Mathe Zusammenfassung (Abi)

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sind nicht enthalten. M: XER: 1 < x < 2 Beide Intervallgrenzen sind enthalten. M: XER: A≤x≤2 26=2·2·2·2·2·2 = 64 Regeln : 1. nicht (runde Klammer). M: XER: x ≤ 1 - hier steht nichts a = 1 a = a a. Muuiplizieren = POTENZEN ! bsp: 2x² 3x² + 3. Dividieren = bsp: Beispiele 4. Potenaieren = (x²) 4 = x ².4 5. Brüche = x= 1; 2; 3; 4;... ...-2;-1; 0; 1; 2; 3; ... 1;-2; 3; 0,3; 2,56 Eine Grenze (mit eckiger Klammer) ist im Intervall enthalten und die andere (mit runder Klammer) nicht. MIXER: 12 x ≤ 2 2x² 3x² = ²/3 x²x² = ¾/3 x ³-5 = ²/3 x ² √3; T Mindestens eine der beiden Intervallgrenzen ist Unendlich. Weil Unendlich keine reelle Zahl ist, steht dort immer eine runde Klammer. Eine Intervallgrenze, die nicht Unendlich ist, kann entweder im Intervall enthalten sein (dann steht dort eine eckige Klammer) oder 1;-2; ; √3; ; 0,3; 2,56 Beispiele auper a= 0 2₁ = 2 (1,2) [1,2] (1,2] [1,2) (1,00) [1,00) (-∞0,2) (-∞0, 2] x²x² = x6+2 = x² — addieren x³ · y² = (x・y) ³ 2-3 x²x₁ = 6 x Kommutativgesetz Basis (2) hochzane (6) ; * * * * * = x x^ = ^/x 6. Wurzeln= -multiplizieren subtrahieren ohne hochzahl im Nenner √x.√y=√x.y √√√√√√ = 7. doppel wurzel = √√√ SEKANTE LOCUTE TAGENTE بلا X schneidet den Graph an zwei Punkten > berunt den Graphen in 1. Punkt – GERADEN g(x) = mx + b₁ Schnittstelle y achse } 1. Steigung m= höhe: distant = hid = h/d Gleichung aufstellen aus 2. Punkten : m= 2. 2. x und y in die Gleichung einseten bsp: 1 4² - y₁ X2- X₁ PC 211) & QC 5113) 13-1 5-2 12 = 4 = 4 3 1 1 = 4.2 + b 1 1=8+ b -7= b NULLSTELLEN ) 1 = x Schnittpunkt (s) = S(110) links = x Analysis 5 = b Bsp y = 2/₁ x-2 y=2x-2 0=2x-2 1+2 hohe auf Nuu setzen = 2x 1:2 3 - (₁) 4 2.3=2G-₁) + b 3= 2 + b 1-0,5 bsp: AC-113); B (31-5) 4.-5-3 = -8 lineare / quadratische Funktion y = o bei linearen Funktionen y rechts immer o O-Produktregel (Ausklammern) f(x) = 4x² +28x = 0 f(x)= x (4x + 28) = 0 x=02 1. Nullstelle b Quadratische Funktionen, kann 1, 2 oder 0 haben x Ausklammern 2. Nullstelle: 4x + 28 = 0 1-28 4x = -281. 4 x = -7 geht nur wenn x²/x enthalten sind nicht noch zusätzlich eine Zahl (3x²-7x + 4) x m>o Gerade steigt m²o Gerade sinkt mo Gerade senktrecht ==2=-2 1 PQ-Formel 1. Funktion = 0 2. Rosen Bsp. PQ Formel Bsp: f(x) = 2x² + 20 x - 18 = 0 x² + P +9 3. x² darf keine zahl 4. x = -²/₂ ± √(P/₂)² - g ± √(as)-(-9) Bsp: x=-5 tv x = -5 +/-√34 2² - 22 + 1 = 0 मिन Substitution C Biquadratische Gleichung)__ f(x)= x-2x² + 1 = 0 z = x², 2²³ = x4 24,2 = 1 + 2₁ = 1+0=1 alles auf eine Seite 22= 1-0 =1 muss gegebe sein vor haben; Bsp: geteilt : 2 (pq - Formel) ^=x²³² 15 ] 2=^ $√^²=X X₁ = 1 X2= -1 DIFFERENTIALRECHNUNG Extremsteuen berechnen 1. Funktion ableiten f'(x) a. Notwendige Bediengung f'(x)=0 3. Nuustellen der 1. Ableitung 4. Hinreichende Bedingung f" (x) = 0 5. Minimum & Maximum in f"(x) einsetzen 6. Nullstellen der 2. Ableitung f" (xo) <0 = Hochpunkt f" (xo) > 0 = Tiefpunkt f" (x) 0 = Wendepunkt PARABELN often oben y = ax² + bx + c y = x² + bx + c P(218) einsetzen I 8 = 4 + 2b + c 1-4 II 20 3²+ 3b + c 1-9 Q (3120) 4= 2b + c 1:2 11 = 3b+c A. Punkte einsetzen , 2. Gleichungen, 3. lineares y = x² positiv SC010) offen unten negativ scolo) 5. SC 5; 7); links Bsp: f(x) = 2/3x²³ + 3. x² + 4x f'(x) = 2x² + 6x + 4 "Cx) = 4x+6 rechts Gleichungssystem verschoben VV y=(x + y)² y= (x-4)² positiv negativ S(-410) S (410) SCHEITELFORM Von Normalform ( Quadratische Ergänzung) f(x) = x² + bx + C a to bsp: x= x² - 10x + 7 (102)² = 25; (p : 2) ² 1. 2. (x - 5)²; p halbieren und in die klammer Notwendige Bedingung. 0= 2x² + 6x + 4 1:2 0= x² + 3x + 2 X ₁,2 = − P/₂2 ± √(²/₂)²- q² X₁₁2 = -1,5 ± √ 1,5²-2 X₁ = -1; x₂ = -2 vorzeichen ändert sich (nur beim ersten) unter 4 = V gestauche y = 0₁1.x² Va 3.-25 + 7 = 18; Ergebnis aus 1. mit zahl verrechnen 4. (x - 5)² +7; Endergebnis gestreckt y = 10-x² ! mal über A= scolo) Hinreichende Bedingung. f" (²-1) = 4·(-₁) + 6 = 2 > 0 Tiefpunkt f"(-2) = 4. C-2) + 6 = -2 ² 0 Hochpunkt oben/unten verschoben y=x² + 2 scola) y=x²-2 SC01-2) ! nicht in Klammern ! f(x) = a (x + o)² -0 = Zahe vor dem x Bsp: y=-7⋅ (x-4)² +3 A Bsp: y = 2x² - 12x + 7 +2 Ausklammern ↓ (x² - 6x) +7 in der Klammer dividieren (x-3)² - 8+7 QE 1. y = 2 2. 4= 2 3. y = 2 · [(x-3)² - 18] ++ Quadratische Klammern 7 4 2. (x-3)²-11; SC31μ) GRAPHEN X X X W H x² y = y = x¹ ABLEITUNGEN 4. Konstante f(x) = 5/-√2/ 0,8 f'(x)=0 solange keinxCx)=0 2. Potenzgesetzte Bsp1 f(x)= x³ f(x)= 3x² 1 Bsp: f(x)=x; f'(x) = -1x²-² f(x)= x^ f(x) = -x 3. Faktorregel f(x)= 3.xs fCx)= 3.5.x = 15x4 4. Summenregel 1Cx)=x²- 5x²³ +7 Cx)=2x-5-3x² f'(x)=2x-15x² 8. E- Funktionen Ableiten _f_(x)_ a. e*, ae* x3 eax 20.e -4x3 2x + e 2x - 4x³ 9. Ln f(x) = ln (x) f'(x) = 1/x f(x)=x f'(x) = 1 f (x) = log b (x) f'(x)= 1 x. en (b) Bspa f(x)= x²7 f'(x)= -7x-8 f(x)=x²/5 = f(x) = 16 x ² Cx)=¹/5-3x² ·f'(x) ! e° = 1 ex aex axe a ex, 20.3x².ex 2 + (-12x²). e4x²³ produktregel f(x) = 10. en (x) f'(x) = 10 x f(x) = bx Bep: Cx) = 4* f'(x) = ln (b) b* f'(x) = ln (4). 