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Matrizen
14.3.2020
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Mathe GFS Matrix GFS Matrizen Multiplikation von Matrizen: b1 b12 b21b22 b31 b32) C11= a11*b11+a12*b21+a13*b31 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a21 a22 a23 Beispiel: 4 (32 & 3) 5 (b₁1 b12) b21 22 b31 032/ (5 X 2 5 Die Einheitsmatrix: - neutrales Element der Matrizenmultiplikation - quadratische Matrix 0 G D G D 0 Die inverse Matrix: A = 4 21 6 5 = 8 4 D = = Ja11 a12 la21 a22 = a11 a22-a12 C11 C12 = (021 022) Matrizen C11 C12 C21 C22, - ordnet jeder Matrix eine Zahl zu zweireihige Determinante: a12 a21 a22 *221 Mathe (33 52 34) 20 38 29/ Bedingung für die Multiplikation: Anzahl Spalten (A) = Anzahl Zeilen (B) a11 a12 a13 a21 22 23 Die transponierte Matrix: - aus Zeilen werden Spalten - (²) 4 0 3 A = (²₁ 9) 4 anl a21 (b11 b12) b21 b22 = b31 632) AT=3 - inverse Matrix = Kehrmatrix - Matrix (A) x inverse Matrix (A-¹) = Einheitsmatrix (²1)×(x²1x12) = 69 - Nur quadratische Matrizen können eine inverse Matrix besitzen Die Determinante: a12 a13 a11 a12 an am a A22 a31 a32 a33 a31 a32 (AT)T = (²₁ A dreireihige Determinante: (23 =a11 -a31 4 a22 *222 02.07.2015 C11 C12 C21 C22 9) =A A-¹ *223 *223 -a32 *a₁1-a3 *221 *221 *232 *212 Gliederung Multiplikation von Matrizen Übungsaufgabe Einheitsmatrix ▸ Inverse Matrix Transponierte Matrix Übungsaufgabe Determinante O Multiplikation von Matrizen ▶ A x B = C ▸ Bedingung: - Anzahl Spalten (A) = Anzahl Zeilen (B) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a21 22 23 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b11 b12 b21 b22 b31 b32 = = (b₁1 b12) b21 b22 = b31 b32, C₁₁ C₁2 C₁1a₁₁ × ₁₁ + a₁2 x b₂₁ = x C11 C21 C22 + a₁3 x b31 C11 C12 €21 C22 C11 C12 C21 C22 U.S.W. Übungsaufgabe Multipliziere die Matrizen: 1) 9 2 5 9 c11 A=(²53); B = (8²) (²3) × (82) = (²1 (22) X (c11 4 C₁₁ C₁2 = 5*2 + 9*4 12 C₂1 C22 = = 5*8 +...
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Alternativer Bildtext:
9*0 = 40 46 = 3*8 + 5*0 = 24 3*2 + 5*4 = 26 5 9 2 (²33) × (84) - X 0 40 (2426) (5 4 2 3 4 2) A= ( 2² ²² 6); B= ( 2 6 5 & 5 5 8 4 C₁1 C₁2 C₁3 C₂1 C22 C23 = = = = = = = 3*5 + 4*2 + 2*5 33 3*4 + 4*6 + 2*8 = 52 3*2 + 4*5 + 2*5 = 34 2*5 + 5*2 + 0*5 20 2*4 + 5*6 2*2 + 5*5 = A * B = (C11 = 38 = 29 3 4 2 5 4 2 265 (33 (² ÷ 3) × (² ÷ 5) - (8 52 340) = 2 5 20 38 29. 5 8 4 c12 c13 c22 c23. Einheitsmatrix ▸ Neutrales Element der Matrizenmultiplikation ▸ Quadratische Matrix ▸ Form der Einheitsmatrix: 1 0 0 ( 9 ( ; 9) 0 10 0 0 1 ‒‒‒‒ Inverse Matrix ▸ Inverse Matrix Kehrmatrix ▸ Matrix (A) * inverse Matrix (A-¹) = E ▸ Nur quadratische Matrizen können eine Kehrmatrix besitzen (3 7 1) X = x12) = (19) x11 x12 x21 x22. Transponierte Matrix ▸ Aus Zeilen werden Spalten ▸ Zweimaliges Transponieren Ausgangsmatrix 2 3 A = (²₁³9) 1 4 5. AT = = 2 (31) 4 5 (AT)T = (²₁₂₁₂₁² ₁ = (²₁ ³ 9) = A 2 3 Übungsaufgabe Berechne die inverse Matrix zu: 3 A = (²2² ₂²¹) A (3 4 ) × (x²1 A-¹ x12 x 22 x2²2) = (19) 3x11 + X21 = 1 7x11 + 4x21 = 0 3x12 + X22 = 0 7x12 + 4x22 = 1 Lösung X21 = -7/5 X₁1 A-1 0,8 = 4/5 = 1/(43) 5 -7 X22 = 0,6 = 3/5 X12 -0,2 = -1/5 Determinante Die Determinante ordnet jeder Matrix eine Zahl zu Zweireihige Determinante: all a12 a22. A = (a112 a21 D = |a11 la21 a12 a221 *222 = a₁₁*a₂2 *221 a12 Dreireihige Determinante: 5 712 5 = 43 1 1 2 6 312 6 D: = 232 a11 3 d12. €13. a11 2X1 α₂1 €21 022 €23 A31 €32 €33 a31 €12 €22 €32 + 2*1*3 + 5*4*2 + 7*3*6 2*1*7 - 6*4*2 - 3*3*5 = 65 - =a11 *222 = a31 +a₁ 233 12 *223 *231 +a13 *221 *232 *a*a12 Übungsaufgabe Berechne die dreireihige Determinante: 11 2 3 4 5 6 = 0 17 8 91 D = → 1*5*9 + 2*6*7 + 3*4*8 - 7*5*3 - 8*6*1 - 9*4*2 LGS mit Determinante Lösen -> inverse Matrix berechnen 3x11 + X21 = 1 7x11 + 4X21 = 0 Schritt 1: (3x11 1x2111) 4x210. D Schritt 2: 13 - =1²₂ 41 = 7 = 5 Schritt 3: (3x11 1x21|1 7x11 4x2110 D₁ = || | → 4 3 D₂= | ³² | → →−7 7 0 X11 Schritt 4: = ¹ ×D₁ X11 = 1 5 × 4 1 X21 = X (-7) × 3x12 + X22 = 0 7x12 + 4x22 = 1 Schritt 1: 3x12 x22 7x12 4x22|1 2/2/219) Schritt 3: D₁ = | ₁₁ 1 41 13 D₂ = 1³² 1 17 1 = -1 = 3 Schritt 2: 3 D=1²³ 11 = 5 7 4 Schritt 4: ×12 = -√ × (−1) ×22=²×3 Quellen ▸ Bücher: O ,,Prüfungsstoff kompakt Abitur-Wissen Mathematik" ,,Abitur Wissen Mathematik Analytische Geometrie und Lineare Algebra" ► http://www.mathematrix.de/thema/matrixrechnung/ ► http://www.mathebibel.de/matrizenrechnung