x₁-x₂ -2 1-2 **** - 2x₁-3 1-2 -0 12 III 2x, -2x₂-x₂ -2 → Weine Lösung I-2x₂ + 2x₂ - 4x₂ - 6 x₂ = 0 III 2x₁-2x₂-x₂ -2 I-2x₁ + 2x₂ - 4x₂ =-6 II -0 Sky - III Setze x, .O in III LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME o-say- lie-s x₂ = 0,8 Setze x₂-0 und x, 0d in I -2x₁ +0-4-08--6 -2x,-3,2-6 1-32 -20-26 11-2) x₂: 1,4 →x,-1,4; x₂-0; x₂-0,8 Daraus folgt: L. (14,0,0,073 Bsp.: Keine Lösung/unlösbar gilt, wenn beim Umformen in einer Zeile ein Widerspruch entsteht. al I 2x₁-3x₂-x3 = 4 1.3 I x₂ + 2x₂ + 3x₂ = 1 1-(-6) II 3x, 8x₂ -5x -5 1. (-2) I 6x,-9×2-3x3 =12 I-6x,-12x₂-18x-6 II-6x, +16x₂ + 10x = -10 => Genau eine I 6x₁-9x₂-3x₂=12 II -21x2-21x6 III-6x, +16x₂+10-10 THE THE Bsp.: : I. X₁ + X ₁₂ = 1 I. x₁-x₂=1 III 2x₁ + 2x₂=2 I 6x,-9x₂-3x, 12 III I 6x₁-9x₂-3x₂=12 -7x₂-7x₂=2 7x₁ +7x=2 III III ]+ -21x₂-21x36 1:3 7x₂ +7x₂=2 ]. I 6x₁-9x₂-3x₂=12 II -7×2-7×3=2 70²=4 / Widerspruch ]+ →Die Gleichung 0.x₂=4 hat keine Lösung deshalb hat das gesamte Gleichungssystem keine Lösung L={3. ・ Losung: (1; 0). Unendlich viele Lösungen gilt, wenn eine Zeile ohne Variablen mit einer wahren Aussage entsteht. al I x,+ 2x₂-3x, -6 1-(-4) I 2x₁ - x₂ + 4x₂ -2 1-2 II 4x₂ + 3x₂ - 2x₂ = 14 Bsp.: = I x ₁ + x ₂ = 1 І -Чх, -8x2+12*6=-24 4x₂2x₂ + 8x₂=4 II 4x₂ + 3x₂ - 2x₂ = 14 І -Чx1-8x2+12*, г-24 -10x₂ + 20x₂=-20 II 4x₂ + 3x²₂ - 2x₂ = 14 II ные нав I-4x₂8x₂ + 12x₂ = -24 II. 2x₁ + 2x₂ =2 T3x₁ +3x₂=S → Unendlich viele Lösungen III Lösung unterbestimmter Besitzt ein Gleichungssystem weniger Gleichungen als Variablen, so liegt ein unterbestimmtes Gleichungssystem vor. Bsp.: 1₁ x₁ + x₂ + x3 =1 I. x₁ + x₂ + x ₂ = 2 => Das 2h3 hat keine Lösung II I₁ x₁ + x₂ + x3 =1 I. x₁ + x₂ + x3 = 1 => Das 263 het unendlich viele do sungen. ]+ I-4x₂8x₂ + 12x₂ = -24 II III -10x₂ + 20x₂=-20 1: (-2) -SX₂ + 10x₂10 I-4x₂8x₂ + 12x₂ = -24 5x₁10x₁10 0=0 Lösung überbestimmter Gleichungssysteme Besitzt ein Gleichungssystem mehr Gleichungen als Variablen, so handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. 5x₁10x₁10 -Sx₂ +10x₂.-10 } 6Th, L:{-(₁2-2); 2 (₂+1); c²} >> Die Gleichung 0.x₂=0 hat jede Zahl als Lösung J+ Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 1. Überlegen, welchen Grad n die ganzrationale Funktion haben soll → Funktionsgleichung notieren 2. Aufstellen geeigneter Gleichungen für f(x),f'(x) und f'(x) aus vorliegenden Informationen → HP,TP,NST in f(x) einsetzen 3. Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen 4. Funktionsgleichung notieren und kontrollieren a) Mit GTR besucht wird eine achsensymmetrische gantrationale Funilation 4. Grades mit einer Nullstelle bei x-2 und einem Hochpustet bei H(115). 1. f(x) · ax² +6x²+c4 brades AS nur gescle Exposenter 2. f'(-)-4ax² + 26x H(119)→ f(1)-9 f'(1)-0 NST-2 (2) 0 3. f11). a. (1) ² + 6. (1) ² + c -9 a+b+c=9 f(1) = 4a (1)¹ + db. (1)-0 -4a+ 26-0 1-(2)"+6-(2)² +0.0 f(2)= a.l. = 4a+ 26-0 LGS I a+b+c.9 II 4a +26 = 0 164+ 46+c=0 Menu-Algebra-Systess lineare Gleichungen loven a-1; 6:8; c-2 f(x)-x²+2x+8 b) Ohne GTR Gesucht ist eine ganerationale Funktion 2. Grades, die durch die Punkte A(-110), 8(01-1) und ((110) verläuft. 1. f(x) = ax² +bx+c 2. f'(x)=dax+b f'(x)-2a A(110) f(1)-a-(-1)²+6(-1)+c=0 ·a·6+c-0 B(01-1)-f(0)-a (0)² + 6.0+ c =-1 =C--1 f(1)·a·(1) ² + 6·1+c-0 ca+b+c=0 C(110) 3. LGS: I II a-b+c=0 Com C=-1 II a+b+c=0 I a-b+c=0 I C--1 III 2a +2c=0 Setze C-1 in III en 20+2-(-1)-0 2a-2-0 1+2 2a-2 1:2 a. 1 Jetze a 1 und c-1 in Iein: 1-6-1-0 1+6 1-1-6 0.6 → a=1; 60; c=1 ⇒f(x)=x²-1 c) Das Gauß-Verfahren 1. f(x) = ax²+bx+c A(₁14) 8(213) C(317) 2 3. L68 I НАШ ННИ НИШ НАЕ Voryaben A (તાત), B૮૨૫૩), C (s) f(a)- a. (1)² +6·1+2·1 = a+b+c=1 II f(2)= a. (2) ² + b·2+c=3 - 4a+26+2=3 4a +26+ c = 3 IIIJa +36 + C = 7 ным наш НАВ f(8) a. (3) ²+ 6.3+(-7 ga+ 36+2=7 I -4₂-46-4c-4 II 4a + 2b + c = 6 ga+ 3b + c 7 a+b+c= 1 1-(-4) II 9₁ +36 + C-7 -4a-4b-4c-4 1. (-4) -26-3c-1 J+ a+b+c=1 -26-3c1 ga+36 + C7 a+b+c= 1 1-(-9) -26-8c-1 9₁ +36 + C 7 -9₁-96-9c-9 -2b-c-1 ga + 3b + c 7 -9₁-96-9c-9 -26-30-1 1-(-3) -66-dc-2 -9₁-96-9c-9 66+9c3 -66-82=-2 √²+ -9₁-96-9c-9 66+9c3 (1 } ↓ sebe c. in I an 66+9.11) 3 66-6 b=-1 1:8 Setre bo-du. cod in I ein: -ga-9-(-1)-9. (1)-9 -ga+ 9-9-9 a 1 a-1, 6-1, C=1 LfU)=x²-x+1 1:(-9) FUNKTIONENSCHAR Enthält ein Funktionsterm außer der Variable x noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den Funktionswert fa(x) zuordnet. Die Funktionen få bilden eine Funktionenschar. Betrachtet wird die Funktionenscharf,0)=x-kx²+2,k>0 Abbildung 1 g die find Funktionen der Phar 1) 600M 300- 5) -²+1 500-²-²2 Zeichnen von Funktionenscharen mit dem GTR: 1. Zeichnen von Funktionenscharen mit