Mittlere und momentane Änderungsrate

Diese Seite erklärt die Konzepte der mittleren Änderungsrate und der momentanen Änderungsrate in der Mathematik.

Die mittlere Änderungsrate wird als durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten definiert. Sie wird mit dem Differenzenquotienten berechnet:

Formel: Mittlere Änderungsrate = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Ein zeichnerisches Beispiel wird für das Intervall [2,7] gegeben, wobei die Punkte P(2,4) und Q(7,7) verwendet werden.

Für die rechnerische Berechnung wird folgende Formel verwendet:

Formel: (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

Ein Beispiel wird mit der Funktion f(x) = 3x³ + 1 im Intervall [0,2] durchgeführt.

Die momentane Änderungsrate wird als Ableitung an einer bestimmten Stelle definiert. Sie wird durch Grenzwertbildung mit der h-Methode bestimmt:

Definition: Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0.

Ein detailliertes Beispiel wird für die Stelle x₀ = 2 gegeben. Dabei wird der Differenzenquotient umgeformt, um zu erkennen, gegen welchen Wert er für h → 0 strebt.

Beispiel: Für f(x) = x² - 2 an der Stelle x₀ = 2 ergibt sich:

Differenzenquotient = (4 + 4h + h² - 4) / h = 4 + h

Grenzwert für h → 0: 4 + 0 = 4

Highlight: Eine Funktion ist an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert.

Die Seite enthält auch grafische Darstellungen zur Veranschaulichung der Konzepte.