Mathematik ABI Zusammenfassung

Alternativer Bildtext:

a c = a (b + c) Satz vom Nullprodukt → ein Produkt gibt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist → jeden Faktor ,,= 0 setzen und ausrechnen 1 Ableitungen Ableitung Steigung ≈ momentane Änderungsrate Differenzenquotient bzw. momentane Änderungsrate f(x)-f(a) x-a Summenregel f(x) = g(x) + h(x) • f'(x) = g'(x) +h'(x) Faktorregel • f(x) = c g(x) f'(x) = c. g'(x) Produktregel ● → Steigung der Sekante durch den Punkt A(a|f(a)) und P(x|f(x)) ● • • Kettenregel u • v ● f(x) = u(x) · v(x) ƒ¹(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) Potenzregel f(x) = u(v(x)) f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) ● f(x) = x² ƒ'(x) = r • x²−1 Tangentensteigung Ay ƒ'(x) = m = Ax ƒ'(a) = lim x→a grafische Ableitung f(x)-f(a) x-a ● Stellen mit Extrempunkten von Kf sind Schnittpunkte mit VZW von K mit der x-Achse Stellen mit Sattelpunkten von Kf sind Berührpunkte von Kè mit der x-Achse ● Stellen mit Wendepunkten von Kf sind Extremstellen von Kf Abschnitte, in denen Kf steigt, verläuft Kf oberhalb der x-Achse Abschnitte, in denen Kf fällt, verläuft Kå unterhalb der x-Achse Name e-Funktion Sinusfunktion Kosinusfunktion f(x) ex sin(x) cos(x) Logarithmusfunktion |In(x) ƒ'(x) ex cos(x) -sin(x) X x > 0 2 Integrale Stammfunktionen Stammfunktion F zur Funktion f ist eine Funktion, deren Ableitung f ergibt F'(x) = f(x) ⇒ F(x)₁ = F(x) + c für Stammfunktionen gelten die gleichen Regeln wie beim Ableiten f(x) ● f(x) xn 1 X 2x e sin(x) cos(x) a. (kx + b)n ● ● ● F(x) 1 ● Mittelwert n+1 In|x| + c ex + c -cos(x) + c sin(x) + c a n+1 (kx + b)n+¹ k Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ſº f(x)dx = [F(x)] = F(b) – F(a) b Flächeninhalt → lim (-¹ + C-8 C xn+1 - →Untersuchung von ¹₁0/12/2dx: ²2/1/2 dx x2 + c begrenzter Flächeninhalt: - A = f f(x) dx Fläche zwischen zwei Graphen: - A = f(f(x) = g(x))dx - ,,oberer Graph f minus unterer Graph g“ unbegrenzte Fläche: 1. Variable als Grenze auf der ins ∞ reichende Seite einführen 1) = + 1) = 0 + 1 = 1 + c = m = 1 f f(x) dx b-a a rekonstruierter Bestand ·xn a. 1 k.x+b a. ek.x+b a. sin(b. x) a · cos(b. x) B(to +A t) = B(to) + R ·▲ t - B(to): Bestand zum Zeitpunkt to - A t: Zeitraum -R: Änderungsrate für den Zeitraum ▲ t F(x) 1 n+1 1 k a k 1 C 3. Grenzübergang: c in Richtung der ins ∞ reichende Seite laufen lassen - mögliche Fälle: c → ∞; c ⇒ −∞; c c → Definitionslücke /-rand + 1 → 1 für c→ ∞ α b 2. Fläche bis zu variablen Grenze bestimmen (Integration, Einsetzen, Umformen) C → 5² 1/2 dx = [-²] ₁ +1 Ink x + b + c ek.x+b + c a ·•·a·xn+¹+c b cos(b.x) + c sin(b.x) + c Mittelwert meiner Funktion f auf einem Intervall [a; b], d.h. Mittelwert aller Funktionswerte f(x) über diesem Intervall 3 Funktionen ganzrationale Funktionen f(x)=1/x -4 f(x)=x^2 ● Definitionsbereich D = R \ {0} -4 Potenzfunktionen -4 -3 f(x)=e^x -4 q -2 -3 f(x)=-e^(x) ↓ Exponentialfunktionen -3 -1 the -2 +2 1 --2 ex verläuft oberhalb der x-Achse schneidet y-Achse in Y(0|1) x-Achse ist waagrechte Asymptote ƒ(x) = ex -3 +2 --2 y 1 -4 3 9 1 f(x) = 1/1/2 X f(x) = x² 3 f(x) = −ex f(x)=1/(x^2) f(x)=x^3 -4 -3 f(x)=e^(-x) -3 f(x)=-e^(-x) -3 94 -1 at -1 +1 7 ļ T +2 --3 Ty -4 1 y +2 1 1 for 4 X F(x) = 2/1/21 x² f(x) = x³ f(x) = ex- f(x) = −e¯x Logarithmische Funktion ● schneidet x-Achse in X(110) f(x)=In(x) ● y-Achse ist senkrechte Asymptote -4 ● -3 V 4 y -4 trigonometrische Funktionen Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodisch 3 -2 f(x)=sin(x) co viele Nullstellen: - sin(x) = 0 für x = k · ´ π - cos(x) = 0 für x = + k. ▪ TT 2 Periode: p sin (x) cos (x) tan(x) Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung: sin(-x) = − sin(x) Kosinuskurve ist achsensymmetrisch zur y-Achse: cos(-x) = cos(x) Amplitude: a = → a gibt Streckung in y-Richtung an 2 2π ➜p gibt Streckung in x-Richtung an b allgemeine Sinus- bzw. Kosinusfunktion: f(x) = a · sin(b(x − c)) + d bzw. g(x) = a · cos(b(x − c)) + d → a= Amplitude; b = Teil der Periode; c = Verschiebung in x-Richtung; d = Verschiebung in y-Richtung wichtige Werte: α X - 3 f(x) = ln(x) 2 -1 -2 0° 0 0 1 0 30° TU 6 1 2 =√3 1 f(x) = sin(x) 45° π 4 ¹ √2 2 = √2 1 f(x)=cos(x) 60° 2 |元13 TU ¹ √√3 2 1123 √3 4 2 ¹√√4=1 0 1 2 90° TU X/ f(x) = cos(x) 5 Funktionen aufstellen 1. Aufstellen des allgemeinen Funktionsterms und ggfs. Angeben der Ableitungen der Funktion ➜ f(x) = anx² + an-1xn−¹ + · + a₂x² + α₁x¹ + ao ... 2. Formulieren der gegebenen Bedingungen mit f, f', f" 3. Aufstellen des linearen Gleichungssystems 4. Lösen des LGS 5. Ggfs. überprüfen, ob alle angegebene Bedingungen erfüllt sind Schaubilder ● Verschiebung - in x-Richtung: f(x + b) → nach links; ƒ (x − b) ⇒ nach rechts - in y-Richtung: f(x) + c → nach oben; ƒ (x) − c ⇒ nach unten Streckung - Streckung: a . f (x) mit a > 1 - Stauchung: a· f(x) mit a < 1 ● ● ● Spiegelung - an der x-Achse: −ƒ(x) - an der y-Achse: f(-x) - am Ursprung: −ƒ(-x) Scheitelform: f(x) = a · (x − b)² + c für x² charakteristische Eigenschaften: Funktion Hochpunkt Tiefpunkt Wendepunkt Sattelpunkt monoton steigend streng monoton steigend monoton fallend streng monoton fallend Ableitung Nullstelle mit VZW von + nach - Nullstelle mit VZW von - nach + Extrempunkt Nullstelle ohne VZW bzw. Berührpunkt oberhalb oder auf der x-Achse oberhalb der x-Achse unterhalb oder auf der x-Achse unterhalb der x-Achse zur Skizzierung des Graphen: - Lage der Extrem- und Wendepunkte - Monotonieverhalten - ,,Steigungsentwicklung" für x→→∞ und x → ∞ 6 Kurvendiskussion Nullstellen ● f(x) = 0 Achsenschnittpunkte Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x) = 0 ● Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0 ➜ ƒ(0) p(x) Quotient: f(x) = ➜ p(x) = 0 und überprüfen, ob q (x) ‡ 0 q (x) Produkt: f(x) = g(x) · h(x) ⇒ g(x) = 0 und h(x) = 0 Funktionsterm mit Potenz eine Terms