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Mathematik ABI Zusammenfassung

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 ANALYSIS
Gleichungen
●
●
binomische Formeln:
- (a + b)²
= a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a − b)
a²b²
=
lineare Gleichun

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ANALYSIS Gleichungen ● ● binomische Formeln: - (a + b)² = a² + 2ab + b² - (a - b)² = a² - 2ab + b² - (a + b)(a − b) a²b² = lineare Gleichungen: ax + b = c - mit Äquivalenzumformung beide Seiten umformen quadratische Gleichungen: ax² + bx + c = 0 -b+√b²-4ac 2a - MNF: x = - falls c = 0 ausklammern - falls b 0 ➜ nach x² auflösen und Wurzel ziehen Biquadratische Funktion: Substitution - aus ax + bx² + c = 0 entsteht durch Substitution x² = - Lösen der Gleichung: az² + bz + c = 0 - Rücksubstitution: z = x² ● Bruchgleichungen: - Multiplikation mit dem Hauptnenner oder nacheinander die Nenner - umformen N - nach x isolieren - überprüfen, ob Lösung im Definitionsbereich liegt (z.B. nicht durch 0 teilen) ● Potenzgleichungen: ax" = b - Auflösen nach der Potenz - Lösung durch Potenzierung mit dem Kehrwert des Exponenten ● Exponentialgleichungen:. e* = b - ln(b) = x - Anwendung des In(...) - ex = 0; eº = 1; ln(1) = 0 trigonometrische Gleichungen: - unendlich viele Lösungen für x, außer Festlegung eines Intervalls - mit dem Taschenrechner: Umkehrfunktion von sin-¹, cos-¹, tan-¹ - es gibt neben dem durch den Taschenrechner erhaltenem Ergebnis noch weitere Lösung(en) → + 180 ° (abhängig von der Periodenlänge) - sin²x + cos²x = 1; tan(x) sin(x) cos(x) sin(x) = cos (x weitere Methoden: = Ausklammern → Anwenden des Distributivgesetzes a·b...