4* Bsp: log2 (x) f'(x). 1 y=x² x.en (24) 5. Produktregel f'(x) = μ₁²v + f(x) = x³ x³ G nur multiplikation x² JA u f(x)= 2x + 3 x5 exa bleibt Stehen V 6. Quotientenregel f'(x) = μ₁·v - u.v' v² y = x 4 f(x) = sin(x) f'(x)= cos(x) 10. Winkelfunktion f(x)= cos(x) f'(x)=-sin(x) u'v' 7. Kettenregel f Cx)= Mov f'(x) = μ' (v(x)) · v' (x) M = x³ v=xs u² = 3x² v² = 5x4 f'(x) = f'(x) = 2x² - 2x+3·5x4 (x³)² 2x² - 2x + 15x4 X 10 f(x)= x³y +¹(x) = 3x³ x³ + x³.5x4 (x)=3x² + 5x² U= 2x + 3 u² = 2 v=xs v² = 5x4 f (x) = 8 x 14 Bsp: f(x) = (x + 5)² A u' = 4x²³²; v' = 7·μ° 'Cx) = 4x³7. (x²+5) 6 Bsp: (x²-1) e4x-3 u² = 2x , v' = e4x-34 ¹(x)=2x-e4x-3 + (x²-1). e4x-3 x = Extremstellen +/- = steigt, faut u 11. Graphen 4 ↑y f'(x) = 3x² EXPONENTIALFUNKTION Wachstums beschreibung. f(x)= a. 6² a = Menge die am Anfang vorhanden ist, b = Wachstumsfaktor je hoher 0,b= vertikale Streckung je kleiner 0, b = stauchung a = negativ Spiegelung Bei b> 1 = Zunahme Beib zwischen 0 und 1 = Abnahme Bei b= 1 Graph vertikal T 1. Asymptote markieren (gestrichelt) 2. y-Achsenabschnitt = a + c markieren 3. Falls ein negatives Vorzeichen vor a ist: Kombination aus a und b anschauen => exp. steigend oder fallend! X als Exponent und nicht als Basis wie a x = f(x) - LOGARITHMUS 2x = 8 1 log 2 loga (2x) = log₂ (8) X = log₂ (8) m>0 m ²0 (4) (x²m ==-/-) Bsp 2: Beide Seiten des Graphen gehen gegen unendlich Zur Basis b: POTENZFUNKTIONEN 1.5* +3 1. eine Erhöhung der Basis = Graph flacher 2. wenn Basis zwischen 0-1 = Graph gespiegelt 2ahe vor dem Exponenten als Basis beide Seiten Cog setzen log nebt auf 3. negative Werte können nicht eingesetzt werden Zum parameter C: 1. C> 1 = st aucht er in Richtung X-Achse 2. C 0-1 = strecken in x Richtung 3. c = negativ, Graph an der Y- Achse gespiegelt 4. c = 1 durch den Wert wo der Graph x schneidet ganze Zahlen mez 73 -2 - Der Parameter b ist der Wert bei x = 1 geteilt durch den Wert bei x = 0 y ungerade gerade j v e +4 + Betrag > 1 Bsp: 2 4* 4* Bsp: nicht ganze Zahlen m&Z Bsp1 x Betrag <1 fCx)= logb (c.x) 5.2* ln (e) = 1. en (₁) = 0 eº = A LA positiv 2-1 -0,4.3* 2 negativ = 32 1:2 = 16 | log4 = logy (16) Bsp Wa 3.015* f(x)= xm Potenzfunktion f 04x41 04x41 Parameter positiv -2 0,8* 1 lg= log10) zehnerlogarithmus Bsp: lg (100)=2; 10.10 = 100 negativ 4. 