t(x): Substitution ● Symmetrie y-Achsensymmetrie: f(-x) = f(x) Ursprungssymmetrie: f(-x) = -f(x) zeigen, durch (-x) für x einsetzen und umformen Extrempunkte 1. Ableitungen bestimmen: f'(x) und f'(x) 2. mögliche Extremstellen: f'(x) = 0 ➜ Nullstellen bestimmen 3. Überprüfen der möglichen Extremstellen: - Einsetzten in 2. Ableitung: → ƒ''(x) > 0 lokales Minimum → f'(x) < 0 lokales Maximum → f'(x) = 0 keine Aussage möglich, dann VZW - VZW-Wechsel Kriterium -> größeren und kleineren Wert jeweils in f'(x) einsetzen → VZW von + nach - lokales Maximum → VZW von - nach + lokales Minimum → kein VZW Sattelpunkt bei x 4. Extremstellen in f(x) einsetzen Wendepunkte 1. Ableitungen bestimmen: f'(x), ƒ''(x) und ƒ'''(x) 2. mögliche Wendestellen: f'(x) = 0 3. Überprüfen der möglichen Wendestellen: - f"(x) = 0 und ƒ'''(x) ‡ 0 - f"(x) = 0 und f'(x) mit VZW 4. Wendestellen in f(x) einsetzen Monotonie 1. Extremstellen bestimmen 2. Intervalle bilden → 1₁(-∞; x₁); 1₂ (x₁; X₂); ...; 13(x₂; ∞) Werte aus den jeweiligen Intervallen in f'(x) einsetzen 3. → f'(x) > 0 streng monoton steigend → f'(x) < 0 streng monoton fallend Krümmung 1. Wendestellen bestimmen 2. Intervalle bilden→ 1₁(-∞; x₁); 12(X₁; X₂); ...; 13(x₂; ∞0) 3. Werte aus den jeweiligen Intervallen in f'(x) einsetzen → f'(x) > 0 linksgekrümmt; f'(x) < 0 rechtsgekrümmt 7 Tangente 1. f'(x) ermitteln und xo einsetzen → ƒ'(x) = mt 2. f(x) = yo berechnen 3. in Tangentengleichung einsetzen: y = mx + c durch P(xolyo) 4. nach cauflösen 5. Tangentengleichung angeben 6. Alternative Tangentengleichung: y = f'(x) · (x − x) + f(x) ● orthogonaler Schnitt zweier Funktionsgraphen: mf • mg = −1 Normale Gerade, die den Graphen der Funktion senkrecht schneidet (senkrecht zur Tangente) 1. Steigung mn mit mn - (aus der Steigung der Tangente me berechnen) 1 mt 2. Koordinaten des Punktes P(xolf (x)) in y = mñx + c einsetzen 3. nach cauflösen 4. Normalengleichung angeben Winkel zwischen Graph und x-Achse -1 für den Schnittwinkel gilt: tan(a) = m = f'(x) ⇒ a = = tan¯¹ (m) 1. Ableitung des Graphen 2. Schnittstelle berechnen und in Ableitung einsetzen 3. mit tan(a) a berechnen Asymptoten = senkrechte Asymptoten: - kann es nur an Defintionslücken bzw. /-rändern geben → wenn Nenner gleich Null → f(x) → ··· für x → Dflücke (Dƒ \ {... }) → wenn x = 0 jeweils mit x > 0 und mit x < 0 → wenn f(x) → ∞ oder f(x) → →∞, dann hat Kƒ eine senkrechte AS bei x Polstelle: - hat Kf an einer Stelle xo eine senkrechte Asymptote, dann nennt man xo Polstelle → Zähler ist nicht gleich Null - Polstelle mit VZW, wenn ungerade Ordnung (Potenz) im Nenner - Polstelle ohne VZW, wenn gerade Ordnung (Potenz) im Nenner ● hebbare Lücke: → Zähler ist auch gleich Null ● waagrechte Asymptoten: - Zählergrad < Nennergrad ⇒ f (x) → 0 für x → ±∞; y = 0 ist waagr. AS - Zählergrad = Nennergrad → f(x) → Zahl für x → ±∞; y = Zahl ist waagr. AS Koeffizient größter Potenz oben (Zahl = Koeffizient kleinster Potenz unten' - Zählergrad > Nennergrad ➜ f(x) → ∞ für x → ±∞; keine waagr. AS 1 ● Beweis von waagr. AS: Bruch mit, ● Konfliktregeln: größte Potenz - e gewinnt immer - die höhere Potenz gewinnt immer - Logarithmus verliert immer erweitern 8 Berührpunkte zweier Kurven Berührpunkt B ist ein gemeinsamer Punkt beider Kurven: f(x) = g(xB) im Punkt B haben beide gemeinsame Tangente → gleiche Steigung: ƒ'(xß) = g'(xB) Extremwertaufgaben 1. Skizze 2. Größe, die extremal werden soll bestimmen 3. Term aufstellen mit Variablen 4. Nebenbedingung(en) formulieren (Anzahl NB = Anzahl Variablen -1) 5. Zielfunktion bestimmen (nur noch 1 Variable); Df angeben 6. Zielfunktion auf Extremwerte untersuchen 7. Ergebnis formulieren Funktionsscharen Funktionsgleichung mit Parameter neben den Parabeln; zu jedem Werk des Parameters erhält man eine Funktion → unendlich viele Funktionen Typische Aufgabe: Gemeinsame Punkte einer Schar f bestimmen 1. für den Parameter t zwei andere Variablen verwenden: fr(x) = f(x) 2. für r ‡ s die Schnittstelle berechnen (Parameter müssen rausfallen) 3. y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angeben Ortskurven: - geben Graphen an, auf dem eine bestimmte Art von Punkten der Scharenkurve liegen → z.B. alle Extremstellen oder Wendestellen 1. Koordinaten der Extrem-/ bzw. Wendepunkte in Abhängigkeit von t berechnen 2. x(t) nacht auflösen und in y(t) einsetzen 9 Geometrie Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren 1. Eliminieren der Variable x₁ aus allen anderen Gleichungen mithilfe einer Gleichung durch Äquivalenzumformungen 2. gleiches Verfahren mit den restlichen Gleichungen für die Variablen x₂, X3 ... Xn 3. schrittweises Auflösen der Gleichungen der Stufenform 4. Lösungsmenge bestimmen ● eine eindeutige Lösung: konkrete Werte - nur ein Punkt, also ist er der Schnittpunkt der drei Ebenen unendlich viele Lösungen: Parameter in der Lösungsmenge ● ● Vektoren Orts- und Verbindungsvektoren Ortsvektor: Vektor vom Koordinatenursprung 0(0|0|0) zum Punkt P(x₁|X₂|X3) 7X1 → p = OP ● - Lösung ist eine Geradengleichung; Gleichung ist Schnittgerade der drei Ebenen keine Lösung: leere Lösungsmenge - es gibt keine Punkte oder Geraden, die alle drei Ebenen gemeinsam haben Betrag ● Verbindungsvektor: Vektor, der zwei Punkte A(a₁|a₂|a3) und B(b₁|b₂|b3) verbindet b₁ (1)-() - 6-9) b₂ a2 = b3 → AB = ● die Länge des Vektors απ' a₂ gilt |a| = √√a² + a² + a² a3 für a = x2 \x3. Einheitsvektor: ABO Mittelpunkt Durchschnitt der Koordinaten von A und B m = 1. (a + b) 2 M (a₁ +5₂ | Skalarprodukt (α₁+b₁ | a₂+b₂|a3+b3 2 = 2 1 ABABAB = АВ à b = a₁b₁ + a₂b₂ + a3b3 • → Vektor der Länge 1 Orthogonalität: gilt ả · ☎ = 0, dann sind à und b orthogonal zueinander . Normalenvektor bzw. Kreuzprodukt Kreuzprodukt ist ein Produkt zweier nicht paralleler Vektoren und liefert als Ergebnis einen Vektor, der zu beiden Anfangsvektoren senkrecht