MSA Themensammlung und Erklärung

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multiplizieren bsp: 2 22 2 14 = 2 1 Beispielaufgaben 1) 14 Menschen sind 20% einer Gruppe, wie viele Menschen gehören insgesamt zu dieser?! Zinsrechnung / wichtige Begriffe und Formeln. | Kapital (k)-2-100 Zinsen (2) Prozentwert 100 Zinssatz (p) Prozentsatz = 2 100 | Tage (n) = 360 T Beispielaufgaben 11) Lilli hat ein Sparguthaben zu einem Zinssatz von 4.5% angelegt. Im Jahr erhält sie 540€ Zinsen. 1 geg₁ p%= 4.5% 2.540€ ges: K Rechnung 1 I I 1 1 T 1 € oder: 4.5 540 5,4 1 12) Roberta hat bei der Kasse 8 500 € angelegt. Ihr Zinssatz beträgt 4%.. Wie viel Zinsen erhält sie jährlich? I 1 T 1 1 I 100 12.000 geg: K= 8.500€ p/-4% ges: 2 Rechnung. % € oder: 2 100 8500 1 85 4 340 K= 2.100 P K-540-100 4,5 K= 12.000 13) Ich erhalte jährlich für mein Guthaben von 1 I 6000 € 180€ Zinsen. Wie hoch ist der Zins- satz? T 1 geg: K-6000€; 2- 180 € ges: p/ Rechnung: 6000 100 1 60 180 3 8800-4-340 Z=100 2. 100% oder: P/= K 180-100 p/ 6000 -3% Terme und Gleichungen Binomische Formeln (a+b)(a+b) = (a + b)² (a+b)² = (a+b) (a+b) - a.a+a·b+ba+b.b a²+ab+ab+b² (a+b)²=a²+ 2ab + b² (a-b) (a-b)=(a-b)² (a-b)² = (a-b) (a-b) a-a-ab-batbb a²-ab-ab+b² la-b)²=a².2ab+b²³ (a+b) (a-b) a²-b² (a+b)(a-b)= (a+b) (a-b) a²-ab+ba-bib a²-ab+ab-b² (a+b) (a-b)-a²-6² Potenzen und Wurzeln 24 Exponent / Mountaul 3. Basis / Grundzah Rechenregeln 1. 0²=1 2. a²a²a¹ 4a²a² (ab) 6. d²:6² (A) 6. (a) as Wissenschaftliche Schreibweise: 942.83 0,000138 3 Milliarden 0.0000018 (Wurzeen) (√) = a Ja. Jo-√a·b - № rJa+sJa= (r+s) Ja 9,4183-10° rechts veran) = 1.38.10 (Komma nach 3.10 s 1.8.10 1. Formel (komma nach rechts version) Arten einer Gleichung - mit 1 Variable 2. Formel Wurzeln u. Potenzen umformen -3. Formel Distributivgesetz Lbp √5-√√55.5²-25+ √5² = √625²-25 algemeine Form (ax+b-0). ab- reelle Zahlen x = Variable -mit 2 Variablen (ax +by=c) a,b,c reelle Zahlen. x.y-Variablen >Wurzel √Radikand Lineare Gleichungen Gleichungen in denen alle variablen linear in der ersten Potene vorkommen bspw: 0-4x-7₁30. 6-1x+3 3x4=21+4 3x =6 1:3 >2 X mit mehreren Variablen bspw: 17x+3y= 29.8m+ 1 rechnerisches Beispiel LLösung Gl. mit 1 Variable). Quadratische Gleichungen 1. Allgemeine Form T I T I Lösungswege -Satz v. Vieta 1 → sind x₁ U. x₂ Lösung einer quadratischen Gleichung (x2+px+q=0) 30 git p=-(x₁+x₂) u. q- x₁-x₂ -ausklammern →ax² + bx=0!x ausklammern. 1 T ax² + bx + c = 0 2. Normalform x² + px + 9.0 lösen mit d. p-9-Formel T T T Lineare Gleichungssysteme ↳bspx²50 9--1.5 X1-1 p=-1-1+5) x2=5 xla.x+b)=0 Ola 0+b) 0 x1 =0 1 1 (a-x+b)=0 1-b a.x=-b 1:a X2= - - mit Binomischen Formeln T rechnerisch lößen 1. Gleichsetzungsverfahren I. II I¹y=x+3 x+3x+5 1-3 II: y=-x+5 x =-x+2 |+x 2x = 2 1:2 f(x)=1.5x+15 f(x) = -0,5x+3 Plxly) 12. Einsetzungsverfahren I in II 1. eine der Gleichungen nach Variable auflösen 2. diese in andere Gleichung einsetzen. 3. die 2. Variable mithilfe d. Gleichung bestimmen. X = 1 X= {x\x} 13 3. Additions verfahren It II I: 2x-y=1 II:y-x=1 4. Ergebnis in eine der Gleichungen einsetzen v. andere berechnen Seite 1. Liina 10c 1. Gleichung um formen, sodass bei d. Addition d Gleichungen eine Variable elemeniert wird. 2. danach: Au addieren. 