32x11 = 972 1:4 32x + 1 = 243 | log loga (32x + 1) = logo (243) 2x + 1 = 5 Logerithmus im Kopf berechnen Bsp: log₂ (8) 2.2.2 = 3 wie viel mal die Basis ergibt 8 ? Bsp2: log₂ (0,125) = log₂ 1/8 = -3 umwandeln in Bruch = 125/1000 = 1/8 2.2.2 = 8 = Kehrwert nehmen, also statt 3; -3 m f (x) = a.x² #f(x)= m* Expotential funk. r Exponent Basis POTENZFUNKTIONEN GRAPHEN y J ungerade, positiv Punktsymmetrisch gerade, positiv Achsensymmetrisch y a d WINKELFUNKTIONEN ! α = 0 - 90 Parameter f(x)=x² f(x)=x b Art der Transformation Verschiebung Stauchung/ Streckung Stauchung/ Streckung Verschiebung INTEGRALE 3 b/o X a/c b Bsp: 3x² + 4x +2 4 + 2x + 2x + c = +c] Bsp: 6x4 =[x³] = = Richtung berechnen horizontal vertikal horizontal vertikal gegenkathete Ankathete Ankathete Hypothenuse gegenkathete Hypothenuse Flächeninhalt einer Funktion zur x-Achse Stammfunktion bieden: = Aufleiten von Funktion ax + c [+x+1 Zusatz Spiegelung an der x- Achse f(x)=x² Spiegelung an der y- Achse →x = tan (x) = cos (x) Zahlenwerte = sin (a) d> 0: nach links d< 0: nach rechts a> 1: Streckung 1> a > 0: Stauchung 0>a>-1: Stauchung & Spiegelung -1> a: Streckung & Spiegelung c> 1: Stauchung 1> c> 0: Streckung 0> c>-1: Streckung & Spiegelung -1> c: Stauchung & Spiegelung h> 0: nach oben h < 0: nach unten Funktion f(x) = Stammunktion F(x) = Integral berechnen Bsp: 4 Grenzen bestimmen 1x dx = [*²] 0 с gerade, negativ Achsensymmetrisch } 1 8+1 f(x)= x²4 cos (x) = 0 Hypothenuse = 1 = sin(x) = b Winkel Winkel im Bogenmaß Grad Funktion einsetzen Grenzen einsetzen = 1/2 4² - ¹1/12 0² = 8 T³ (8 ER\ {-1}) sin(x) ·³+1+c 0 cos(x) 1 0 tan(x) 0 sin (x) = cas (x - 0 cos(x) sin(x) + C 30° *16 Gleichung: a. cos Cc.x+ d ) + b -7₂) 1 2 √3 2 co die obere Grrenze - die untere 1 sin(x) F √√3 + ungerade, negativ Punktsymmetrisch - cos(x) + с 45° THIS √2 1 √2 1 az 60° 1 In(a) a² + c | 02 ㅠ 3 √√3 N 1 H|2 √√3 [ f(x) dx = F( f (x) dx = F(b) - F(a) ez f(x)=x²5 e + C 90 ㅠ 2 1 0 Polstelle 1 81 x In(x) + C ZUFALLSEXPERIMENTE Pfadregel : Warscheinlichkeiten der Pfade multiplizieren Bsp. gb = 3/4 - 1/4 = 3/1/16 Warscheinlichkeit für 1. Ergebnis Summenregel: Bep: gb + gg + bb = ¾/16 + ¾/16 + 3/16 = 15/16 Warscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse Beispiele für Zufallsexperimente 1. Urne kugeln ziehen 2. Münzen ziehen 3 Kartenblatt 4. Lose / Glücksrad 5. Würfel (Laplace Experiment) BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT Vierfeldertafel F Bedingt Ereignis A und B sind abhängig voneinander Baumdiagramm = Beispiel: 60% Füchse 40% Hasen 70% Von den Füchsen essen Nüsse 50 % von den Hasen essen Nüsse Wie viele essen Nüsse insgesamt ? / H ΝΙΝ 0,6-0,7 0,6 0,3 ++ 0,4 0,5 0,4 0,5 1 Formel: PC X= k) = (R). Anzahl Treffer