ist (Normalenvektor) a2b3 − a3b2 ả × b = | a3b₁ – a₁b3 → wenn a × b = 0, dann sind à und b parallel zueinander \α₁b₂-a₂b₁₁ 10 Punkte Lage im Raum ● ● ● Geraden ● ● P(x₁|x₂|x3) Punkt P liegt in der ... Parameterform x = p + t u p = Stützvektor; t Richtungsvektor Aufstellen: Punkt A als Stützvektor, AB als Richtungsvektor ⇒ x = 0Ả+t AB ● - X₁ X₂-Ebene, wenn x3 = 0 - X2 X3-Ebene, wenn X₁ 0 - X₁ X3-Ebene, wenn x₂ 0 Punkt P liegt auf der ... - x₁-Achse, wenn x₂= x3 = 0 - X₂-Achse, wenn x₁= x3 = 0 -x3-Achse, wenn x₁= x₂ = 0 Überprüfen, ob auf einer Gerade oder Ebene: Punktprobe ● ● ▪ = = = gegenseitige Lage ● identisch: g = h - u = r. v→ Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander - Punktprobe positiv: Punkt von g liegt auch auf h (z.B. Stützpunkt) Parameter; u = parallel: g || h - ủ = r · v ➜ Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander - Punktprobe negativ Schnittpunkt: - ur. v - Geraden gleichsetzen und nach (2 versch.) Parametern auflösen → LGS - Parameter in g oder h einsetzen → Lösung ist Schnittpunkt windschief: - ur. v - nach Geraden gleichsetzen bzw. im LGS keine Lösung 11 Ebenen Formen ● ● Parameterform: E: x=ptruts - p = Stützvektor; & und ✓ = Spannvektoren (u / || E; π { v) ● Normalenform: E: [x − p] · ñ = 0 ● - p = Stützvektor; n Lage im Koordinatensystem ● Spurpunkte: (zur Zeichnung eines Schrägbildes) - Schnittpunkte einer Ebene mit der Koordinatenachse - Schnittgerade einer Ebene mit der Koordinatenachse: Spurgerade gegenseitige Lage ● Koordinatenform: E: ax₁ + bx₂ + cx3 - Normalform ausmultipliziert ergibt die Koordinatenform - Koeffizienten der Koordinatenform sind Koordinaten des Normalenvektors = identisch: E₁ || E₂ & E₁ E₂ - n₁ = k·n₂ → Normalenvektoren sind Vielfache voneinander - Punktprobe positiv: Punkt aus E₁ ist auf E₂ (z.B. Stützvektor) parallel: E₁ || E₂ - n₁ = k·n₂ → Normalenvektoren sind Vielfache voneinander - Punktprobe negativ ● orthogonal: E₁ ¹ E₂ - n₁n₂ = 0 • Schnittgerade: - n₁ = k·n₂ - Ebenen gleichsetzen und nach Parameter auflösen → LGS; Lösung gibt Schnittgerade an wenn Koordinanten- und Parametergleichung: Ebenenpunkt in andere Ebene einsetzen gegenseitige Lage von Gerade und Ebene parallel: E || g - NERV = 0 - Punktprobe negativ Gerade in der Ebene: Normalenvektor (n 1 E; Kreuzprodukt von u x v) = d 1. Spurpunkte berechnen: →x₁-Achse: S₁ mit x₂= x3 = 0 ➜ S₁ (x₁|0|0) → x₂-Achse: S₂ mit x₁= x3 = 0 ➜ S₂ (0|x₂|0) →x3-Achse: S3 mit x₁= x₂ = 0 ➜ S3 (0|0|x3) 2. Spurpunkte einzeichnen 3. Spurgeraden einzeichnen: zwei Spurpunkte verbinden → falls kein Dreieck: zu Parallelogramm ergänzen - NE· RV₁ = 0 - Punktprobe positiv (z.B. Stützvektor von g in E) ● orthogonal:: Elg - NE = k·RVg Schnittpunkt: -ng #k. RV₂ - Schnittpunkt berechnen: g als allgemeiner Punkt in E einsetzen; Lösung des Parameters in Gleichung einsetzen und Schnittpunkt ausrechnen 12 Abstandsberechung Punkt-Punkt Betrag des