Mathematik ABI Zusammenfassung

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Ausklammern → Anwenden des Distributivgesetzes a b + a c = a (b + c) = ; sin(x) = cos (x-7) - Satz vom Nullprodukt → ein Produkt gibt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist → jeden Faktor ,,= 0 setzen und ausrechnen 1 Ableitungen • Ableitung Steigung momentane Änderungsrate Differenzenquotient bzw. momentane Änderungsrate f(x)-f(a) → Steigung der Sekante durch den Punkt A(alf(a)) und P(x|f(x)) x-a Summenregel • f(x) = g(x) + h(x) ● f'(x) = g'(x) + h'(x) Faktorregel • f(x) = c g(x) • f'(x) = c g'(x) Produktregel ● ● f(x) = u(x) · v(x) f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) Kettenregel uov • f(x) = u(v(x)) ● f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) Potenzregel ● f(x) = x² ● f'(x) = r. xr-1 ● Tangentensteigung Ay f'(x) = m = AX f(x)-f(a) x-a • f'(a) = lim x→a grafische Ableitung ● Stellen mit Extrempunkten von Kf sind Schnittpunkte mit VZW von Kr mit der x-Achse ● Stellen mit Sattelpunkten von Kf sind Berührpunkte von Kr mit der x-Achse ● Stellen mit Wendepunkten von Kf sind Extremstellen von Kf ● Abschnitte, in denen Kf steigt, verläuft Ke oberhalb der x-Achse ● Abschnitte, in denen Kf fällt, verläuft Kr unterhalb der x-Achse Name e-Funktion Sinusfunktion Kosinusfunktion f(x) ex sin(x) cos(x) Logarithmusfunktion In(x) f'(x) ex cos(x) -sin(x) x > 0 2 Integrale Stammfunktionen Stammfunktion F zur Funktion f ist eine Funktion, deren Ableitung f ergibt F'(x) = f(x) → F(x)₁ = F(x) + c für Stammfunktionen gelten die gleichen Regeln wie beim Ableiten f(x) a.xn ● f(x) xn 1 X ex sin(x) cos(x) a. (kx + b)" ● Flächeninhalt ● ● ● F(x) 1 (kx + b) n+1 k Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung f f(x)dx = [F(x)] = F(b) – F (a) - n+1 In|x] + c ..xn+1+c ex + c -cos(x) + c sin(x) + c a n+ 1 begrenzter Flächeninhalt: - A = f(x) dx Fläche zwischen zwei Graphen: Mittelwert m = - A = f(f(x) = g(x))dx - ,,oberer Graph f minus unterer Graph g" unbegrenzte Fläche: 1. Variable als Grenze auf der ins ∞o reichende Seite einführen 1 →Untersuchung von ₁/2 dx: ₁2/2dx →+1 →1 für c→ ∞ с →lim (-¹ + 1) = = 0+1=1 C→∞ C + c rekonstruierter Bestand 1 k.x+b a. ek.x+b a. sin(b.x) a · cos(b.x) B(to +At) = B(t₁) + R.At - B(to): Bestand zum Zeitpunkt to F(x) 1 - A t: Zeitraum -R: Änderungsrate für den Zeitraum A t n+1 1 k k Ink x + b + c .. ek.x+b+c a b 2. Fläche bis zu variablen Grenze bestimmen (Integration, Einsetzen, Umformen) → ₁²/1dx = [-]₁ +1 3. Grenzübergang: c in Richtung der ins ∞o reichende Seite laufen lassen - mögliche Fälle: c→∞o; c→∞o; cc → Definitionslücke /-rand ..a.xn+1+c a b Mittelwert meiner Funktion f auf einem Intervall [a; b], d.h. Mittelwert aller Funktionswerte f(x) über diesem Intervall =b²a la f(x) dx cos(b.x) + c sin(b.x) + c 3 Funktionen ganzrationale Funktionen ● Definitionsbereich D = R \ {0} f(x)=1/x Potenzfunktionen f(x)=x^2 Exponentialfunktionen ● ex verläuft oberhalb der x-Achse f(x)-ex ● schneidet y-Achse in Y(0|1) ● x-Achse ist waagrechte Asymptote f(x) = ex f(x)=-e (x) f(x) = 1 X 7-9 f(x) = x² 2 f(x) = -ex F(x)=1/(x 2) f(x)=x^3 F(x)=e^(-x) F(x)=-^(-x) f(x) f(x) = x³ f(x) = ex- f(x) = -e-x 4 Logarithmische Funktion schneidet x-Achse in X(110) ● y-Achse ist senkrechte Asymptote ● f(x)=In(x) trigonometrische