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Mathe Vektoren Zusammenfassung
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Eine sehr ausführliche Zusammenfassung zu Vektoren - Was sind Vektoren? - Schreibweise - besondere Vektoren - Mittelpunkt einer Strecke - Einheitsvektor - Lineare (Un-) Abhängigkeit - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Winkel Und noch mehr...
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VEKTOREN Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen in der Ebene lim Raum, die alle: ▷ gleich lang, ▷ gleich gerichtet .D. parallel zueinander sind Definition Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt Repräsentant. Durch einen vektor wird eine verschiebung in der Ebenelim Raum beschrieben Schreibweise in der Ebene: → = ( x ) im Raum: ((*) PQ H ха-хр YQ - YP za - zp besondere vektoren = Null vektor o (8) Gegenvektor = (?) und -> 158 K Ortsvektor Op = 12. BRUNNEN 3-0. P + - (₁²-²) +- (²4) 2.-0. 2. --~^) Betrag eines vektors Der Betrag eines vektors gibt dessen Länge an Für den Betrag eines vektors gilt: Mittelpunkt einer Strecke. P₁(X₁²₁ 12₁) P₂ ( x ₂1 x ₂ 12₂) OM= 1 (OP₁ + OP ₂ ) P (312) Î Punkt koordinaten (Punkt im Kaum.) 12²1 = √√₂² Tvx² + xy² + V₂ ² M ( x₁ + x² | V₁ + V₂ | ²₁ +²₂) **-(²2) ↑ Vektorkoordinaten (Menge von Vektoren im Raum). - ra ist parallel zu a - r>0 => ra² hat die r-fache Länge von a ra und a haben die selbe Richtung -r<o >> ra² = b Eigenschaften / geometrische Bedeutung lal 1 Erzeugen eines. Einheits vektors vektoren mit der Länge 1 / dem Betrag 1. nennen wir Enheilsvektor. Bsp: a (4) 14² +1² +4²² 133 B 151. To ra hat die entgegengesettle Richtung an a ra hat die 1-fache Länge von a 33 1 I Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Vektoren heißen voneinander linear abhängig, wenn mind, einer eine Linear kombination der. übrigen vektoren ist... ist... vektoren beißen linear unabhängig,...
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wenn keiner der vektoren eine Linearkcombination der übrigen Skalar produkt A ² = OA 1 Der vektor b6 hat den Betrag 1 und die. gleiche Richtung wie der Vektor a. S.d.P B b=0B => AB = 12² 1² +161²-16-ål² 0 = axbx tay by + a₂b₂ +b ta Unter einem Skalarprodukt Zweler Vektoren versteht man die reele Zahl axbx tay by tazbz. Bezeichnung ar 9 ä. b. Orthogonalitätskriterium für Vektoren 2 Vektoren und mitu 40 und to sind gchau dann zueinander. orthogonal, wenn ihr. Skalarprodukt den wert. I hat." Für 2 Vektoren u #0 und ✓ #0 gilt also: +✓ genau dann, wenn 17.=0 Winkel zwischen zwei Vektores 13 v.cosd Also ist = (cond) 7 sind Skalarprodukt . *. V-Cosd Paw -(") + (v (052) * 3₁² = 10²1121. cosd axb² = c で 192b3-a3b₂ axb² = 936₁-a₁b3 beliebige Vektoren: ū (0) → () 코 40 азы алоз алыг razbi Casa (2²+2 und 2+b) Länge von 2 = 121 = 1 @² xb) = lal·lbl sin (d) 2.2. TWIT a Vektorprodukt Kreuzprodukt → Verknüpfung zweier vektoren, dessen Ergebnis ein vektor ist, welcher senkrecht auf beide vektoren steht => Trick zur Berechung des Kreuzproduktes Methode: Bsp. - (³), B. = 1. Beide vektoren zweimal untereinander schreiben Sind= cas. d = V/X 4 1 1 2 1 2 2 4 ^. 2 A → vy .= sind.v → VX = Cos d. v. . 2. oberste und unterste Zeile wegstreichen 3. 2. mit 3. Zeile verrechnen 3. mit 4. Zeile verrechnen 4. mit 5. Zeile verrechnen BRUNNEN →immer: (links oben rechts unten) - (links unten rechts oben) (2-1)-(1.4) → (1:2) - (1.1) (1-4)-(2-2) A=121-1a1-151-sind) L = Winkel den. 171-V a und Baufspannen 12-4 2-1 4-4 1-2. = ² さ Spat produkt. → Skalarprodukt aus dem kreuzprodukt. Zweier Vektoren und einem dritten vektor → client zur Berechnung des Volumens axb) 2 = reele Zahl c • axb).c axb² 1a₂b3-a3b₂\ azb₁-a₁b3 lanb₂-a₂b₁ Beispiel: a² = ( ₁ ) , b = ( ₁ ) ₁ - cả xổ 1 3 1 2 1. (₁ = 11.2 : -- (2₂) 11:3-1-1 -1.3 1.2 -6) (9) = A: Das Volumen des Quaders beträgt 14 V.E. Skalarprodukt ·=·2·.6.+ (-1)⋅0. + (-1)-(-2) . = 12 +0+2₁ = 14.VE Rechengesetze für vektoren. Für alle. Vektoren. a, b und 2 und alle risEIR gilt:. ta Kommutativgesetz: a +b = b + a² Assoziativgesetz (a+b) + c = a + b + c). r·s.a²) = a • -1 (r.s) Krenzprodukt Distributivgesetz r. (a²tb)=ratrb (r+s) a² = ra² + sä VE Volumeneinheiten (Einheit, wenn keine Einheit. z.Bsp.m gegeben is!) - Volumen berechnen Quader: V = a:b.c F -Würfel: V = a.6.c. và xb 2 x L 3 a³ = a ²³. 3 Vla²³1²³-121²³ - Pyramide: V = AG⋅h. = AG = Grundfläche. v = (²x²).2² = (x)2 a A a D a S Tu C
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