3. errechneten Wert in Ausgangs gleichung einsetzen bsp: 2x-y+y-x=1+1 2.2-y=1 2x-x-2 x=2 4-y=11-4 -y=-3 1-(-1) y=3 (Lösung Gl. mit 2 Variablen) 75x-7y=35 1-5x -7y=-5x+35 1:(-7) y=x-5 graphisch lösen 1. Gleichung in ax+b=0 Form bringen L>bsp: 3x-4-2 1-2 3x-6-0 2. x Stelle bestimmen an der yo 0 ist X-{213} 01 Themen: Zahlen und Zahlenbereiche S.1. -Kenntnis d. Zahlenbereiche (N. 2. Q, R) •Bruchrechnung Terme und Gleichungen S.1 -Binomische Formeln ·Potenzen und Wurzeln -Lineare Gleichungen. -Quadratische Gleichungen -Lineare Gleichungssysteme Prozent und Zinsrechnung S.1. Funktionen S.2 -Grafik lesen u. interpretieren -Proportionale u. Antiproportionale Zuordnungen -Lineare Funktionen -Quadratische Funktionen -Exponentielle Prozesse Flächen- u. Körperberechnungen S.2 -Winkel -Dreiecke, Vierecke. Vielecke, Kreise -Strahlensätze -Satz d. Pythagoras -Trigonometrie -Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel, Kugeln Statistik S.2 -Darstellungen -Mittelwerte u. Streumaße -Boxplots Exponentielle Prozesse (Funktionen) Normalform: f(x)= c.a* -a+1 -C wie y-Achsen abschnitt -0 -a-1 exponentielle Zunahme. -a<1 exponentielle Abnahm log (6) -b-a² →loga (6) logia) Halbwerts-/Verdopplungszeit loga / 9³1 T-108² a<1 T logo.s Beispielmodelle E-Funktionen: ungestörter Wachstum N(4)=ce K-0 c. Anfangsbestand bei +-0 k-beeinflusst Wachstums geschw. N' Wachstumsrate. (T₂² #² = Verdopplungszeit) ungestörter Zerfall ~(t)= cek k=0 c= Anfangsbestand bei t=0 T₁/₂ = 140 Halbwertszeit begrenzter Wachstom -kt Nit) = atbe k-0 a + b = Anfangsbestand positiv negativ Abkühlungsprozess Tit)=a+b-e- k>0 a+b-Anfangstemperatur arumgebungstemperatur Funktionen Quadratische Funktionen. faxlay Allgemeine Form: f(x) = ax² +bx+c Normalform: f(x)=x²+p.q+c positiv Normal parabel (((x)=x²) -symmetrisch zur y-Achse -durch den Ursprung -nach oben geöffnet Scheitel punked form (f(x)= a (x-d)² +e) Scheitelpunkt S(die) aöffnen,strecken, stauchen -a<0 nach oben geöffnet. - a>0 nach unten geöffnet. b= Verschiebung x/y Richtung bum 1 erhöhen: -za Verschiebung nach links (x) 4. Verschiebung nach unten (y) Allgemeine Form Verschiebung. Stauchung, Streckung i Parameter: I do i-d-0 Einheit nach links i-d<0 Einheit nach rechts T le. 1-e-0 Einheit nach oben 1-e-0 Einheit nach unten. Anti-u proportional | jegrober x, desto grober x je größer x, desto kleiner y Statistik Darstellungen Boxplot 1 I Lineare Funktionen f(x)=y ! f(x)= m.x+b min | m: Faktor (Koeffizient) -Steigung d. Geraden 1 I 1x: unabhängige Variable -Argument a. Funktion Schnittpunkt berechnen Funktionsgleichung b um 1 reduzieren. -za Verschiebung nach rechts (x) ! gleichsetzen - 2060 ^ Verschiebung nach oben (y) 1/2 x-Wert ermitteln Zentralwert Mittelwert ib: Konstante 1-Schnittstelle mity-Achse Spannweite 1 11.2.x+3-0₁5-x+5 ·2·x+3=0,5-x+5 1-0.5-x Scheitelpunktform Verschiebung, Stauchung, Streckung | 1.5x +3=5 1-3 1.5.x = 2 Parameter: 1:1.5 I a=Streckfaktor 1-a²1 gestreckt 1-a<1 gestaucht / (Vorzeichen 2) 41 Maximal-Minimalwert Tipp: Mit einer Wertetabelle kann man zu x-Werten y- Werte bestimmen. 