Funktionen ● Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodisch co viele Nullstellen: - sin(x) = 0 für x = k· π - cos(x) = 0 für x = 1. ● ● ● Amplitude: a = ● ● 2 Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung: sin(-x) = sin(x) Kosinuskurve ist achsensymmetrisch zur y-Achse: cos(-x) = cos(x) 1 →a gibt Streckung in y-Richtung an - wichtige Werte: α x sin (x) cos (x) tan(x) 2πT Periode: p = →p gibt Streckung in x-Richtung an b allgemeine Sinus- bzw. Kosinusfunktion: f(x) = a sin(b(x-c))+d bzw. g(x) = a. · cos(b(x - c)) + d → a= Amplitude; b = Teil der Periode; c = Verschiebung in x-Richtung; d = Verschiebung in y-Richtung f(x)=sin(x) f(x) = ln(x) =+k.n -3 -2 0° 0 0 1 0 30° T f(x) 6 1 2 1 = √3 2 1 √√3 = sin(x) 45° It 4 == √2 2 1 = √2 1 f(x)=cos(x) 60° TT √3 1 2 √3 90° TT 2 √4=1 0 1 f(x) = cos(x) 5 Funktionen aufstellen 1. Aufstellen des allgemeinen Funktionsterms und ggfs. Angeben der Ableitungen der Funktion → f(x) = anxn + an-1xn-¹ +...+ a₂x² + a₁x¹ + ao 2. Formulieren der gegebenen Bedingungen mit f, f', f"... 3. Aufstellen des linearen Gleichungssystems 4. Lösen des LGS 5. Ggfs. überprüfen, ob alle angegebene Bedingungen erfüllt sind Schaubilder ● ● Verschiebung - in x-Richtung: f(x + b) → nach links; f(x - b) → nach rechts - in y-Richtung: f(x) + c→ nach oben; f(x) - c→ nach unten Streckung - Streckung: a. f(x) mit a > 1 - Stauchung: a f(x) mit a < 1 Spiegelung - an der x-Achse: -f(x) - an der y-Achse: f(-x) - am Ursprung: -f(-x) Scheitelform: f(x) = a ⋅ (x −b)² + c für x² charakteristische Eigenschaften: Funktion Hochpunkt Tiefpunkt Wendepunkt Sattelpunkt monoton steigend streng monoton steigend monoton fallend streng monoton fallend Ableitung Nullstelle mit VZW von + nach - Nullstelle mit VZW von - nach + Extrempunkt Nullstelle ohne VZW bzw. Berührpunkt oberhalb oder auf der x-Achse oberhalb der x-Achse unterhalb oder auf der x-Achse unterhalb der x-Achse ● zur Skizzierung des Graphen: - Lage der Extrem- und Wendepunkte - Monotonieverhalten - ,,Steigungsentwicklung" für x→∞o und x → 00 6 Kurvendiskussion Nullstellen ● ● ● f(x) = 0 Quotient: f(x) = P(x). q(x) Produkt: f(x) = g(x) · h(x) → g(x) = 0 und h(x) = 0 Funktionsterm mit Potenz eine Terms t(x): Substitution Achsenschnittpunkte • Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x) = 0 • Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0 ➜ ƒ(0) Symmetrie • y-Achsensymmetrie: f(-x) = f(x) Ursprungssymmetrie: f(-x) = -f(x) ● zeigen, durch (-x) für x einsetzen und umformen p(x) = 0 und überprüfen, ob q(x) = 0 Extrempunkte 1. Ableitungen bestimmen: f'(x) und f"(x) 2. mögliche Extremstellen: f'(x) = 0 ➜ Nullstellen bestimmen 3. Überprüfen der möglichen Extremstellen: - Einsetzten in 2. Ableitung: → f'(x) > 0 lokales Minimum → f'(x) < 0 lokales Maximum → f'(x) = 0 keine Aussage möglich, dann VZW - VZW-Wechsel Kriterium -> größeren und kleineren Wert jeweils in f'(x) einsetzen → VZW von + nach - lokales Maximum → VZW von - nach + lokales Minimum → kein VZW Sattelpunkt bei x 4. Extremstellen in f(x) einsetzen Wendepunkte 1. Ableitungen bestimmen: f'(x), f"(x) und f'(x) 2. mögliche Wendestellen: f"(x) = 0 3. Überprüfen der möglichen Wendestellen: - f"(x) = 0 und f""(x) = 0 - f"(x) = 0 und f"(x) mit VZW 4. Wendestellen in f(x) einsetzen Monotonie 