Listen 1. Wir definieren nun zunächst eine Liste, in die A 12 wir alle Werte schreiben, die der Parameter a annehmen soll, also zB von 18 bis 30 in 2er-18.30.22.3.2 Schritten Dazu öffnen wir zunächst ein neues Calculator Fenster und geb22224262830) bestätigen und Beispiel: fa(x) = 4x3 - 4ax² + a²x Es gibt zwei Möglichkeiten, den Einfluss von a zu untersuchen: a) Man setzt für a nacheinander verschiedene Werte ein und lässt sich alle zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem zeichnen. b) Man arbeitet mit einem Schieberegler und kann dadurch a nach und nach verändern und die Auswirkungen auf den Graphen untersuchen. Jetzt öffnen wir mit CTRL doc ein neues Fenster und wählen dort 2: Graphs einfügen. Dort gehen wir mit TAB in die Eingabezeile und geben ein: n)-4-² und drücken auf ENTER (Das Zeichen vor dem xt ist unbedingt erforderlich, damit der GTR das a als Liste erkennt.) ENTER Es erscheinen nun 7 Graphen im Fenster, für jeden Wert des Parame (Damit die Graphen gut ar werden, müsst ihr die Fenstereinstellungen noch anpassen.) II. Zeichnen von Funktionenscharen mit Schiebereglern 1. Offne ein neues Dokument (unter doc, dann 1: Datel und 1 Neues Dokument) und wähle dann 2: Graphs hinzufügen. Definiere zunächst einen Schieberegler: Gehe dazu auf mens und dann auf 1: Aktionen BSchieberegler und Beispiele: a) Extrempurcite berechnen 1. fa(₁) = -x² + 3ax-ba+4 f(x)=-2x+3a fa (x) = -2 Abbildung Notw. Bed. fa(x)-0 -2x+3a-0 1, Sax Hinr. Bed: fal)-0 ^ fáca vo fa(150) -- 240 HP Funktionswert. -Gemeinsamer Punlit der Funktionenscher Verändert man , so verändert sich die Kurve entsprechend den le Die Koordinaten der cheraliteristischen Punlite hängen oft von den U ab. fa (1,5a) -2,25a²-6a+4 `Für die Berechnung der cheraliteristischen Punkte behandelt men den Parameter wie ene tahl. (18,30,32,34,36,38,30) Aktione 2 Ansic 3 Ausblendenanzeigen Graphite 4 Fenste Bedingungen festlegen S Spur 0 Ales schen 7 Tabele KoordinatenGleichungen Geome Berechnen EnA Neu definieren 4 CMathematische Zeichnung 2. fa(x)-ax². Sax+1 fa (₁)-3ax²-3a fa (x) - bax Notw. Bed. fa (x)0 Sax-Sa-0 fa (-1)-6α-12 <0 far a>0 HP --ba √³0 for a <0 →TP Funktionswert! fal-1)--20+1 Es erscheint das nebenstehende Fenster, welches du mit den Werten wie rechts angegeben füllst. Bei der Schrittweite muss man zunächst auf Wert eingeben... klicken und kann dann die 0.5 eingeben. 3. Jetzt müssen wir noch den Funktionsterm 1.4 eingeben. Dazu mit TAB in das Eingabefeld wechseln und folgenden Term für f1(x) eingeben: 4x²-4a-x² + ax und ENTER drücken: Es erscheint e Funktionsgraph für den Wert a=24. 4. Jetzt kannst du ein bisschen mit dem Schieberegler spielen und den Einfluss des Parameters a auf den Graphen erkennen. Dann auf OK klicken. Der Schieberegler erscheint nun auf dem Arbeitsblatt. x₂³1x₁1 (für a-0 hat fo (a) laine Extrema) Hinr. Bed. fal)-01fa (a) xo fa (1) ba. 1 2 0 for a>0 →TP -6a J <0 für a<0 HP Für welche der beiden Methoden du dich entscheidest, ist letztendlich egal. Wenn für a nur wenige Werte untersucht werden sollen, ist Methode a) vermutlich schneller. Wenn a in einem größeren Bereich variiert werden soll, bietet sich der Schieberegler an. Extrempunute aller Funktionen der Schar fa (x) (a #0) liegen bei E,(-112a+1) und E₂ (11-2a+1) -2a--11:1-2) Extrempunkte liegen auf der x-Adise, wenn y=0 ist. 20+1-0 1-1 -20+1-0 1-1 2a--11:2 a=-1 (Extrempurtate ligger auf der y-Achse, wenn x-Dist) Notw u. Bed. Vanable Maximum 30 05 6) Wendepunkt und Wendetangente berechnen fa(x)--ax³+4ax fa(x).-3ax² + 4a fa (x)=-bax fa (x)=-6 n-x-x²²x fa" (x)-0 -bax-0 X-0 Hin Bed falx).0 f(x) to f'(o)= 4a fa" (0)=-69 20 für a²O → Links-reclits gekrümmt J 40 für a>0 → Rechts-linkes gelerümmt in Funktionswert fa 107.0 -> Werdepunte WP (010) +(x).m.x+b OK Abbruch 0-6 0=6 f(0), de WP (010) 0-4a-0 +6 Für welchen Wert von a hat die Tangente die Steigung m-8? 4a-8 1.4 a=2 Untersumme und Obersumme Um den FE zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse anzunähern, kann man die Fläche unterhalb des Graphen in gleich breite Rechtecke aufteilen. Untersumme: man berechnet insgesamt eine zu kleine Fläche Obersumme: man berechnet insgesamt eine zu große Fläche Der tatsächliche FE muss also zwischen den beiden Werten liegen. Beispiel: Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x² und der x-Achse im Intervall [0; 1]. Ungenauigkeiten in der Berechnung des eigentlichen Flächeninhalts Ungenauigkeiten in der Berechnung des eigentlichen Flächeninhalts Untersumme U₂ Obersumme 0₂ Bei der Berechnung der Untersumme berechnet man insgesamt eine zu kleine