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Monotonie
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Lena
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Was ist Monotonie? beschreibt das Steigungsverhalten Streng monoton steigend Eine Funktion ist streng monoton Steigend, wenn die Funktionswerte größer werden, wenn die x-Werte größer werden. X₁ < X₂ → f(x₁) < f(x₂) f'(x) >0 -A y -5 -4 3 -2 ·1 M .-3 ^ f'(x) >0 3 /f'(x) <0 4 '5 f(x) < X monotonie X2 Monotoniesatz Gilt in einem Intervall: f'(xol >0, dann ist f streng monoton steigend f'(xol <0, dann ist f Streng monoton fallend 1. die erste Ableitung von f bestimmen 2. die Nullstellen dieser Ableitung berechnen 3. Vorzeichen von f'(x) rechts und links neben den Null stellen untersuchen a. Einteilen in Intervalle b. Einsetzen eines Wertes aus dem Intervall in die Ableitung C.-ist f'(x) in diesem Wert größer O, ist f Streng manoton steigend -ist f(x) in diesem Wert kleiner O, ist f Streng monoton fallend 3. Streng monoton fallend Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn die Funktionswerte kleiner werden, wenn die x-Werte größer werden. X₁ < X₂ → f(x₁) > f(X₂) -3 -2 -1 y steigend He x<0 f'(-1)=-3 <0 s.m. fallend S 4 ·1 -1 fallend Bsp 1. 2. h 2 3 4 TP X^ x=0 0 f(x) 's > Eine Funktion auf Monotonie untersuchen Steigend X X2 0<x<2 f' (1) = -1 <0 Streng monoton steigend: X<X₂ folgt f(x₁) <f(x₂) f(x)=x²-3x³ f'(x) = x³ - 2x² f'(x)=0 0-x³-2x² x²(x-2) X²=0 oder x-2-0 X₁1₁=0 und X₂=2 s.m. fallend Streng monoton fallend: X₁ X₂ folgt f(x₁) > f(x₂) x=2 0 x>2 f'(3)=9 >0 S.M. Wachsend
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