1. Extremstellen bestimmen 2. Intervalle bilden →1₁ (-∞o; x₁); 1₂ (X₁; X₂); ...; 13(x₂; ∞0) 3. Werte aus den jeweiligen Intervallen in f'(x) einsetzen → f'(x) >0 streng monoton steigend → f'(x) < 0 streng monoton fallend Krümmung 1. Wendestellen bestimmen 2. Intervalle bilden→ I₁(-∞; x₁); 1₂(X₁; X₂); ...; 13 (X₂; ∞0) 3. Werte aus den jeweiligen Intervallen in f"(x) einsetzen → f'(x) > 0 linksgekrümmt; f'(x) < 0 rechtsgekrümmt 7 Tangente 1. f'(x) ermitteln und xo einsetzen → f'(x) = mt 2. f(x) = yo berechnen 3. in Tangentengleichung einsetzen: y = mx + c durch P(xolyo) 4. nach cauflösen 5. Tangentengleichung angeben 6. Alternative Tangentengleichung: y = f'(xo) · (x − xo) + f(xo) orthogonaler Schnitt zweier Funktionsgraphen: mf mg = -1 Normale Gerade, die den Graphen der Funktion senkrecht schneidet (senkrecht zur Tangente) 1 1. Steigung mñ mit mn = −: (aus der Steigung der Tangente mt berechnen) mt 2. Koordinaten des Punktes P(xolf (xo)) in y = mx + c einsetzen 3. nach cauflösen 4. Normalengleichung angeben ● Winkel zwischen Graph und x-Achse für den Schnittwinkel gilt: tan(a) = m = f'(x) → a= tan-¹ (m) 1. Ableitung des Graphen Asymptoten 2. Schnittstelle berechnen und in Ableitung einsetzen 3. mit tan(a) a berechnen ● senkrechte Asymptoten: - kann es nur an Defintionslücken bzw. /-rändern geben → wenn Nenner gleich Null → f(x) → ... für x → Dflücke (Df\{...}) → wenn x = 0 jeweils mit x > 0 und mit x < 0 → wenn f(x) → ∞ oder f(x) →→→∞, dann hat Kf eine senkrechte AS bei x Polstelle: ● ● - hat Kf an einer Stelle xo eine senkrechte Asymptote, dann nennt man xo Polstelle → Zähler ist nicht gleich Null - Polstelle mit VZW, wenn ungerade Ordnung (Potenz) im Nenner - Polstelle ohne VZW, wenn gerade Ordnung (Potenz) im Nenner hebbare Lücke: → Zähler ist auch gleich Null ● waagrechte Asymptoten: -Zählergrad < Nennergrad → f(x) → 0 für x → +∞o; y = 0 ist waagr. AS - Zählergrad = Nennergrad → f(x) → Zahl für x → +∞o; y = Zahl ist waagr. AS Koeffizient größter Potenz oben (Zahl = Koeffizient kleinster Potenz unten - Zählergrad > Nennergrad → f(x) → ∞ für x → +∞; keine waagr. AS 1 Beweis von waagr. AS: Bruch mit "größte Potenz Konfliktregeln: - e gewinnt immer - die höhere Potenz gewinnt immer - Logarithmus verliert immer erweitern 8 Berührpunkte zweier Kurven • Berührpunkt B ist ein gemeinsamer Punkt beider Kurven: f(x) = g(XB) im Punkt B haben beide gemeinsame Tangente → gleiche Steigung: f'(x) = g(xB) Extremwertaufgaben 1. Skizze 2. Größe, die extremal werden soll bestimmen 3. Term aufstellen mit Variablen 4. Nebenbedingung(en) formulieren (Anzahl NB = Anzahl Variablen -1) 5. Zielfunktion bestimmen (nur noch 1 Variable); Df angeben 6. Zielfunktion auf Extremwerte untersuchen 7. Ergebnis formulieren Funktionsscharen ● Funktionsgleichung mit Parameter neben den Parabeln; zu jedem Werk des Parameters erhält man eine Funktion → unendlich viele Funktionen Typische Aufgabe: Gemeinsame Punkte einer Schar ft bestimmen 1. für den Parameter t zwei andere Variablen verwenden: fr(x) = f(x) 2. für r s die Schnittstelle berechnen (Parameter müssen rausfallen) 3. y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angeben Ortskurven: ● - geben Graphen an, auf dem eine bestimmte Art von Punkten der Scharenkurve liegen → z.B. alle Extremstellen oder Wendestellen 