Fläche, bei der Berechnung der Obersumme berücksichtigt man eine zu große Fläche. Der tatsächliche Flächeninhalt muss also zwischen beiden Werten liegen. U₂ = 0,25-0² +0,25 (0,25)2 +0,25 (0,5)2 +0,25-(0,75)² = 0,25 [0² + (0,25)² + (0,5)² + (0,75)²] = 0,25-0,875 = 0,21875 0, 0,25 (0,25)2 +0,25 (0,5)2 +0,25 (0,75)2 +0,25-1² = 0,25-[(0,25)² + (0,5)² + (0,75)² + 1] = 0,25-1,875 = 0,46875 Für den gesuchten Flächeninhalt gilt dann: 0,21875 <A <0,46875 DAS INTEGRAL Der Integralbregriff Betrachtet man eine Funktion f im Intervall [a;b], dann versteht man unter dem Integral der Funktion von a bis b die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall [a;b]. Man Schreibt: f(x)dx →b: obere Integralgrenze →a: untere Integralgrenze → S: steht für Summe Berechnung eines Integrals im GTR 1. f(x)=3x² √f(x) dx → 6TR f(x) = 3x² definieer 2. Drücke die rot markierte Taste 9, es öffnet sich ein Menü: & √e f(x) dx = 124 2. nSolve benutzen: √ f(x) dx = 12 $t0,5x² + 4x²-1)dx = 12 -2 3. Wähle das Integralzeichen aus Z₁ = 2,16₁ 7₂ = 3,22 D 网圆脚却想和智行和 → 6TR: F(x) = -0,1x³ + x²-1x definieren n Solve ( 7 (2) - F(-2) = 12, 2) = {2,16} n Solve (F (2) - F(-2) = 12, 7 =5) = { 5₁ 22} ↑ oder irgendeine Zahl, die größer als 2,16 ist Hauptsatz der Integralrechnung Ist f(x) eine stetige Funktion auf dem Intervall [a;b] und F(x) eine beliebige Stammfunktion von f(x), dann gilt: Stammfunktion Eine Funktion F ist Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt: F'(x) = f(x). a) • Zu jeder Funktion f(x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen F(x) → diese unterschieden sich jeweils nur in einer Konstante: F₁(x)=F₂(x)+c Grund dafür sind die Ableitungsregeln: Leitet man eine Stammfunktion ab, so fällt die additive Konstante c weg. Vergleich der Verläufe von f'(x), f(x) und F(x) f'(x) b) fro j C) f(x)dx= F(b)-F(a) d) f(x) Verläuft oberhalb der x-Achse verläuft unterhalb der x-Achse Verläuft oberhalb der x-Achse Streng monoton steigend verläuft unterhalb der x-Achse streng monoton fällt Nullstelle mit VZW Extrempunlet Nullstelle mit VZW Graph von f' 24 Y J -3-2 -3-2-1 -3 -3-2 -2 -34 -1 2 -1- -2 -2 1 -3-2 -3-2 -3-2 Graph von f 3+Y -2 -3+ 34Y 2 1 -1 -34 24 Y 2 1- 0 -1- -2 34y 2 -1- $2 2 steigt fällt F(x) linksgekrümmt (ü) rechtsgekrümmt (6) Extrempunhet möglicher Graph von F -3-2 -10 Ay 2- o N F2 Bildung von Stammfunktionen Hauptregel: f(x) = xn 1 F(x) = •xn+1 (+c) n+1 Weitere Regeln: f(x) = F(x) = xn Beispiele: f(x) F(x) = f(x)= 1 -n + 1 = x-n 3 = = 3·x-4 x4 3 -4+1 •xn+1 == 3 -3x3 6x²-21x 3x² F(x)==-11 = -x-3 X-4+1 = 6x² 21x 3x² 3x² = 2x -4 ·-²/x ²"-²/² x ²³ Faktorregel: f(x) = a.xn F(x) = a n+a m f(x) = √√√xm = xn 1 F(x)= +1 m n f(x) = -5 x6 m •xn+1 = -5.x6 F(x) = - Möglichkeit 2: f(x)=x, F(x) = 1 x ² -xn+1 (+c) 5 -7x7 f (x) = -2/² + 5x =-4x² + 5x F(x) = -1/2 x³ + x² X Schreibweise von Integralen Möglichkeit 1 √x dx = [x²]*' · (1-1²) - ( ¼·0²) · ½ : flux) dx = [F(x)]* - F(₁)-F(0) - 1-0-1 = √√√x = x ²² f(x): F(x) = 0-11-1*² +1 2 Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) F(x) = g(x) + h(x) F(x) = 7 f(x) = ³√x² = x5 1 +1 -x²+1 = 1 = 7 ·x5+1 11/20 સુન 5 12 f(x) = x F(x)=x² Anwendungsaufgaben zur Integralrechnung Wenn eine Funktion f die Änderungsrate angibt, so kann man mithilfe des Integrals die sogenannte Wirkung berechnen, d.h. das, was die Änderungsrate bewirkt. → Wenn man die Einheit der Achsen multipliziert, erhält man die passende Einheit des Integrals und kann damit die Bedeutung des Integrals im Anwendungskontext leicht erkennen. Mittelwert 1 Die Zahl m = baff(x) dx heißt Mittelwert der Funktion f auf [a; b]. Achsen- und Punktsymmetrie bei Integralen 1. Wenn f nur gerade Exponenten hat ist f achsensymmetrisch. {flald+ = fflandr Daher fiet fladdx = 2 Sfaddx f(x) 0 d.h. Berechne das Integral i f(x)dx Lösungsweg f(dx · [F()] F(1,5)-F(-1,5) Flächeninhalt FE zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen Integral berechnen Flächeninhalt zwischen Graph und x- Achse in einem Intervall [a;b] berechnen (Integralgrenzen gegeben) Orientierter eingeschlossener Flächeninhalt 1. MMM NST3 NST4 X₂ 2. Wenn f nur ungerade Exponenten hat ist f punktsymmetrisch. d.h. $flaridx - - S fladde f(x) dx = 0 Daher fiet fluide-0 Eigenschaften des bestimmten Integrals b 2. dx=-fro (x) dx = - -a Berechne den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-1,5; 1,5] einschließt. Lösungsweg: unterhalb dx-Achue NST3 A: Sfidx+ Sfadx + 1 fludx -1,5 NST2 NST3 Tatsächlich eingeschlossener Flächeninhalt, wobei alle FE positiv gezählt werden (daher die Betragsstriche, um den unter der x-Achse eingeschlossenen Flächeninhalt positiv zu berechnen) f(x) dx (Vertauschung der Integrationsgrenzen) Flächeninhalt zwischen Graph und x- Achse berechnen (ohne Angaben eines Intervalls) NST1 3- additivität) NSTZ NST 3 Berechne den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. Lösungsweg unterhalb dx-Achse 2 NST3 NSTZ NSTY A-fldx fialdx fialdx NST1 NST 2 - NST 4 NST3 Tatsächlich eingeschlossener Flächeninhalt, wobei alle FE positiv gezählt werden (daher die Betragsstriche, um den unter der x-Achse eingeschlossenen Flächeninhalt positiv zu berechnen) b 3. fx-f(x) dx=x-fr jk. k-f(x) dx = k·[ f(x) dx, wobei keR (Faktorregel) a 4. √ (f(x) ± g(x)) dx = [ f(x) dx ± √ g(x) dx (Summenregel) b 5. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, wobei a<c<b (Intervall- [ a Eigeschlossenen FE zwischen zwei Graphen berechnen ...ohne Angabe eines Intervalls Berechne den Flächeninhalt, der zwischen den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossen wird. Lösungsweg: → bei Berechnung der einzelnen Flächeninhalte darauf achten, welcher Graph oberhalb des jeweils anderen Graphen liegt. Für f(x) ≥ g(x) für alle x € [a; b] gilt: A = f(f(x) = g(x)) dx Nach der Berechnung der Schnittpunkite Skann man die einzelnen Flächeninhalte berechnen. A₁ = f(f(x) = g(x)) dx A₂ = f(g(x)-f(x)) dx A3 = f(f(x)-g(x)) dx A = A₁ + A₂ + A3 Exponentielles Wachstum Lineares Wachstum: f(x) = m.x+b (Bei gleichem Zuwachs ist der absolute Zuwachs konstant) Anzahl der Seeche Wochen 5 500 1100 1300 EXPONENTIALFUNKTIONEN Eine Funktion f mit f(x) = a · b* mit a‡0, b>0, b‡1 heißt Exponentialfunktion zur Basis b. → a: Anfangsbestand f(0) zum Zeitpunkt x=0 → b: Wachstumsfaktor für Zeitspanne 200 200 ...mit Angabe eines Intervalls [a;b] 200 Berechne den Flächeninhalt, der zwischen den Graphen der Funktionen f und g im Intervall [-1,5; 1,5] eingeschlossen wird. Lösungsweg: → bei Berechnung der einzelnen Flächeninhalte darauf achten, welcher Graph oberhalb des jeweils anderen Graphen liegt. Für f(x) = g(x) für alle x € [a; b] gilt: A = f(f(x) = g(x)) dx Nach der Berechnung der Schnittpunkite Skann man die einzelnen Flächeninhalte berechnen. A₁ = f(f(x) - g(x)) dx A₂ = f(g(x)-f(x)) dx A3 = f(f(x) - g(x)) dx A = A₁ + A₂ + A3 Exponentielles Wachstum: g(x) = a.bx (Bei gleichem Zuwachs ist der relative Zuwachs konstant) Anzahl der Seerosen- Wochen fläche in m² 80 320 Wenn sich bei einem Wachstumsvorgang ein Bestand in gleichen Zeitspannen immer um denselben Faktor b ändert, liegt exponentielles Wachstum vor. → exponentielle Zunahme (b>1) → exponentielle Abnahme (0<b<1) Prozentuales Wachstum als exponentielles Wachstum Zuwachsrate von p% f(t) = a bt mit b = 1 +p% Die Verdopplungszeit ist die Zeitspanne, in der sich ein Anfangswert verdoppelt. (Verdopplungszeit ist unabhängig vom Anfangsbestand) f(t) = a b = 2ab² = 2 (Daher ist t unabhängig von a) Beispiel: ,,Eine Population von 350 Insekten wächst um 24% innerhalb einer Woche." → f(t) = 350 (1 +0,24)t = 350 1,24 mit t in Wochen Wegen 1,24 = 2 → t 3,22 (mit nsolve berechnen) hat sich die Population nach 3 Wochen und 1,5 Tage verdoppelt. Eigenschaften von Exponentialfunktionen Für jede Exponentialfunktion f(x) = a · b* mit x E R und beliebiger positiver Basis b#1 gilt: b>1 0<b<1 P(011) f(x) = bx und g(x) = =* f(x)=0,8 Steigt streng monoton Schmiegt sich dem negativen Teil der x-Achse an (x-Achse ist die Asymptope) → Je größer b>1, desto näher schmiegt sich der Graph an die x-Achse Fällt streng monoton Schmiegt sich dem positiven Teil der x-Achse an Die Ableitung liegt unterhalb der x-Achse Je größer b/je näher b an der 1, desto weiter weg ist er von der x-Achse → Je kleiner b/je näher b an der desto näher schmiegt er sich an die x-Achse Alle Graphen verlaufen durch diesen Punkt und haben nur diesen gemeinsam (f(0) = bº = 1) Beide Graphen gehen durch Spiegelung an der y-Achse auseinander hervor → f(-x) = b¯x = 1/2 = * = g(x) f(x)=0,5 f(x)=0,2 -5 -4 -3 -2 6- f(x)=4 Abnehmrate von p% f(t)= a b mit b = 1-p% Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, in der sich ein Anfangswert halbiert. (Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangsbestand) f(t)= a b = 0,5abt = 0,5 (Daher ist t unabhängig von a) Beispiel: ,,Die Konzentration eines Medikaments im Blut sinkt um 3% pro Std. Anfangs sind 500mg im Blut." → f(t) = 500 (1-0,03) = 500 0,97 mit t in Stunden Wegen 0,97t = 0,5 →t 22,76 (mit nsolve berechnen) befinden sich nach ca. 23 Stunden noch 250mg des Medikaments im Blut. f(x)=3 f(x)=2* Verglichen mit einer beliebigen Funktion f(x) ist: 0,5 f(x) = 1,5-(2)*) ³ f(²9= d (0,5*₁ dx os f(x) = 1,5-()* 3. 2. 