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+ a c = a (b + c) Satz vom Nullprodukt → ein Produkt gibt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist → jeden Faktor ,,= 0 setzen und ausrechnen 1 Ableitungen Ableitung Steigung ≈ momentane Änderungsrate Differenzenquotient bzw. momentane Änderungsrate f(x)-f(a) x-a Summenregel f(x) = g(x) + h(x) • f'(x) = g'(x) +h'(x) Faktorregel • f(x) = c g(x) f'(x) = c. g'(x) Produktregel ● → Steigung der Sekante durch den Punkt A(a|f(a)) und P(x|f(x)) ● • • Kettenregel u • v ● f(x) = u(x) · v(x) ƒ¹(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) Potenzregel f(x) = u(v(x)) f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) ● f(x) = x² ƒ'(x) = r • x²−1 Tangentensteigung Ay ƒ'(x) = m = Ax ƒ'(a) = lim x→a grafische Ableitung f(x)-f(a) x-a ● Stellen mit Extrempunkten von Kf sind Schnittpunkte mit VZW von K mit der x-Achse Stellen mit Sattelpunkten von Kf sind Berührpunkte von Kè mit der x-Achse ● Stellen mit Wendepunkten von Kf sind Extremstellen von Kf Abschnitte, in denen Kf steigt, verläuft Kf oberhalb der x-Achse Abschnitte, in denen Kf fällt, verläuft Kå unterhalb der x-Achse Name e-Funktion Sinusfunktion Kosinusfunktion f(x) ex sin(x) cos(x) Logarithmusfunktion |In(x) ƒ'(x) ex cos(x) -sin(x) X x > 0 2 Integrale Stammfunktionen Stammfunktion F zur Funktion f ist eine Funktion, deren Ableitung f ergibt F'(x) = f(x) ⇒ F(x)₁ = F(x) + c für Stammfunktionen gelten die gleichen Regeln wie beim Ableiten ● f(x) xn 1 X 2x e sin(x) cos(x) a. (kx + b)n ● ● ● F(x) 1 ● n+1 In|x| + c (kx + b)n+¹ k Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ſº f(x)dx = [F(x)] = F(b) – F(a) b Flächeninhalt Mittelwert ex + c -cos(x) + c sin(x) + c a n+1 xn+1 begrenzter Flächeninhalt: - A = f f(x) dx Fläche zwischen zwei Graphen: → lim (-¹ + C-8 C + c - →Untersuchung von ¹₁0/12/2dx: ²2/1/2 dx x2 - A = f(f(x) = g(x))dx - ,,oberer Graph f minus unterer Graph g“ unbegrenzte Fläche: 1. Variable als Grenze auf der ins ∞ reichende Seite einführen + c = 1) = + 1) = 0 + 1 = 1 rekonstruierter Bestand f(x) a.xn 1 k.x+b a. ek.x+b a. sin(b. x) a · cos(b. x) F(x) 1 B(to +A t) = B(to) + R ·▲ t - B(to): Bestand zum Zeitpunkt to - A t: Zeitraum - R: Änderungsrate für den Zeitraum ▲ t n+1 1 k a k α b 1 C 3. Grenzübergang: c in Richtung der ins ∞ reichende Seite laufen lassen - mögliche Fälle: c → ∞; c ⇒ −∞; c c → Definitionslücke /-rand + 1 → 1 für c→ ∞ 2. Fläche bis zu variablen Grenze bestimmen (Integration, Einsetzen, Umformen) C → 5² 1/2 dx = [-²] ₁ +1 Ink x + b + c ek.x+b + c a ·•·a·xn+¹+c b cos(b.x) + c sin(b.x) + c Mittelwert meiner Funktion f auf einem Intervall [a; b], d.h. Mittelwert aller Funktionswerte f(x) über diesem Intervall 1 m = ¹ f f(x) dx — b-a a 3 Funktionen ganzrationale Funktionen ● f(x)=1/x -4 f(x)=x^2 ● Definitionsbereich D = R \ {0} -4 Potenzfunktionen -4 f(x)=e^x -3 -4 Ņ & f(x)=-e^(x) -2 7 |N --3 -1 Exponentialfunktionen -2 +2 +1 --2 -3 ex verläuft oberhalb der x-Achse schneidet y-Achse in Y(0|1) x-Achse ist waagrechte Asymptote f(x) = ex A --3 """ y -4 1 9 3 -1 3 f(x) = x) = 1/1/1 X 4 f(x) = x² f(x) = −ex f(x)=1/(x^2) f(x)=x^3 -4 -3 f(x)=e^(-x) -3 t f(x)=-e^(-x) -3 H₂ g N 4 1 JT A N PT 11 --3 y -4 -3 F₁ -2 y -3 +2 1 font- X f(x) = -1/ x² f(x) = x³ f(x) = ex- f(x) = -e-x 4 Logarithmische Funktion ● schneidet x-Achse in X(110) ● y-Achse ist senkrechte Asymptote f(x)=In(x) ● ● -4 ● -3 V. -4 1 trigonometrische Funktionen Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodisch y -4 3 +2 Periode: p f(x)=sin(x) ∞ viele Nullstellen: - sin(x) = 0 für x = k· π πT - cos(x) = 0 für x = + k. π 2 sin (x) cos (x) tan(x) Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung: sin(-x) = − sin(x) Kosinuskurve ist achsensymmetrisch zur y-Achse: cos(-x) = cos(x) Amplitude: a = → a gibt Streckung in y-Richtung an 2 2πT 2 = b allgemeine Sinus- bzw. Kosinusfunktion: wichtige Werte: α X f(x) = ln(x) f(x) = a · sin(b(x − c)) + d bzw. g(x) = a · cos(b(x − c)) + d → a= Amplitude; b = Teil der Periode; c = Verschiebung in x-Richtung; d = Verschiebung in y-Richtung 3 -1 A →p gibt Streckung in x-Richtung an 0° 0 0 1 0 30° |元-6 1-2 π = √3 1 √3 f(x) = sin(x) 45° π 4 1 ¹-√2 2 = √2 2 P f(x)=cos(x) y -4 ¹√√3 2 3 +2 60° -2 اداس 3 HIN3 √3 90° π 2 √√4 = 1 0 1 2 f(x) = cos(x) 5

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