Stochastik Anzahl Versuche Bernoulli Experiment ( Binominalvertellung) Experiment mit 2 Ergebnissen Treffer / Niete LD mit zurück.cegen sind p und q stochastisch unabhängig voneinander 19 p4 n-k Erfolgswarscheinlichkeit Gegenereignis: gekennzeichnet durch strich: A = gb & gg & bg, A = bb hier wird immer 1 eingetragen Misserfolgs- Warscheinlichkeit 0,6 0,4 Achtung vor: Mit zurücklegen →→Warscheinlichkeit bleibt gleich Ohne zurücklegen → Warscheinlichkeit veränden sich Czähler & Nenner) größer als bsp 3 = 4,5,6 mindestens bep 3 = 3,4,5,6 H Beispiel: Einsata 1€ Na Ve Formel: 0,7 1. Stufe 0,3 xn 2. Stufe 015 N N = essen Nusse Erwartungswert von X ; Baumdiagramm 3 b 9 16 N= essen kei 96 3 3 16 16 2x R. +1x B. = C1 €) Auszahlung 0,60,7 + 0,4 0,5 = 0,62 = 62% 0 1/4 A 16 se 2 B - 1 Glücksrad PCX = xn) 27/64 27/64/64 1/64 μ = (-1). 27/64 + 0.27/64 + 2-9/64 +5 1/64 = -1/16 Der zu erwartende durschn. Gewinn beträgt ~ -0,06 € -3x B. = 6€ 2x B.= 3€ 3x R = O μ (mi), Prognose für den Mittelwert μ = x^· P ( X = X₁) + X₂ P ( X = x₂)+...+ xn· P(x= xn) BEISPIELE KOMBINATORIK Würfel Beispiel 1. Dreimal eine sechs PC 6, 6,6)= 1 = 1/6 · 16 · 1/6 = 2 16 = 0,0046 = 0,46% 2. Dreimal keine sechs 125 PC 6, 6, 6) = 5/65/65/6 = 216 = 0,58 = 58% 3. Genau ein sechs 25 PC 6, 6,6)= 16 16 5/6 = 72 25 P (6,6,6)= 5/6 1/6 · 5/6 = 72 P (6,6,6)= 5/65/6-1/6 = 35 4. höchstens/maximal eine sechs bel Dreimal ziehen Entweder keine 6 (0x 6) = 0,58 Entweder eine 6 C 1x 6) = 0,35 5. Mindestens eine sechs ↓ Gegenereignis weil es P ( mind. eine 6) = 1- 1- 0,58 = 0,42 = 427 2 Urnen Beispiel 0,35 = 35/ }+: +0,93= 93 / bei drei Würfen einfacher ist PC keine sechs) Mittelwert > alle werte zusammen rechnen und durch Anzahe teilen to 5/6 Bsp: 195 cm 170 cm, 160 cm, 165 cm : 4 , = Q = 172,5 cm 1/6 6 5/6 1/6 1. Urne 3 Kugeln 2. ume 3 Kugeln P (bg, bb, br, rg, rb, rr, gg, gb, gr 1 1 2 3 4 2 56 7 2/9 = gleichfarbig (1/9 + 1/9) 7/9 = verschiedenfarbig = C/g + ¹/g + 1/g + ¹/9 + 1/9 + ¹/9 + 1/9) → Summenregel 5/6 6 6 6 To 1/6 5/6 1/6 5/6 4/6 5/6 4/6 5/6 6 ܩܐ ܩ ܩ ܩ 1 ܩ ܂ܩܙ 6 6 Es wird gleichzeitig gezogen, wie hoch ist die Warscheinlichkeit das keine gleichfarbigen Kugeln gezogen werden ? **** Analytische Geometrie ********* VEKTOREN Vektoren gekennzeichnet durch einen Pfeil: a Nullvektor: a + b = Vektoren addieren: (8) = Für a= Bsp: 0= = 0 40 + Bsp: 2 = (6)·()·() (0) (0) (0) 8 + b2 →nach den normalen" Regeln addiert vektor mit reelen zare multiplizieren. 