4-y- 1- 0 f(x) = 1,5-2x₁ 1,25 f(x) = 1,5-(2)*- g(x) = a. f (x) um den Faltor a gestrecht / gestaucht in in y-R. · 0<a<1 ist g (2) gestaucht • 1<a ist g(x) gestrecht. h(x) = f(x) + C un der Wert c verschober nach oben / unter (<0 ist h(x) nach unten verschober · C>O ist h(x) nach oben verschoten i(x) = f(x-d) un der Wert de verschoben nach rechts / links d<0 ist ; (x) nach linkes verschoten . •d>0 ist i (x) nach rechts veschoten an der X-Achse gespiegelt j(x) = -f(x) ist, ist j(x). U(x) = f(-x) ist 1(x) an der y-Achse gespregelt Transformation von ex -ex → an der x-Achse gespiegelt #Y e-x → an der y-Achse gespiegelt g(x)=0,5-2* g(x) = 2.2* 4 1- h(x)=2x-1 h(x) = 2* +1 1|||||||| i(x) = 2(x+2) i(x) = 2 (x-2) j(x) = -2* k(x) = 2x ((x) = f() liegt keine Transformation vor Die natürliche Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion f(x) = bx mit b=2,71828... nennt man die natürliche Exponentialfunktion. Die Zahl 2,71828 wird mit ,,e" bezeichnet und ,,Euler'sche Zahl" genannt. ((x) = 2 ³ Eigenschaften von f(x) = ex • f(x) = ex, f'(x) = e*, F(x) = ex • eº = 1, e¹ = e • Da f'(x) = ex > 0, ist f streng monoton wachsend • f(x) = ex hat keine HP oder TP, denn f'(x) = 0 hat keine Lösung • Da f'(x) = e* > 0, ist f linksgekrümmt • Für x → ∞ nähern sich die y-Werte der Zahl 0 an ex + 1/ ex-1 → nach oben/unten Beispiel: f(x) = 2* Nett Je=1 gestrecket gar-2:2² 1+ h+2+4 nach links 16) 20 19 gestaucht 26)=0,5-2 0 nach unter AG)-2-4 nach rechts 16)- 24-01 on des de gespiegelt an der y-Achse gespiegelt kl)-2 ex-1/ex+1 → nach rechts/links Ay Keine Transformation (00-21 4- 3. 2- ebx0 < b < 1 →gestaucht (weiter von x-A.) ebx →b>1 → gestreckt (näher an x - A.) 3 2+ f(x)= ex f'(x)=e+ F(x)=e* -1- Lix 0,25 Eigenschaften der Exponentialfunktion f(x) = cekx • Für alle k E R: f(0) = c ● f hat keine Nullstellen • fk(x) = c.ek.x und f-k(x) = c.e-kx spiegeln sich an der y-Achse c> 0 • verläuft oberhalb der x-Achse & schmiegt sich der x-Achse im negativen Teil an c>0; k>0 • streng monoton steigend • lim f(x) = +∞o x→+∞ ● lim f(x) = 0 X4-8 → eln(x) = x In(ex) = x F(x) = de ²* Der natürliche Logarithmus Logarithmus zur natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e* heißt natürlicher Logarithmus In. → exc | In 1 F(x) == k Beispiele: fa). ex f'(x) = 4.e F(x) = 47. e x = ln (c) Ableitung und Stammfunktion beliebiger Exponentialfunktionen • Ableitung ist gestreckt oder gestaucht im Vergleich zur Ausgangsfunktion • Proportionalitätsfaktor ist bei der Ableitung an der Stelle 0 Schreibt man eine beliebige Exponentialfunktion zur Basis e um, dann gilt: f(x) = bx = eln(b).x f'(x) = ln(b) eln(b)x= ln(b). bx f"(x) = ln(b). In(b) eln(b)x= (ln(b))². bx f""(x) = ln(b). ln(b) · ln(b) eln(b)x= (ln(b))³ · b* 1 In (b) Ableitung und Stammfunktion der e-Funktion: f(x) = ek.x f'(x) = k·ek.x ·ek.x 1 eln(b).x = .. bx In (b) f(x)= 90-0,87* =90. In (0,87).x eln C<0 • verläuft unterhalb der x-Achse & schmiegt sich der x-Achse im positiven Teil an c>0; k<0 • streng monoton fallend • lim f(x) = 0 x →+∞0 f'(x)= 90-In (0,87)-0,87* F(x)= 90 -0,87* In (0,87) lim f(x) = +00 x→−8 2e-2x f(x) = x + 4x f'(x) = 1+ In (4). 4* F(x) = 1 x ² + 14* In (4) 6.67 y f(x)-3e²x f'(x) = 6e²x f"(x) = 12e²x F(x) = -2 · 11₁ ·e ²* F(x) = 1/3. e² f(x) = -2e* f'(x) = 2ex f"(x) = -2e-x •2ex 0 -2 ex f(x)=b f2(x)=(f1(x)) dic=2.4 Text 2. 0,5e² gestrecht gestaucht → Man bildet die Ableitung des Exponenten und multipliziert diese mit der ursprünglichen Funktion f(x) Die Logarithmusgesetze a = b loga(b) = x Es gilt: In (e) = 1 und In (1) = 0 Die folgenden Rechengesetze für Logarithmen können bei allen Logarithmen der gleichen Basis angewendet werden. 1. Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. loga (b c) = loga (b) + loga (c) In(b c) = ln(b) + ln(c) 2. Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen des Zählers und des Nenners. loga () = loga (b) - loga (c) In () = ln(b) - In(c) 3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus der Basis und dem Exponenten. loga (b) = c.loga (b) loga (¹√/bc) = loga (bå) = . loga (b) Exponentialgleichungen lösen Exponentenvergleich a) ಠ2x+1 a) = a 2x+1= x-7 2x= x-8 2x-x=8 x = -8 Logarithmieren 6*+2-3-0 (5) وا = (***6) وا 4- ,,Logarithmus von b zur Basis a ist gleich x" X-7 d) 5.2*= 20 (x+2) 19 (6) x 1g (3) x-19 (6)+2·1g(6) x lg (3) x-19 (6) x 1g (5)-2-g(6) x-lg(6)-x-19 (3)=-2-1g (6) x. (15 (6)-19 (5))-2-19 (6) X-2-19 (6) 19(6)-19 (3) X*-5,1699 24-x 4 1912“x) - 19 (4) (4-x)-19(2)= 19 (4) 4-x. 19 (4) 19 (2) 4-19 (4) + x 19 (2) X 19 (4) 19 (2) 2=X log (10) = x | +3* 11g 13. Logarithmungesetz 1-2-1g (6) |-x-1g (3) 