Verbindungsvektors → |AB| Punkt - Ebene ● Hesse'sche Normalenform: E: [x − p] n Abstand d (R; E) = |[ř − p] bei E: A₁x₁ + A₂x₂ + A3x3 = b ⇒ d (R; E) = ⁄ · |a₂r₁ + A₂r₂ + A3r³ − b| |n| Punkt - Gerade 1. Hilfseben H aufstellen mit H 1 g (RV als n) und R € H (R als Stützvektor) 2. Lotfußpunkt berechnen: Schnittpunkt L der Gerade g mit der Hilfsebene H 3. _d (R; g) = |RL| → Länge des Verbindungsvektors parallele Geraden Abstand eines Punktes Pe g₁ zur Gerade 9₂ ● weiteres Vorgehen wie: Punkt - Gerade ● cos(a): = parallele Ebenen ● Abstand eines Punktes På E₁ zur Ebene E₂ → Stützvektor ● weiteres Vorgehen wie: Punkt - Ebene Gerade - Ebene Abstand eines Punktes Pe g zur Ebene E → Stützvektor ● weiteres Vorgehen wie: Punkt - Ebene Winkelberechnung Skalarprodukt à b = 0 → Vektoren sind orthogonal zueinander; 90° . Winkel zwischen Vektoren Winkel zwischen Geraden = . a. b [a]·|b| |n| → 0≤ a ≤ 180° ● sin(a)= = 0 = = Stützvektor |ū.v| cos(a) → wenn a < 90°: a' = 180° - α [u].|v| Winkel zwischen den Graphen g und h entspricht Winkel zwischen den Richtungsvektoren u und v NERVg| [nEl·|RVg| Winkel zwischen Ebenen |NE® NF| cos(a) [NE.INF Winkel zwischen den Ebenen E und F entspricht Winkel zwischen den Normalenvektoren ng und n Winkel zwischen Gerade und Ebene → wenn a < 90°: a' = 180° - a → wenn a < 90°: a' = 180° — a ● Winkel zwischen der Ebene E und der Gerade g entspricht Winkel zwischen dem Normalenvektor ng und dem Richtungsvektor RV 13 Spiegelungen Punkt an Punkt • OP = OZ + PZ oder OP' = OP + 2 · PZ Punkt an Gerade 1. Hilfseben E mit E 1 g (RV als nº) und P € E (P als Stützvektor) aufstellen 2. Lotfußpunkt berechnen: Schnittpunkt L der Gerade g mit der Hilfsebene E 3. OP = OL + PL oder OP = OP + 2 · PL Punkt an Ebene 1. Hilfsgerade g mit g 1 E (nº als RV) und P € g (P als Stützvektor) aufstellen 2. Lotfußpunkt berechnen: Schnittpunkt L der Hilfsgerade g mit der Ebene E 3. OP = OL+PL oder OP' = OP + 2. PL Gerade an Ebene 1. Schnittpunkt S von der Gerade g und der Ebene E berechnen →g in E 2. Punkt P an S spiegeln: OP' = OS + PS oder OP' = OP + 2 · PS Ebene an Ebene 1. Schnittgerade g der beiden Ebenen → LGS 2. Spiegeln eines Punktes P an der Ebene (aber nicht auf der Schnittgerade) → P' 3. Ebene mit P' und Schnittgerade s ist die gesuchte → P' als Stützvektor; Stützvektor der Gerade g minus P' als Richtungsvektor; Richtungsvektor der Gerade g als zweiter an den x-Achsen jeweilige Werte mit −1 multiplizieren (die Werte, an denen nicht gespiegelt wird) an den Koordinatenebenen ● jeweiligen Wert mit -1 multiplizieren 14 Stochastik Wahrscheinlichkeitsverteilung ● legt die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse fest Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis ist größer oder gleich null Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ergibt 1 (oder 100%) ● Ereignisoperationen ● in A oder B Gegenereignis: P(Ē) = 1 − P(E) Systematisierung der Fälle zum Urnenmodell alle direkten möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments bilden die Ergebnismenge S Pfad- bzw. Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen Pfades multipliziert Summenregel: ● Vereinigung: A UB ● Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert ● Schnitt: An Bin A und B ● ● ohne Zurücklegen mit Zurücklegen Erwartungswert gibt den durchschnittlichen zu erwartenden ,,Gewinn" einer einzelnen Durchführung des Zufallsexperiments an, wenn man dieses sehr oft durchführt E(X) = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X = x₂) + ··· += Σi x¡ · P(X = x;) für ein faires Spiel gilt: E(X) = 0 im Histogramm: höchste Säule bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, wenn man weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist Pa (B) ohne Reihenfolge mit einem Griff: (1) (n − 1 + k) = → PÂ(B) = P(B) ➜ P(A n B) = P(A) · P(B) P(ANB) P(A) P(An B) = P(A) · PÂ(B) Unabhängigkeit: zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst Vierfeldertafel mit Reihenfolge n! B B (n - k)! nk A P(An B) P(An B) P(A) A P(ANB) P(An B) P(Ā) P(B) P(B) 1 15 Laplace-Experimente → alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge: 1. prüfen, ob alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben 2. prüfen, ob die gezogenen Kugel zurückgelegt werden muss 3. Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten, von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen → () ● 4. Berechnung der Anzahl der günstigen Möglichkeiten, k Kugeln zu ziehen 5. Quotient aus den Ergebnissen des 4. und 3. Schritts Wahrscheinlichkeit für Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge: 1. prüfen, ob jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt 2. prüfen, ob die gezogene Kugel zurückgelegt werden muss 3. Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten, von n unterschiedlichen Kugeln nacheinander genau k Kugeln zu ziehen 4. Wahrscheinlichkeit für genau eine günstige Anordnung angeben Anzahl für A güstige Ergebnisse ⇒ P(A) = Anzahl überhaupt mögliche Ergebnisse Binomialverteilung Bernoulliexperiment Zufallsexperiment mit nur 2 möglichen Ausgängen bzw. Ergebnissen Bernoullikette das gleiche Bernoulli-Experiment wird n-mal durchgeführt Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant; Ergebnisse sind unabhängig voneinander Formel von Bernoulli: P(X = k) = (2) · p¹ ⋅ (1 − p)n-k . n = Anzahl der Pfade; k = Anzahl der Treffer; p = Wahrscheinlichkeit ● Bezeichnung von Bn;p Erwartungswert: E(X) = µ = n • p ● Standardabweichung: 0 = n.p.(1-p) Sonstiges: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) & P (2 ≤ X ≤ 4) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 1) Rechentrick: (132) 12.11.10 3.2.1 = 220 = Signalwort genau / exakt X = k Binom. Dichte Тур WTR höchstens / maximal X ≤k Kumul. Binom. V. mindestens / minimal X≥k Gegenereignis X ≤ k − 1 Kumul. Binom. V Histogramm graphische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung als Säulendiagramm nimmt eine binomialverteilte Zufallsvariable den Erwartungswert bzw. die benachbarte ganze Zahl an, so erhält man die größte Wahrscheinlichkeit → Maximum im Histogramm Vorgehen 1. Treffer ... 