1. Koordinaten der Extrem-/ bzw. Wendepunkte in Abhängigkeit von t berechnen 2. x(t) nacht auflösen und in y(t) einsetzen 9 Geometrie Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren 1. Eliminieren der Variable x₁ aus allen anderen Gleichungen mithilfe einer Gleichung durch Äquivalenzumformungen 2. gleiches Verfahren mit den restlichen Gleichungen für die Variablen X2, X3 ... Xn 3. schrittweises Auflösen der Gleichungen der Stufenform 4. Lösungsmenge bestimmen ● ● Vektoren Orts- und Verbindungsvektoren Ortsvektor: Vektor vom Koordinatenursprung 0(0|010) zum Punkt P(x₁|X₂|X3) /x₁ ● ● ● ● eine eindeutige Lösung: konkrete Werte - nur ein Punkt, also ist er der Schnittpunkt der drei Ebenen unendlich viele Lösungen: Parameter in der Lösungsmenge - Lösung ist eine Geradengleichung; Gleichung ist Schnittgerade der drei Ebenen keine Lösung: leere Lösungsmenge -es gibt keine Punkte oder Geraden, die alle drei Ebenen gemeinsam haben Betrag ● → p = OP = x₂ \x3/ ● Verbindungsvektor: Vektor, der zwei Punkte A(a₁ la₂ la3) und B(b₁|b₂|b3) verbindet b₁ (b₁-a₁) → AB = b₂ die Länge des Vektors (2) für à = 'а₁ a2 =b₂-a₂ A3/ b3a3/ Einheitsvektor: ABO m = a2 gilt al 2 = Skalarprodukt = Mittelpunkt ● Durchschnitt der Koordinaten von A und B = 1/2. (a + b) a₁+b₁a₂+b₂a3+b3 2 √a² + a² + a² 1 AB AB AB = AB → Vektor der Länge 1 à b = a₁b₁ + a₂b₂ + a3b3 Orthogonalität: gilt a b = 0, dann sind å und b orthogonal zueinander Normalenvektor bzw. Kreuzprodukt • Kreuzprodukt ist ein Produkt zweier nicht paralleler Vektoren und liefert als Ergebnis einen Vektor, der zu beiden Anfangsvektoren senkrecht ist (Normalenvektor) (a2b3 − a3b2 à x b = a3b₁a₁b3 → wenn à x b = 0, dann sind å und b parallel zueinander \a₁b₂-a₂b₁. 10 Punkte Lage im Raum ● ● ● Geraden ● P(x₁|x₂|x3) Punkt P liegt in der ... - X₁ X₂-Ebene, wenn x3 = 0 - x2x3-Ebene, wenn x₁ = 0 - X₁ X3-Ebene, wenn x₂ = 0 Punkt P liegt auf der ... Parameterform x = p + t •ū p = Stützvektor; t = Parameter; u = Richtungsvektor Aufstellen: Punkt A als Stützvektor, AB als Richtungsvektor →x=0A+t. AB ● - x₁-Achse, wenn x₂= x3 = 0 - X₂-Achse, wenn x₁= x3 = 0 - X3-Achse, wenn x₁= x₂ = 0 Überprüfen, ob auf einer Gerade oder Ebene: Punktprobe ● gegenseitige Lage identisch:: g = h - u = r → Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander - Punktprobe positiv: Punkt von g liegt auch auf h (z.B. Stützpunkt) parallel: g || h -u= r - Punktprobe negativ Schnittpunkt: → Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander - ur. v - Geraden gleichsetzen und nach (2 versch.) Parametern auflösen → LGS - Parameter in g oder h einsetzen → Lösung ist Schnittpunkt windschief: - ur. v - nach Geraden gleichsetzen bzw. im LGS keine Lösung 11 Ebenen Formen ● ● ● Koordinatenform: E: ax₁ + bx₂ + cx3 = d - Normalform ausmultipliziert ergibt die Koordinatenform - Koeffizienten der Koordinatenform sind Koordinaten des Normalenvektors Lage im Koordinatensystem Spurpunkte: (zur Zeichnung eines Schrägbildes) - Schnittpunkte einer Ebene mit der Koordinatenachse - Schnittgerade einer Ebene mit der Koordinatenachse: Spurgerade 1. Spurpunkte berechnen: ● Parameterform: E: x = p +r·ũ + s. v - p = Stützvektor; u und = Spannvektoren (u/ || E; π | v) gegenseitige Lage ● identisch: E₁ E₂ & E₁ = E₂ - n₁ = k n₂ → Normalenvektoren sind Vielfache