1: (1g (6)-19 (5)) X x 1,29 1-1 |-x (1) وا : | |+x 1-19 (4) 1912) 1:5 119 | log-gesetz: log₂ (6²)-c.log₂ (6) 6* = 10 | log Da die Basis jeweils gleich ist, reicht es, die Exponenten zu vergleichen In(b) = c.ln (b) In(ª√b²) = ln (bå) = = . ln (b) X+2 g) 6* ² = 360 | Ptz - gesetz: a*²1. a ²-a² X+1 6*.6²=360 1:6² 6) +82x+1=3*-² +3x+² I Umformung 8² 8¹ 8² 8¹ = 33 3² 3² 3² | Pt-gesetz an. 3².3³.9 8² (1.8) 3¹ (39) 8²= (3¹ (3.9)) (7-8) 8-33 (3.9) (18) (5)* = (4) (4) 1₁ (())*- 19 (() (4)) x-19 () = 1g (( ) (45)) X 1g (165) (g (9) X≈ 0.43.27 el 8.8*16* 1:8⁰ x = log₂ (8) x=3 8 · 16² | Phe-gesett: == ² (2) f) 3².x = 4.5* 8x (3²) * = 4.5* 8. (16) * 9* = 4.5* Ilog (9) 1: (+8) 1-3³ | Plz. gesetz: [19 Ilog-gesetz: log (6").clog, (b) I.() 3x³ = -3 x = ²√1-9 X = -2,08 c) 9:5² = 4 18x=4 log₁8 (4) = x 1.x 1.3 13 x= 2,36 19 (52x-1)= 19 (7) 2x-1-19 (5) 19 (7) 2x-1= 19 (7) (5) وا 2x=19(7)+1 1g (5) x = (13 (3) + 1):2 X * 1,1 | log h) ³ x ² = - 3x^² | Pt-gesetz: a" - an i) 3,5¹-*. 3,5² 1-X x² = -3./ 3,51-x+2x 3,5¹ -1-x+2x وا | Ptz. gesetz: a 1:5* | 19 | log-gesetz: log₂ (6²). c-loga (6) 1:1g(s) | +1 1:2 amn= (am)n - 100 = 100 = 100 3,51** 100 3,51 3,5*= 100 1:3,5 3,5*2857141109 x = 2,67601 Mit In al e²=7 In (e²x)= In (7) 2x = In (7) x = In (7):2 xx0,97 Beispiele für Textaufgaben Wachstumsfaktor gesucht: | In 1:2 50.0,6*-500,1 50-0,6 = 5 0,6* = 0,1 b) e-10 In le*)= In (10) 50. a: 10,8 1:50 → Der Falitor a³ beschreibt die Veränderung in 3 Stol a³ = 0,216 a = √0,216 a = 0,6 →f(x)-50-0,6* (x in Stunden und f(x) in Mio.). Zeitraum gesucht: g(x) = 50-0,6* (x in h) wird auf ein Zehntel reduziet. (x ist gesucht) T(-)-0,5e-1x² 1:50 1-0,5e -X=In (10) 1:(-1) x = In (10):-1 xx-2,3 Wenn exponentielles Wachstum vorliegt, dann reicht es aus, zwei Bestände und zwei Zeitpunkte zu kennen, um daraus den Wachstumsfaktor a sowie die Funktionsgleichung zu bestimmen. Mit P(0150) und Q (8110,8) sind der Anfangsbestand 50 und der Bestand 10,8 (jeweils in Mio.) nach 3 Stel beleannt. In x = logo (0,1) Xx4,51 →Nach ca. 4,5 Std. hat sich der Bestand um ein Zehntel reduziert. Flächenberechnung mit Integralen (Inhalt der Fläche zwischen Tangente und y-Achse) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5 e²+x²-2x+1 Der Graph: f(x)-0,5-e²+x²–2x+1 f(x)-0.5.²+2x-2 F(x)-05e²+ 1x²³x²+x fl1)-0,5-e²+ 1².2.1+1=0,5€ → P(110,5e) (11)-0,5-e²+2·1·2·0,5e-m +(x).m.x+b 0,5e-05e-1+6 0-6 Hinh sex -0,5e-1-Qase -0,25e- Starde - Stunde [05 €²+38²-2²]; [0.50-14][ - [(056 +41³-4-1)-(05-c)] - [(ose 1-4)-(0,56 10)] (05e-1-05)-(025e) c) e* = 1 е In(e) = In (²) x = In (e^^) x = -1 |In ful-0,56** f(x)= -0.54 ex Tangentengleichung berechnen: f(x) = 0,5 e ² + x² - 2x + 1 ; P(1|f(1)) F'(x)= 0,5e²+ 2x-2 f(1)-0,5-e¹+2·1-2-0,5e +(x)= m.x+b 0,Se= 0,5e-1+b 0=6 →+(x) = 0,sex 1-0,se -2-0,54 4.4 d) e²* = 5 Tangenten in einem bestimmten Punkt und Parameter berechnen. flo)-0.5.4.0.0.5 →y-Koordinate f'(0) - - 0,5u-e40 -0.54 m Tangentengleichung zum Parameter le im Punkt (010,5): +(x). Mix+b 0,5--054-0+b 0.5.6 →+(x) = -0,54 x +0,5 Tangente soll durch P(11-1) gehen. In (e²*)-In (5) +(x).mx+b -· -0.54·1·0,5 1-0,5 (nach uauflösen) 1:(-95) Tangentengleichung für 4-4 +x)-054.x+0,5 --054x-05 →+(x)-2x+Q5 2x = In (5) X = In (s) 2 X=0,805 An den Graphen der Funktion f mit fla)- 05.ex soll an der Stelle x-0 eine Tangente gelegt werden, die durch den Punkt P(11-1) geht. Bestimmen Sie dafür den Parameter le und die bleichung der Tangente. | In 1:2 ↳f(1) = 0,5. e² + 1²-2·1=0,5.e ZUSAMMENGESETZE FUNKTIONEN Zwei Funktionen u(x) und v(x) könne zusammengesetzt eine neue Funktion bilden. Dabei unterscheidet man eine Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von u und v. Summe: f(x) = u(x) + v(x) ● Für die Ableitung gilt die Summenregel: f'(x) = u'(x) + v'(x) • Summe von Funktionen f(x) = u(x) − v(x) Summenregel Zusammengesetze Funktionen, die aus einer Summe oder einer Differenz zwei Funktionen ergeben, kann man mit der Summenregel ableiten: Summe von Funktionen f(x) = u(x) +v(x) Beispiel: f(x)-e²x+x Für die Ableitung gilt die Summenregel: f'(x) = u'(x) — v'(x) ulx) - e²* u(x) = 2e² V(x)= x V'(x) = 1 Differenz: Verkettung: f(x) = u(x)-v(x) f(x) = u(v(x)) f'(x)= 2e²+1 • Verkettung von Funktionen f(x) = u(v(x)) → Kettenregel Verkettete Funktionen leitet man mit der Kettenregel ab. Die einfachste Form der Verkettung: f(x) = ax = eln(a).x bzw. f(x) = ek⋅x Für die Ableitung gilt die Kettenregel: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) äußere Ableitung" mal ,,innere Ableitung" Beispiele: a) f(x)=(5-3x)4 Außere Funktion: 4(x)=x² Innere Function: v(x) = 5-3x f'(x)= u(v(x))- V'(x) = 