Ableitungsregeln

Potenz- und Faktorregel

Die wichtigsten Werkzeuge, um eine Funktion abzuleiten.

• Potenzregel: Bei $f(x) = x^n$ wird der Exponent vorgeschrieben: $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$
• Konstantenregel: Konstanten ohne Variable fallen weg: $f(x) = 5 \Rightarrow f'(x) = 0$
• Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt erhalten: $f(x) = c \cdot g(x) \Rightarrow f'(x) = c \cdot g'(x)$

Ketten- und Produktregel

Für zusammengesetzte und multiplizierte Funktionen.

• Produktregel: $f(x) = u(x) \cdot v(x) \Rightarrow f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
• Kettenregel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

Beispiel Kettenregel: $f(x) = (2x+1)^3$ $f'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$

💡 Tipp: Vergiss bei der Kettenregel niemals das Nachdifferenzieren der inneren Funktion.

Kurvendiskussion

Extrema und Wendepunkte

Wie du charakteristische Punkte eines Graphen berechnest.

• Hochpunkt (HP): Notwendig ist $f'(x) = 0$, hinreichend $f''(x) < 0$
• Tiefpunkt (TP): Notwendig ist $f'(x) = 0$, hinreichend $f''(x) > 0$
• Wendepunkt (WP): Notwendig ist $f''(x) = 0$, hinreichend $f'''(x) \neq 0$

Symmetrie und Änderungsrate

• Achsensymmetrie: Liegt vor bei $f(x) = f(-x)$ (nur gerade Exponenten)
• Punktsymmetrie: Liegt vor bei $f(-x) = -f(x)$ (nur ungerade Exponenten)
• Differenzquotient: Berechnet die mittlere Änderungsrate (Sekantensteigung) via $m = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Beispiel Differenzquotient: $f(x) = x^2$ auf $[1; 3]$ $m = \frac{3^2 - 1^2}{3-1} = \frac{8}{2} = 4$

💡 Tipp: Wenn die zweite Ableitung an einer Extremstelle null ist, hilft das Vorzeichenwechselkriterium der ersten Ableitung weiter.

Graphisches Ableiten & Funktionen

Graphisches Ableiten

So skizzierst du die Ableitung direkt aus dem Funktionsgraphen.

• Extrempunkte des Graphen werden zu Nullstellen der Ableitung
• Wendepunkte des Graphen werden zu Extrempunkten der Ableitung
• Steigende Bereiche des Graphen liegen in der Ableitung über der x-Achse

Definitions- und Wertebereich

• Definitionsbereich: Alle erlaubten x-Werte; Achtung bei Brüchen (Nenner darf nicht $0$ sein) und Wurzeln (Radikand $\ge 0$)
• Wertebereich: Alle möglichen y-Werte, die die Funktion annehmen kann

💡 Tipp: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null im ursprünglichen Graphen.

Funktionsuntersuchung & Prozentrechnen

Nullstellen und Monotonie

• Nullstellen: Ansatz $f(x) = 0$; lösbar durch Ausklammern, Substitution oder pq-Formel
• Monotonie: Ist $f'(x) > 0$ auf einem Intervall, steigt der Graph dort streng monoton

Prozentrechnung Basics

• Formeln: Prozentwert $Pw = \frac{p \cdot Gw}{100}$ und Grundwert $Gw = \frac{Pw \cdot 100}{p}$

Beispiel pq-Formel: $x^2 + 4x + 3 = 0$ $x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4-3} \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = -3$

💡 Tipp: Klammere bei Funktionen ohne absolutes Glied immer zuerst $x$ aus, um die erste Nullstelle $x=0$ direkt zu finden.

Einführung Integralrechnung

Änderungsrate und Flächen

• Bestand: Die Ableitung des Bestands ist die Änderungsrate; die Änderung des Bestands entspricht dem Flächeninhalt unter der Änderungsrate
• Flächenbilanz: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb zählen negativ

Annäherung durch Rechtecke

• Untersumme: Annäherung der Fläche von unten mit den minimalen Funktionswerten als Rechteckshöhen
• Obersumme: Annäherung von oben mit den maximalen Funktionswerten als Höhen

💡 Tipp: Der orientierte Flächeninhalt (Flächenbilanz) ist nicht immer gleich dem tatsächlichen geometrischen Flächeninhalt.

Das Integral & Hauptsatz

Stammfunktion & Integral

• Stammfunktion: $F(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$, wenn $F'(x) = f(x)$ gilt
• Hauptsatz: Ein bestimmtes Integral berechnest du über $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
• Integrationsregel: Für Potenzfunktionen gilt $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$

Beispiel Integralberechnung: $\int_{1}^{2} 3x^2 \, dx = [x^3]_1^2$ $2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$

💡 Tipp: Vergiss beim unbestimmten Integral niemals die Integrationskonstante $+ C$.

Flächenberechnung & e-Funktion

Flächenberechnung

• Fläche zur x-Achse: Nullstellen berechnen und Intervalle einzeln integrieren (Beträge addieren)
• Fläche zwischen Graphen: Differenzfunktion $h(x) = f(x) - g(x)$ bilden und zwischen den Schnittpunkten integrieren

Verhalten der e-Funktion

• Grenzwerte: $e^x$ strebt für $x \to \infty$ gegen $\infty$, für $x \to -\infty$ geht $e^x$ gegen $0$

Beispiel Differenzfunktion: $f(x) = x^2 + 1$, $g(x) = x$ $h(x) = x^2 - x + 1$

💡 Tipp: Integrierst du über Nullstellen hinweg ohne Aufteilung, heben sich positive und negative Flächen gegenseitig auf.

Rechnen mit e-Funktionen

Gleichungen mit $e$-Termen lösen

• Nullstellen: Ein Produkt wie $(x-1)e^{-x} = 0$ wird null, wenn der Polynomteil null wird ($x=1$), da $e^{-x}$ niemals null ist
• Gleichsetzen: Löse $e$-Gleichungen durch Isolieren des $e$-Terms und anschließendes Anwenden des natürlichen Logarithmus ($\ln$)

Beispiel Nullstelle: $e^{2x} - 5 = 0 \Rightarrow e^{2x} = 5$ $2x = \ln(5) \Rightarrow x = 0,5 \cdot \ln(5)$

💡 Tipp: Der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion, weshalb gilt: $\ln(e^x) = x$.

Spezielle Integrationstechniken

Lineare Substitution

• Regel: Bei linear verketteten Funktionen gilt $\int f(mx+b) \, dx = \frac{1}{m} \cdot F(mx+b) + C$

Formansatz für Stammfunktionen

• Methode: Wähle für $f(x) = (ax+b)e^{kx}$ den Ansatz $F(x) = (cx+d)e^{kx}$, leite $F(x)$ mit der Produktregel ab und bestimme die Parameter über einen Koeffizientenvergleich

Beispiel Lineare Substitution: $f(x) = e^{2x+1}$ $F(x) = \frac{1}{2} e^{2x+1} + C$

💡 Tipp: Die lineare Substitution funktioniert ausschließlich, wenn die innere Funktion eine Gerade ($mx+b$) ist.