voneinander - Punktprobe positiv: Punkt aus E₁ ist auf E₂ (z.B. Stützvektor) ● Normalenform: E: [x-p] n = 0 - p = Stützvektor; n = Normalenvektor (n 1 E; Kreuzprodukt von u x v) ● ● ● →x₁-Achse: S₁ mit x2₂= x3 = 0 ➜ S₁ (x₁|0|0) →x₂-Achse: S₂ mit x₁= x3 = 0 S₂ (0|x₂|0) →x3-Achse: S3 mit x₁= x₂ = 0 ➜ S3 (0|0|x3) 2. Spurpunkte einzeichnen 3. Spurgeraden einzeichnen: zwei Spurpunkte verbinden → falls kein Dreieck: zu Parallelogramm ergänzen Schnittgerade: - n₁ #k•N₂ - Ebenen gleichsetzen und nach Parameter auflösen → LGS; Lösung gibt Schnittgerade an - wenn Koordinanten- und Parametergleichung: Ebenenpunkt in andere Ebene einsetzen gegenseitige Lage von Gerade und Ebene parallel: Ell g - RE RV₁ = 0 - Punktprobe negativ Gerade in der Ebene: parallel: E₁ E₂ - n₁ = k·n₂ → Normalenvektoren sind Vielfache voneinander - Punktprobe negativ orthogonal: E₁ E₂ . -₁/₂ = - TE RV₁ = 0 - Punktprobe positiv (z.B. Stützvektor von g in E) orthogonal:: Elg -ne = k·RVg Schnittpunkt: - ne #k. RVg - Schnittpunkt berechnen: g als allgemeiner Punkt in E einsetzen; Lösung des Parameters in Gleichung einsetzen und Schnittpunkt ausrechnen 12 Abstandsberechung Punkt - Punkt ● Betrag des Verbindungsvektors → AB Punkt - Ebene ñ Hesse'sche Normalenform: E: [x − p] · . ● Abstand d (R; E) = ● = [r - p]. Z | bei E: a₁x₁ + a₂x₂ + A3x3 = b ⇒d (R; E) : ● Punkt - Gerade 1. Hilfseben H aufstellen mit H 1 g (RV als ní) und R € H (R als Stützvektor) 2. Lotfußpunkt berechnen: Schnittpunkt L der Gerade g mit der Hilfsebene H 3. d (R; g) = |RL| → Länge des Verbindungsvektors parallele Geraden ● Abstand eines Punktes Pe g₁ zur Gerade g₂ → Stützvektor weiteres Vorgehen wie: Punkt - Gerade = 0 parallele Ebenen Abstand eines Punktes Pe ₁ zur Ebene E₂ → Stützvektor weiteres Vorgehen wie: Punkt - Ebene Gerade Ebene Abstand eines Punktes Pe g zur Ebene E→Stützvektor weiteres Vorgehen wie: Punkt - Ebene ·la₁r₁ + a₂r₂ + a3r3 - bl Winkelberechnung Skalarprodukt à b =0 ➜ Vektoren sind orthogonal zueinander; 90° Winkel zwischen Vektoren ● cos(a) = a. b [āl·|b| Winkel zwischen Geraden ● cos(a) = 0 ≤ a ≤ 180° = |uv| [] [] ● Winkel zwischen den Graphen g und h entspricht Winkel zwischen den Richtungsvektoren u und v → wenn a < 90°: a' = 180° - a Winkel zwischen Ebenen ● cos(a) IME NF NE INF wenn a < 90°: a' = 180° - a ● Winkel zwischen den Ebenen E und F entspricht Winkel zwischen den Normalenvektoren MERVg| InElRVg| ng und n Winkel zwischen Gerade und Ebene sin(a) = → wenn a < 90°: a' = 180° - a Winkel zwischen der Ebene E und der Gerade g entspricht Winkel zwischen dem Normalenvektor ng und dem Richtungsvektor RV 13. Spiegelungen Punkt an Punkt ● OP = OZ + PZ oder OP = OP +2.PZ Punkt an Gerade 1. Hilfseben E mit E1 g (RV als ne) und P & E (P als Stützvektor) aufstellen 2. Lotfußpunkt berechnen: Schnittpunkt L der Gerade g mit der Hilfsebene E 3. OP = OL + PL oder OP = OP + 2. PL Punkt an Ebene 1. Hilfsgerade g mit g 1E (ng als RV) und P & g (P als Stützvektor) aufstellen 2. Lotfußpunkt berechnen: Schnittpunkt L der Hilfsgerade g mit der Ebene E 3. OP = OL + PL oder OP = OP + 2. PL Gerade an Ebene 1. Schnittpunkt S von der Gerade g und der Ebene E berechnen →g in E 2. Punkt P an S spiegeln: OP = OS + PS oder OP = OP +2.PŠ Ebene an Ebene 1. Schnittgerade g der beiden Ebenen → LGS 2. Spiegeln eines