4(5-3x)³(-3) = -12 (5-3x)³ Merkregel: (uv)' = u'v + uv' Beispiele: a) f(x) = (x²-1). e* u(x)=x²-1 v(x) = ex u'(x) = 2x v'(x)=e* f'(x) = u(x). v(x) + u(x). V'(x) = 2x. e*+ (x²-1)-et Produkt: f(x) = u(x). v(x) u'(x) = 4x³ v'(x) = -3 = e*. (2x + x²-1) = (x²+2x-1). e* b) f(x)=e³x Äußere F.: u(x)=e* u²(x)=e* Innere F.: V(x) = 3x √(x) = 5 f'(x)= v'(x) · u' (v(x)) -3. est Produktregel Sind die Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion f(x) = u(x) v(x) differenzierbar und es gilt: f(x) = u(x). v(x) f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) b) f(x) = (x²-x). e* u(x)=x²-x v(x) = ex f'(x) = u(x)-v(x) + u(x).V'(x) =(2x-1). e*+ (x²-x). - ex u(x)=2x-1 V'(x) = - ex Quotient: f(x) = = (2x-1). e*+(-x² + x) ·e·* = (-x² + 3x-1).ex u(x) v(x) c) f(x)=(1-2x). e²x u(x)=1-2x v(x) = (²x (v = 0) u(x) = -2 v'(x) = 2e²x f'(x) = u²(x). v(x) + U(X)⋅ V'(x) = -2-e²+ (1-2x) 2e²* = -2-e²x + (2-4x)-e²x = (-4x). e²x Produkt- und Kettenregel anwenden: a) f(x)= (x²-3x+5)-e²* → Produlitregel u(x)=x²-3x +5 v(x) = (²x = f'(x) = u(x) · v(x) + u(x). V'(x) = (2x-3). e²+ (x²-3x+5). 2e²x = (2x-3) ²*+ (2x²-6x +10) ² (2x-3+2x²-6x+10). e²x = (2x² - 4x + 7). e²x Geraden und Strecken Strecke: Gerade Linie mit Anfangs- & Endpunkt Gerade: unendlich lang Parallel zueinander: g II i Nicht parallel: g#f Abstand Lagebeziehungen von Geraden und Strecken Orthogonal zueinander: g 1 h Nicht orthogonal: gi u'(x)=2x-3 V'(x) = 2e²x Lo Kettenregel: f(x) = ²x Raute Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zweier paralleler Geraden Trapez u(x)=e* u(x)=e* v(x)=2x v'(x)=2 f'(x)= v'(x). u' (v(x)) = 2e²x Die Länge der kürzesten Verbindungslinie ist der Abstand zweier Punkte. Abstand zweier Punkte 。 Quadrat Rechteck Satz des Pythagoras Sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse, dann gilt: |a² = b² + c² gleichmäßiger Drache Parallelogramm gleichmäßiges Trapez GERADEN A x------x B = AB allgemeines Viereck ---x--- -X---- 42 2² BESONDERE VIERECKE UND IHRE EIGENSCHAFTEN Haus der Vierecke Ein Viereck in einem höheren Stockwerk hat mehr besondere Eigenschaften als die Vierecke in den niedrigeren Etagen. 02 Ist ein Viereck über einem (oder mehreren) anderen, so hat es alle Eigenschaften von seinen unteren Nachbarn und noch mehr. Vierecke, Dreiecke, Formeln D 1X8 A D 45 a Diagonalen a C Hypotenuse a 6 (Gleichschenklig) Kathete B B (Gleichseitig) Quadrat 4 Ecken, Alle Seiten gleich lang, AB, BC, CD, DA 4 rechte Winkel Diagonalen schneiden sich in der Mitte Diagonalen orthogonal zueinander Diagonalen gleich lang Winkelsumme 360° Rechteck - 4 Ecken, 4 Seiten, AB, BC, CD, DA Gegenüberliegende Seiten gleich lang AB || CD, AD || BC 4 rechte Winkel Diagonalen schneiden sich in der Mitte Diagonalen gleich lang - Winkelsumme 360° Raute 4 Ecken, 4 Seiten, AB, BC, CD, DA AB || CD, AD || BC Diagonalen schneiden sich in der Mitte Diagonalen sind orthogonal zueinander Winkelsumme 360° Parallelogramm 4 Ecken, 4 Seiten Gegenüberliegende Seiten gleich lang AB, BC, CD, DA AB || CD, AD || BC (zwei Stumpfe, zwei spitze Winkel) Winkelsumme 360° Trapez 4 Ecken, 4 eiten, AB, BC, CD, DA (zwei stumpfe, zwei spitze Winkel) Mind. 2 Seiten parallel zueinander Dreieck Gleichschenkliges: zwei Seiten gleich lang Gleichseitiges: alle Seiten gleich lang Rechtwinkliges Dreieck Gegenüber der Hypotenuse liegt der rechte Winkel - An dem betrachtenden Winkel: Ankathete Gegenüber dem betrachtenden Winkel: Gegenkathete A₂ = a² U = 4.a AR = a b U = 4.a 1 Ar = ·e·f (e und f sind die Diagonalen) U = a +a+a+a Ap = g.h AT = (30 U = a + b + a +b 6 B (a + c) 2 a Kathahe ..h A U = a +b+c+d (2) m Ap=gh (g kann jede Seite sein) A C U = a + b + c 1 Arp=·a·b 2 Kathebe a Mypother use U = a + b + c Mathematische Körper und ihre Eigenschaften Würfel 4₂ A 4x₂/0 JAKK - 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen (Quadrate) Alle Kanten gleich lang, orthogonal und parallel Ecken jeweils gegenüber voneinander ● Quader - 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen (Rechtecke) Jeweils 2 Rechtecke gleich groß, parallel und deckungsgleich (kongruent) Jeweils 4 Kanten gleich lang und parallel Quadratische Pyramide 5 Ecken, 8 Kanten, 5 Flächen (4) gleichschenklige Dreiecke, 1 Quadrat) - 4 Kanten der Grundfläche gleich lang, gegenüberliegende Kanten parallel zueinander 4 Seitenflächenkanten gleich lang 4 Seitenflächen gleich groß Dreiseitige Pyramide 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Flächen (Dreiecke) 2 Seitenflächenkanten gleich lang 2 Seitenflächen gleich groß Dreiseitiges Prisma - 6 Ecken, 9 Kanten, 5 Flächen (2 Dreiecke, 3 Rechtecke) 2 Dreiecke sind deckungsgleich - 3 Seitenflächenkanten sind gleich lang 0= 6.a² V = a ·a·a=a³ X1-Achse schräg nach vorne X2-Achse nach rechts X3-Achse nach oben X₁ und x₂ bilden Winkel von 135° X2 und x3: 2 Kästchen pro Einheit X1: 1 Kästchendiagonale je Einheit 0 = 2 (ab+ac+bc) V=a.b.c KARTESISCHE KOORDINATENSYSTEME IM RAUM → Besteht aus 3 Koordinatenachsen, die paarweise aufeinander senkrecht stehen und gleich lange Einheitsstrecken haben. → Lage eines Punktes im Raum: (x₁1x₂1x3) / (xlylz) 1 0= a.a+4··a·hs) = Grundfläche + Mantelfläche (hs-Höhe des Seitendreiecks) V = a².hpyramide =1/3. 