1-a>0 nach oben geöffnet 1-a<Onach unten geöffnet i einzeichnen, um die Werte zu erhalten! I -5 -3 -1 1 bx einsetzen, y berechnen Dreieck 1bbsp: y=2x-3 ix -1 01 I 1 X = 1,33 (3) unteres Quartil Daten: 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 10; 10; 11¹ f(x)=2+3= 씅 Steigung mit Steigungs- I dreieck ermitteln. Funktionswert berechnen. I by-werte I statt Variable je eine 2a- hl einsetzen u. Term rech Lobsp. f(x)=3x-5 f(5):3-5-5-15-5=10 if(1)=3-(-1)-5-3-5--8 Flächen- u. Körperberechnungen wichtige Begriffe: A-Flächenluhalt Quadrat # ↑ Rechteck max Parrallelogramm Trapez Kreis Würfel Quader Winkel 13.y-Wert durch Einsetzen Arteni | c= Verschiebung in y-Richtung / Lobsp: f(x)=2x+3/g(x)=0,5x+50-90 Spitzer Winkel -abhängig von Parameter b b90 Rechter Winkel a Grenzbestand, Sättigungsgrenze zentralwert:6; Zentralwert qu: 3; Zentralwert: 10 Maximalwert N'overkleinert sich zunehmend Mittelwert: 91 = 6.1 元 Prisma Kegel Pyramide Zylinder ·x+1=180] a: A=a² = a·a; u=4.a h. Höhe e360 Vollwinkel u Umfang r=Radius TT= 3,14 in Dreiechen Nebenwinkel *A=a·b;u=2. (a+b) (A -größter Wert in geordneter Datenreine 9 ·A=g⋅h; u=2. (a+b) :A. (arc).h; u=a+b+c+d As nograte A= π.r²u=2. πT⋅r; d. 2.r : U• Ŝ·G·hK, M= π⋅Y·S; O=G+M Scheitelwinkel 90-180 Stumpfer Winkel 180 Gestreckter Winkel 0 Nullwinkel Mittelwert /b>bsp: 4+5=4,5 Durchschnitt addieren u. teilen / -alle werte addierenu. I durch Anzahl teilen •U=G⋅hki M=u.hk; 0= 2.G+M · U₁ a·b·c; 0·2·a·b+2·b·c+2·a·c : U= 3·G·hx;0=G+M 180-360 Überstumpfer Winkel/long- G+Grundfläche M.Mantelfläche 0.Oberfläche V= Volumen 4: V= π. r².hk; Msu⋅hk: 0=2- G+M x-B b/stufenwinkel R=B;y=6 wechselwinkel a=ß; y=d B4 1 (in 2 geteilt) sinache she sinkib Sin Bohc= Sin Ba V= a³ = a·a·a: 0·2·a·b +2·b·c+2·a·chi he (gleichsetzen) | Sink bsinß-a !>inx = sim a+B+8=180 Strahlensätze Minimalwert 1-kleinster Wert in geordneter Datenreine, Prozente-Zahl 100 L>bop: 9h Strani 2. Kreisdiagramm Winkel-Prozent *3.6! Strahlensatz I # 3.5 Balkendia gramm Modalwert -je länger d. Balken. i-am häufigsten vor, desto mehr u. etwas!. Kommender Wert lat b €4 3224 I Trigonometrie rechtwinkliges 1 152 T I -Strani (Anfangs- aber kein Endpunkt) 911h Geraden g u.n. Sin parallel I sin (a)= k T I cos (α)= AK ! tanla) = ( I I 1 1 I 13/2/2/4/3/4 beliebiges Dreieck 1 1.2 Seiten u. gegenüber Winkel 1 Simussatz sils) sin(8) (8) 1/1/0²/20202020 bzw. ka = वॅ I I 2.2 Seiten u. eingesch. Winkel I cosinussatz Absolute Häufigkeit wie oft tritt ein. ·2bc.cos(x) 16² a² +c²2ac cos (13) c²a²+b²-2ab.cos(8) 1 Satz des Pythagoras • a² + b² = c² -Hypotemuse 2-2 b. 13 =d-1.5 следенкавиете -Ankathete I | H(1)=3; H(2)=2; H(3)=2; /H(4)=4; H(5)=5;H(6)=4 I Anzahl d. Versuche (20) = absolute Häufigkeit Amani & versuche oder cid bzw Seite 2 Liina 10c Relative Häufigkeit FEE | 6 arb bzw. 4.66=3,5+6 -3,5 1,16-b atb a 2² | 23 | 4 | 5 | 6 20 erg / sortieren a+b a c+d Zentralwert • Ergebnis auf? / ungerade: Reihe DA c+d 5 Ctd I mittiger Wert I Igerade: Reine I sortieren 1-mittiger wert | ↳mittige Zahlen addieren u. 2 | Lbsp: | 2:2:3; 4; 4; 5; 5; 6; 6; 7 ↓ 드. 4.5