2. Zufallsvariable X gibt Anzahl Treffer an und ist Bn;p verteilt 3. gesuchte Wahrscheinlichkeit mathematisch ausdrücken → z.B. P(X ≤ 3) ≤ 0,9 4. mit WTR fehlenden Parameter bestimmen; zwei Werte angeben 5. Lösung formulieren 16 Einseitiger Hypothesentest zum Überprüfen einer Hypothese mit einem Test und Berechnung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit ● ● als Entscheidungshilfe für die Ablehnung der Nullhypothese Ziel: Ablehnung der Nullhypothese Ho Linksseitiger Test Nullhypothese Ho: p = Po/p≥ Po Gegenhypothese / Alternative H₁: P₁ < Po Ablehnungsbereich K = {0; 1; ... g} →g: größtmögliche natürliche Zahl mit P(X ≤ g) ≤ x Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit → dass man mit der Ablehnung falsch liegt man gibt sich die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit vor → Signifikanzniveau Rechtsseitiger Test Nullhypothese Ho: p = Po / p ≤ Po Gegenhypothese / Alternative H₁: P₁ > Po Ablehnungsbereich K = {g; g + 1; ... n} →g: kleinstmögliche natürliche Zahl mit P(X ≥ g) = 1 − P(X ≤ g − 1) ≤¤ Entscheidungsregel: Wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird Ho verworfen, ansonsten nicht. Vorgehen 1. Treffer ... 2. Zufallsvariable X gibt Anzahl Treffer an 3. Nullhypothese Ho: P = Po 4. Angenommen Hå sei wahr, dann ist die Zufallsvariable X im Extremfall Bn;p verteilt 5. Gegenhypothese H₁:1 1: P₁ < oder > Po Die Nullhypothese Ho wird bei großen / kleinen Trefferzahlen zugunsten H₁ abgelehnt. Es handelt sich um einen rechts-/ linksseitigen Test mit dem Ablehnungsbereich K = {...}. 6. Ansatz: P(X ≤/≥ Grenze von K) ≤¤ Fehler beim Testen von Hypothesen ● Ho wird verworfen Ho wird nicht verworfen ● Ho ist wahr Fehler 1. Art richtige Entscheidung Ho ist falsch richtige Entscheidung Fehler 2. Art Fehler 1. Art Irrtumswahrscheinlichkeit → Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist → mit Po Fehler 2. Art → nur berechenbar, wenn tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit p₁ bekannt ist → Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie falsch war Schlüsselbegriffe Aussagen mit „und“: A und B → P(A) · P(B) Aussagen mit ,,oder": A oder B⇒ P(A) + P(B) Anzahl der Möglichkeiten → Urnenmodell, Baumdiagramm Anzahl der Zufallsgröße mit „genau“, „mindestens“, „höchstens“ → Binomialverteilung „wird durchschnittlich erwartet“, „Erwartungswert“ ⇒ Wahrscheinlichkeitsverteilung, für Binomialverteilung E(X) = n⋅p „Faires Spiel“ → Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E(X) = 0 „getestet“, „Ablehnungsbereich“, „Irrtumswahrscheinlichkeit“, „Hypothese“, ,,Entscheidungsregel" → Hypothesentest 17