0₁ 0₂ 93 0₁ a₂ → gesucht. Ma, b gegeben: A, B ده . →nach den normalen Regeln multipliziert Betrag eines Vektors: /.länge" r.al = .0₂ ; Bsp: 4 + b₁ lal= + ba b₁-a₂ b2-a2 b3-da/ gilt: a = √ 1² +5² + 3² a OP Mittelpunkt einer Strecke OM = OP+12. PO X₂ Vektor aus 2 Koordinaten bestimmen: AB A C α₁ 192 193) und B Cb1 b2 | b3) Es gilt: AB OM A. AB bestimmen dann 1/2 2. oder A+ 1/2 AB = M 2 = + a₂ + a³ SKALARPRODUKT = IXA Mittelpunkt 4 8 Winkel zwischen 2 Vektoren bestimmen Die Winkel können 1. paraeue zueinander sein 2. Orthogonal zueinander sein (90°) 3. Koulinear sein C Ein Vielfaches voneinander) 355,9 Koordinatensystem: Dreidimensional x= x2 anders als im In alten" y = x3 J Koordinatensystem X1 2 Bsp: Kolineare Vektoren 1X3 2 0 1 2=(²³3); B² (410) = ³·2 j 0₁ Formel: au den vektoren: a=a₂ 1 03 AX3 ! Bei X3 & X₂ 2 Kästchen gehen Bei x₁ nur & Kästchen 2 Ortsvektor: Vektor vom Ursprung aus O des Koordinatensystem 2u einem Punkt P Gegenvektor: - a Gegenvektor von a b₁ und bb2 b3 2.6 = ab2 + az b2+ a3 b3 wenn 2b = 0; dann sind diese Orthogonal Beispiel: 5 9 = * = ( 5 )+² (²2) + ² * = ( 8 ) + 0 = (4) = 3 r -9 h= S j 2 4 -2 X2 >x2 = 2.5-9-2 +4·(-2) = 0; orthogonal 80° Sie können.... *** GERADEN Paraelle sein ... Identisch .. Einen Schnittpunkt Windschief aueinder sein Geradengleichung: X = 2² +ru Ĵ Stützvektor a) g 3. Ergebnis auswerten BEISPIEL Richtungs vektor x = -5 1. Richtungsvektoren sind nicht kollinear 5 h: x = 3 -8 Gleichungssystem aufstellen 3. Gleichungssystem lösen + r. } 1: 2uerst Richtungsvektoren untersuchen ob sie Kollinear sind 2a. Wenn ja: Setzen den Stūtzvektor der 1. Gleichung in die zweite ein 2b. wenn nein. Geradengleichungen gleich setzten g=n -2 -4 6 111 +m-2 5. Lösen nach r 13 3. 2a. Punktprobe identisch ja 3. eine Gleichung nach einer vanablen auflösen -2/M-r m= -"/^^ 2-5 - 4r = 3 - 2m 3.8+ 6r = -8-13m 1 + 55; - 4r 1: (-48) -5-4r=3-2 (-4/ ^^ - 2/mr) -5-4г = 3+ 8/11 + Ч/ мл-г -5-4r = ·33 / M1 + 8/M + 4/11`r (3 erweitern) -5-4r = 4^/^^ + 4 / M5 1 11 -55 44r = 414 4'r -48 r = 96 r = -2 1. 6. r (-2) # r (-31/10) Das Gleichungssystem hat keine Lösung Geraden windschiet kollinear parallel nein = 2. Geradengleichungen geeich setzten ( 1. 1 - 2 2-5 - 4r 3.8+ 6r = 2b. = <= (= Schneidend ja Schnitt untersuchung 5 + 11m 32m -8-13m 4. Variabel einsetzen in 2: 40r = 124r nein -5-4r=3-2 (-4/₁₁ - 2 / M-5) 8 + 6r=-8-13 (-4/ ^^ - 2 /^^-r) 8+6r=-8-13 (-4/₁₁ - 2 / M-5) 8 + 6r=-8 +52/11 + 26/11.5 8 + 6 r = -88/11+52/11 + 26/11°r 8 + 6 r = -36/11 + 26/11 5 88+66r-36 +26r - 31/10 - 124/40 Windschief nein 1.11 1-88-26r 1: 40