1. Grundfläche. Höhe V = 13. g. heyramide Ein Vektor beschreibt eine Bewegung o. Verschiebung im Raum. • Grafisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt. • Die Bewegung lässt sich mit Hilfe des Startpunkts und des Zielpunkts beschreiben: • Vektor, der eine Bewegung vom Ursprung (01010) zu einem Punkt beschreibt, nennt man Ortsvektor und bezeichnet ihn z. B. mit OA Der Vektor AB beschreibt eine Bewegung vom Punkt A zum Punkt B Für den Ortsvektor zu einem Punkt A (a₁la₂la3) gilt: Formeln Abstände von Punkten im Raum (3D) Vektor AB berechnen: ● ● Vektoren addieren: Vektor mit einer Zahl multiplizieren: Linearkombination von Vektoren: Mittelpunkt berechnen Geradengleichung VEKTOREN, GERADEN, LAGEBEZIEHUNGEN Aufstellen verschiedener im R³ AB= (b₁ − α₁)² + (b₂ − a2)² + (b3 − α3)² /b₁-a₁) AB=b₂-a₂ b3-a3 a+b=a₂ + b₂ r.ar.az a₁ ·()-(3) = A(51(2) v=r.a+s.br [C] (41314) =a₂ + b₂ a3 + b3 в Geradengleichungen für eine Gerade 'а₁' OA = 9₂ az, M = OA +1 AC 2.a Stützvektor (Ortavektor des Startpunktes) (r.a₁ +s⋅b₁ (3) + ( )= (-+) +s b3 ra3 +sb3/ oder: MAB Geradengleichungen in R³ x = OP + r. u x = p +r.u -2 -1 Grafisch entspricht das einer Aneinanderreihung der beiden Vektorpfeile a₁tb₁ / a₁ + b₂ / a+b₂) + Geometrisch entspricht das einer r-fachen Aneinanderreihung des Pfeils. Geradengleichungen in R² y = m.x+b y=b+x.m 14 0 1 Parameter (Zeit) Gegeben sind die beiden Punkte A(a₂la₂laz) und B(b₁|b₂|b3). * = Stützvektor +r. Richtungsvektor x=0A+r AB * = OB+r. AB * = OA+r. BA x=0A+r.2. BA Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl, dem sogenannten Linearfaktor, multipliziert wird. Das Ergebnis einer Linearkombination ist wieder ein Vektor. OA A Richtungsvektor y-Achsenabschnitt Steigung (Bewegung) x-Wert 1 /2 → Es gibt unendlich viele Geradengleichungen, die die gleiche Gerade beschreiben. AB Als Stützvektor kann jeder Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden verwendet werden. Als Richtungsvektor kann jedes beliebiges Vielfaches von AB genutzt werden B Punkt auf einer Geraden berechnen Punktprobe Liegt ein Punkt A auf der Geraden g? Gegegeben sind zwei beraden X₁ (-)--(~) →LGS Wenn für alles einheitliche Lösung, dann liegt der Punkt auf der berade. Ja Geraden und h Sind identisch. unendlich viele gemeinsame Punlite Liegt der Punkt p mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h? (Punktprobe) (-)-(-)-() •Richtungsvelitoren in gleiche Richtung oder vielfache" voneinander ·Der Punkt des Stützvektors. der einen Gerade muss auf der anderen Gerade begen Nein Setze für r nacheinander beliebige Werte ein. Alle berechneten Vektoren sind Ortsvektoren zu Punkten, die auf der Geraden liegen. x=p+1.u x=p+2.u x = p + (-5). u Setze für den Ortsvektor zum angegebenen Punkt ein: OA=p+r.u → LGS a₁ = P₁ + r. u a₂ = P₂ + r. Uz a3 = P3 +r. Uz Löse jede Zeile nach r auf. X J p+rū • * . (¯ ). - (-) g. X a₁ = P₁ + r. u a₂ = P₂ +ru₂ a3 = P3 +r. Uz Sind die Richtungsvektoren Wenn für r eine einheitliche Lösung existiert, liegt der Punkt A auf der Geraden g. Lage von Geraden X₂ ²4²X₂ Geraden gund h Sind parallel. ·Keine gemeinsamen Punkte •Richtungsvelitoren in gleiche Richtung oder vielfache" von einander a₁-P₁ = r 241 a₂-P₂ 14₂ as Pr 163 und h: x. +3.v *-.*- (-:-) + + - (3) h. x Vielfache voneinander? → Wenn 4's glev ja →Wenn l's unterschiedlich nein Nein u k? ki? ·Stützveltoren müssen Verschieden sein, der Punkt des Stützveltors der einen Gerade darf nicht auf der ander liegen. Hat die Gleichung p+r. = 9² + 5. V line (g und h gleichsetzen) (-)))) r →LGS Setze dösung for & in die Gleichung für h oder ting und Man erhält Ortsvelitor. In den Purlit schneiden sich de Geraden ✓Ja Geraden gund h Schneiden sich. Nein ·lin gemeinsamer Punket Richtungsvelitoren sind unterschiedlich und line Vielfachen voneinander ·Stützveltor wenn SP sen. Lösung? Geraden gund h Sind zueinander wiendschief • keine Punkte gemeinsamen · Richtungsveltoren sind unterschiedlich und were Vielfachen voneinander verschiedene Stützpunute