Punktes P an der Ebene (aber nicht auf der Schnittgerade) → P' 3. Ebene mit P' und Schnittgerade s ist die gesuchte → P' als Stützvektor; Stützvektor der Gerade g minus P' als Richtungsvektor; Richtungsvektor der Gerade g als zweiter an den x-Achsen jeweilige Werte mit -1 multiplizieren (die Werte, an denen nicht gespiegelt wird) an den Koordinatenebenen jeweiligen Wert mit -1 multiplizieren ● 14 Stochastik Wahrscheinlichkeitsverteilung ● ● Ereignisoperationen ● Schnitt: An B → in A und B ● Vereinigung: AUB in A oder B Gegenereignis: P(Ē) = 1 – P(E) Systematisierung der Fälle zum Urnenmodell legt die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse fest Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis ist größer oder gleich null Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ergibt 1 (oder 100%) alle direkten möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments bilden die Ergebnismenge S Pfad- bzw. Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen Pfades multipliziert Summenregel: ● Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert ● ● ohne Zurücklegen mit Zurücklegen Erwartungswert gibt den durchschnittlichen zu erwartenden ,,Gewinn" einer einzelnen Durchführung des Zufallsexperiments an, wenn man dieses sehr oft durchführt • E(X) = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X = x₂) + ··· += Σ¡ xi · P(X = x₁) ● für ein faires Spiel gilt: E(X) = 0 ● im Histogramm: höchste Säule bedingte Wahrscheinlichkeit PA (B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, wenn man weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist • Pa (B) = ohne Reihenfolge mit einem Griff: ( (n − 1 + k) → PA(B) = P(B) → P(An B) = P(A) · P(B) P(ANB) P(A) P(An B) = P(A) · P₁(B) Unabhängigkeit: zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst Vierfeldertafel B B mit Reihenfolge n! (n - k)! nk A P(ANB) P(An B) P(A) A P(ANB) P(ANB) P(A) P(B) P(B) 1 15 Laplace-Experimente alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich ● Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge: 1. prüfen, ob alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben 2. prüfen, ob die gezogenen Kugel zurückgelegt werden muss 3. Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten, von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen → () Binomialverteilung Bernoulliexperiment Zufallsexperiment mit nur 2 möglichen Ausgängen bzw. Ergebnissen ● Bernoullikette das gleiche Bernoulli-Experiment wird n-mal durchgeführt Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant; Ergebnisse sind unabhängig voneinander Formel von Bernoulli: P(X = k) = : (1) .pk . (1 − p)n-k n = Anzahl der Pfade; k = Anzahl der Treffer; p = Wahrscheinlichkeit ● Bezeichnung von Bn;p ● 4. Berechnung der Anzahl der günstigen Möglichkeiten, k Kugeln zu ziehen 5. Quotient aus den Ergebnissen des 4. und 3. Schritts Wahrscheinlichkeit für Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge: Erwartungswert: E(X) = μ = n • p ● Standardabweichung: 0. √n.p.(1-p) Sonstiges: P(X k) = 1 - P(X ≤k-1) & P(2 ≤X ≤ 4) = P(X ≤ 4) - P(X ≤ 1) Rechentrick: (¹²)= = 12.11.10 3.2.1 = 220 ● 1. prüfen, ob jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt 2. prüfen, ob die gezogene Kugel zurückgelegt werden muss 3. Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten, von n unterschiedlichen Kugeln nacheinander genau k Kugeln zu ziehen 4. Wahrscheinlichkeit für genau eine günstige Anordnung angeben Anzahl für A güstige Ergebnisse → P(A) = - Anzahl überhaupt mögliche Ergebnisse ● Signalwort genau / exakt X = k Binom. Dichte Typ WTR ● höchstens / maximal X ≤k Kumul. Binom. V. mindestens / minimal X≥k Gegenereignis X ≤k - 1 Kumul. Binom. V Histogramm ● graphische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung als Säulendiagramm nimmt eine binomialverteilte Zufallsvariable den Erwartungswert bzw. die benachbarte ganze Zahl an, so erhält man die größte Wahrscheinlichkeit → Maximum im Histogramm Vorgehen 1. Treffer... 2. Zufallsvariable X gibt Anzahl Treffer an und ist Bn;p verteilt 3. gesuchte Wahrscheinlichkeit mathematisch ausdrücken → z.B. P(X ≤ 3) ≤ 0,9 4. mit WTR fehlenden Parameter bestimmen; zwei Werte angeben 5. Lösung formulieren 16 Einseitiger Hypothesentest ● zum Überprüfen einer Hypothese mit einem Test und Berechnung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit ● ● Linksseitiger Test Rechtsseitiger Test Nullhypothese Ho: P = Po/p≥ Po Gegenhypothese / Alternative H₁: P₁ < Po Ablehnungsbereich K = {0; 1; ... g} Nullhypothese Ho: P = Po/P ≤ Po Gegenhypothese / Alternative H₁: P₁ > Po Ablehnungsbereich K = {g; g + 1;... n} →g: kleinstmögliche natürliche Zahl mit P(X ≥ g) = 1 - P(X ≤ g − 1) ≤ x →g: größtmögliche natürliche Zahl mit P(X ≤g) ≤ x Entscheidungsregel: Wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird Ho verworfen, ansonsten nicht. Vorgehen als Entscheidungshilfe für die Ablehnung der Nullhypothese Ziel: Ablehnung der Nullhypothese Ho 1. Treffer... 2. Zufallsvariable X gibt Anzahl Treffer an 3. Nullhypothese Ho: P = Po 4. Angenommen Ho sei wahr, dann ist die Zufallsvariable X im Extremfall Bnip verteilt 5. Gegenhypothese H₁: P₁ < oder > Po Die Nullhypothese Ho wird bei großen / kleinen Trefferzahlen zugunsten H₁ abgelehnt. Es handelt sich um einen rechts-/ linksseitigen Test mit dem Ablehnungsbereich K = {...}. 6. Ansatz: P(X ≤/2 Grenze von K) <x Fehler beim Testen von Hypothesen Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit dass man mit der Ablehnung falsch liegt man gibt sich die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit vor →Signifikanzniveau x Ho wird verworfen Ho wird nicht verworfen ● ● ● Fehler 1. Art Irrtumswahrscheinlichkeit → Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist → mit Po Fehler 2. Art ● Ho ist wahr Fehler 1. Art richtige Entscheidung → nur berechenbar, wenn tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit p₁ bekannt ist → Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie falsch war Schlüsselbegriffe Aussagen mit „und": A und B → P(A) · P(B) Aussagen mit ,,oder": A oder BP(A) + P(B) Ho ist falsch richtige Entscheidung Fehler 2. Art Anzahl der Möglichkeiten Urnenmodell, Baumdiagramm Anzahl der Zufallsgröße mit ,,genau", ,,mindestens", ,,höchstens" → Binomialverteilung ● ,,wird durchschnittlich erwartet", ,,Erwartungswert" → Wahrscheinlichkeitsverteilung, für Binomialverteilung E(X) = n.p ,,Faires Spiel" → Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E(X) = 0 ,,getestet", ,,Ablehnungsbereich", ,,Irrtumswahrscheinlichkeit", ,,Hypothese", ,,Entscheidungsregel"→ Hypothesentest 17